2. ¨ Ubung zur Vorlesung
” Analysis I“
Sommersemester 2006
Prof. Dr. Konrad Polthier Ausgabe: 02.05.06
Anja Krech Abgabe: 09.05.06
Aufgabe 1
(a) Zeigen Sie, dass f¨ur die Binomialkoeffizienten nk gilt:
n 0
<
n 1
< . . . <
n bn2c
= n
dn2e
> . . . >
n n−1
>
n n
,
wobei f¨ur geradesndie beiden mittleren Koeffizienten zusammenfallen.
(b) Seien n, k ∈N. Beweisen Sie die Identit¨at
k
P
i=0 n+i
i
= n+k+1k .
Aufgabe 2
Auf R×R=R2 wird eine Addition + und eine Multiplikation· durch (a, b) + (c, d) := (a+c, b+d) und (a, b)·(c, d) := (ac−bd, ad+bc) definiert. Zeigen Sie, dass (R2,+,·) ein K¨orper ist.
Aufgabe 3
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass eine MengeK mit zwei Verkn¨upfungen + und ·, die die folgenden Axiome erf¨ullt, kein K¨orper zu sein braucht:
(1) K mit + ist eine abelsche Gruppe.
(2) K\ {0} mit · ist eine abelsche Gruppe.
(3) F¨ur allea, b, c∈K ist a(b+c) = ab+ac.
(Hinweis: Es gibt ein Beispiel mit einer Menge K mit 2 Elementen.) Aufgabe 4
Beweisen Sie f¨ur x, y ∈R: (a) x < y =⇒ x3 < y3, (b) xy≤x2+ 1y2 f¨ur alle >0.
