Beschreibung der Menge aller Punkte eines Kreises im Raum Vorüberlegung im IR

Beschreibung der Menge aller Punkte eines Kreises im Raum

Ein Punkt auf der Kreislinie um den Ursprung mit dem Radius r erfüllt mit seinen Koordinaten die Bedingung: . Mit dem Satz des

Pythagoras erkennt man leicht, dass ein Punkt P mit den links angegebenen Koordinaten auf der

Kreislinie liegt. Dies kann man auch für eine Parameterdarstellung verwenden:

2 2

2 y r

x  

 



 









 









 





w r w r

x 0

0 sin ) 0 cos(

0 mit w[0;2[

(Bogenmaß)

Anpassung an den IR ³

Kreis mit dem Radius r in einer Ebene E um einen Punkt M (auf E, mit Ortsvektor m).

Wenn die Ebene E den Normalenvektor n hat, braucht man zwei Vektoren u und v der Länge r, die

- Beide senkrecht zu n sind

- Untereinander senkrecht sind Dann ist der Kreis beschreibbar als

 

 

x cos  sin  mit [w[0;2 (Bogenmaß) Einfaches Zahlenbeispiel

E: 2x₁ x₂ 5 ; M ( 1 | 3 | 1 ) ; r 5.

















 0 1 2

n  möglicher Vektor



















 0

2 1

u (hat schon richtige Länge)

dazu passt z.B.

















 5 0 0

v mit ebenfalls richtiger Länge r  5. Beide Vektoren erfüllen die o.g. Bedingungen, also kann man die Menge aller Kreispunkte mit dem Parameter w

ausdrücken (mit w[0;2[ im Bogenmaß):

Kreislinie:

   

























































5 0 0 sin

0 2 1 cos

1 3 1

w w

x .