2. ¨ Ubung zur Vorlesung Graphentheorie

Prof. Dr. R. Schrader WS 2003/2004 Ch. Hagemeier

2. ¨ Ubung zur Vorlesung Graphentheorie

Abgabe: 06.–07.11.2003 Besprechung: 13.–14.11.2003 jeweils in Eurer ¨Ubungsgruppe (s.u.)

Wenn nichts anderes vermerkt ist, betrachten wir in den ¨Ubungen ausschließlich einfache Graphen (also solche ohne Schlingen und parallele Kanten).

In Vorgriff auf die Vorlesung n¨achster Woche hier ein Auszug aus der Charakterisierung von B¨aumen (Beweis folgt in der Vorlesung):

Satz: Ein Graph G = (V, E) ist genau dann ein Baum, wenn er kreisfrei ist und n−1 Kanten hat.

Aufgabe 5:

Formuliere einen Algorithmus, der mit Laufzeit O(|V|+|E|) entscheidet, ob ein gegebener Graph bipartit ist, und der gegebenenfalls eine Bipartition V =V₁ ∪V₂ ausgibt. Es wird nicht vorausgesetzt, daß der Graph zusammenh¨angend ist.

Begr¨unde die Korrektheit des Verfahrens.

Aufgabe 6:

Sei eine Gradfolge d= (d₁ ≥. . .≥d_n), d_i ∈ZZ, n ≥2 gegeben.

Zeige: Es existiert genau dann ein BaumGmit Gradsequenzd, wennPn

i=1di = 2n−2 ist.

Aufgabe 7:

Seien G= (V, E) ein Graph und F ⊆E eine Kantenmenge.

Beweise, daß G(F) genau dann ein aufspannender Wald von G ist, wenn E \ F eine (inklusions–) maximale Kantenmenge ist, die keinen Kozyklus von G enth¨alt.

Aufgabe 8:

Ein Graph G = (V, E) heißt k–zusammenh¨angend, falls es zwischen je zwei Knoten u, v mindestens k knotendisjunkte (bis auf den gemeinsamen Anfang u und das gemeinsame Ende v) Wege gibt.

Zeige:

a) Ein 2–zusammenh¨angender Graph ist entweder bipartit oder hat die Eigenschaft, daß jede Kante in einem Kreis ungerader L¨ange vorkommt.

b) Ein 2–zusammenh¨angender Graph mit mindestens zwei Knoten ist entweder ein Kreis ungerader L¨ange oder enth¨alt einen Kreis gerader L¨ange.

Aufgabe 9:

Zeige, daß G= (V, E) mit der Gradsequenzd= (d1 ≥. . .≥dn) k–zusammenh¨angend ist, wennd_n−r+1 ≥r+k−1 f¨ur 1≤r≤n−1−d_k.