5. ¨ Ubungsblatt Universit¨at Karlsruhe

5. ¨ Ubungsblatt Universit¨at Karlsruhe

Institut f¨ ur Experimentelle Kernphysik Ausgew¨ahlte Kapitel der Physik

SS 2007 Prof. Dr. G. Quast

Ausgabe: 23.05.2007 Dr. T. Kuhr

Besprechung: 31.05.2007 Thomas.Kuhr@ekp.uni-karlsruhe.de

Wellen

Aufgabe 1: Wellengleichung

Wir betrachten die Wellengleichung:

∂

f

∂t

v

∂

f

∂z

= 0

a) Wie lautet die L¨osung f (z, t) f¨ ur eine sich in positive z-Richtung ausbreitende ebene Welle?

b) Zeigen Sie, dass dies wirklich eine L¨osung der oben angegebenen DGL ist, indem Sie f(z, t) einsetzen. Wie h¨angt die Phasengeschwindigkeit v

von den anderen, f¨ ur die Welle charakteristischen Gr¨oßen ab?

c) Eine stehende Welle ist beschrieben durch g(z, t) = A cos(ωt) cos(kz). Ist auch dies eine L¨osung der Wellengleichung?

Aufgabe 2: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit

Wir betrachten zwei Partialwellen mit Frequenzen ω

und ω

und gleicher Amplitude A

= A

=: A

a) Uberlagern Sie die beiden Partialwellen und ermitteln Sie dadurch die Gleichung der ¨ Schwebungswelle.

(Hinweis: Rechnen Sie mit der orts- und zeitabh¨angigen Gleichung f¨ ur die Wellen:

x(t, z) = A cos(ωt

kz))

b) Ein beliebiges Maximum unter der Einh¨ ullenden dieser Welle breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit v

=

m

=

aus. Zeigen Sie mit Hilfe der Gleichung der Schwebungswelle aus a), mit welcher Geschwindigkeit sich das Maximum der Einh¨ ullenden selbst bewegt.

c) Leiten Sie aus der Gleichung v

=

die folgende Beziehung zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit her, indem Sie ω durch v

und k ausdr¨ ucken (s. Aufg.1):

v

= v

h

λ dv

dλ

1

Aufgabe 3: Elektromagnetische Welle

Eine ebene elektromagnetische Welle im Vakuum, die sich in positive z-Richtung ausbreitet, hat die L¨osung E(z, t) = E

e

. (Physikalisch relevant ist dabei nur der Realteil.) a) Zeigen Sie, dass E(z, t ) eine L¨osung der aus den Maxwell-Gleichungen resultierenden Wellengleichung ist. Zeigen Sie weiter, dass auch der Real- und der Imagin¨arteil jeweils f¨ ur sich genommen eine L¨osung sind.

b) Geben Sie den Zusammenhang zwischen den elektrischen Konstanten ǫ

und µ

, der Phasengeschwindigkeit und dem Betrag des Wellenzahlvektors an.

c) Zeigen Sie, dass auch Wellenpakete der Form E(z, t) =

A(ω)e

dω die Wel- lengleichung l¨osen.

Aufgabe 4: Stehende Welle auf einer Geigensaite

Die g-Saite einer Violine sei 30 cm lang. Wenn Sie ohne zu greifen gespielt wird, schwingt sie mit einer Frequenz von f (g) = 196 Hz.

a) Bei einer beidseitig eingespannten Saite erfolgen Reflexionen an beiden Enden. Geben Sie die Bedingungen an, die eine stehende Welle erf¨ ullen muss. Skizzieren Sie die Schwingungsform mit der gr¨oßten Wellenl¨ange.

b) Eine stehende Welle kann aufgefaßt werden als ¨ Uberlagerung zweier sich entgegenge- setzt ausbreitender, laufender Wellen. Wie gross ist die Phasengeschwindigkeit dieser Wellen auf der Saite?

c) Durch das Setzen eines Fingers wird die Saite verk¨ urzt. Wohin muss der Finger gesetzt werden, wenn die Saite mit der doppelten Frequenz schwingen soll?

d) Die Frequenzen f¨ ur die in der Tonleiter auf g folgenden T¨one a, h, c und d sind f (a) = 220 Hz, f (h) = 247 Hz, f (c) = 262 Hz, f (d) = 294 Hz. Wie weit vom Saitenende entfernt muss ein Violinist seine Finger setzen, damit diese T¨one erklingen?

Aufgabe 5: Entspiegelung

Eine Glasfl¨ache soll antireflex-beschichtet werden. Sie sind technisch in der Lage, belie- big d¨ unne Schichten eines Materials mit der Brechzahl n=1,2 aufzubringen. Ihr Glas hat die Brechzahl n=1,5. Wie dick muss die Schicht sein, die Sie aufbringen, damit Licht der Wellenl¨ange λ = 600 nm, das im Vakuum senkrecht auf die Glasplatte trifft, nicht reflek- tiert wird? Welchen Einfluss hat dabei der Phasensprung bei der Reflektion am optisch dichteren Medium?

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Die ¨ Ubungsaufgaben finden Sie auch im Internet unter der URL:

http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~tkuhr/AKdPh

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