9. ¨ Ubungsblatt Universit¨at Karlsruhe

9. ¨ Ubungsblatt Universit¨at Karlsruhe

Institut f¨ ur Experimentelle Kernphysik Ausgew¨ahlte Kapitel der Physik

SS 2007 Prof. Dr. G. Quast

Ausgabe: 27.06.2007 Dr. T. Kuhr

Besprechung: 05.07.2007 Thomas.Kuhr@ekp.uni-karlsruhe.de

Quantenmechanik

Aufgabe 1: Potentialstufe

Ein Teilchenstrom der St¨arke von N 0 Teilchen pro Sekunde und cm ² in x-Richtung, be- stehend aus Teilchen der Energie E und Masse m, trifft bei der Position x = 0 auf eine Potentialstufe der H¨ohe V 0 < E.

a) Ein solcher Teilchenstrahl kann in guter N¨aherung als ebene Welle beschrieben wer- den. Geben Sie die Gleichung f¨ ur die ensprechende ebene Welle an. Wie ist die Nor- mierungskonstante zu w¨ahlen?

Hilfe: Ein Strom ist gegeben durch das Produkt aus Teilchendichte und Teilchenge- schwindigkeit. j = ρ · v.

b) Was passiert in der klassischen Physik mit dem Teilchenstrahl, d.h. was sind die Teilchengeschwindigkeiten und Str¨ome rechts und links von der Potentialstufe?

c) Um das korrekte, quantenmechanisch bestimmte Verhalten des Teilchenstrahls zu berechnen, kann man die eindimensionale, station¨are Schr¨odingergleichung benutzen.

Berechnen Sie zun¨achst den Reflexionskoeffizienten, d.h. den Quotienten aus einlau- fendem und reflektiertem Teilchenstrom.

Hilfe: Formulieren Sie einen geeigneten L¨osungsansatz f¨ ur die Wellenfunktion f¨ ur die Gebiete rechts und links der Potentialstufe. Welche Bedingungen sind an die Wel- lenfunktion bei x = 0 zu stellen, um die freien Koeffizienten im L¨osungsansatz zu bestimmen?

d) Bestimmen Sie den Transmissions-Koeffizienten, d.h. den Quotienten der Teilchen- str¨ome vor und hinter der Potentialstufe.

e) Vergleichen Sie die quantenmechanische L¨osung mit der klassischen! Unter welchen Grenzbedingungen stimmen klassische und quantenmechanische L¨osung ¨ uberein?

Aufgabe 2: Potentialbarriere und Tunneleffekt

Ein Elektron befindet sich in einem Poten- tialkasten, der bei x = 0 durch eine un- endlich hohe Wand begrenzt ist, und bei x > 1.0 · 10 ^{− 10} m durch eine Potentialbar- riere mit der Dicke a = 0.1 nm und der

H¨ohe V 0 = 1000 eV (siehe Skizze).

0 x

a

10⁻¹⁰ V(x)

8

V=

1

a) Skizzieren Sie den Verlauf der Wellenfunktion, wenn sich das Elektron im Potential- kasten im Grudzustand befindet. Nehmen Sie hierf¨ ur an, dass die Potentialbarriere so hoch ist, dass sich Wellenfunktion und Energie des Elektrons nur wenig von denen im Kastenpotential (Blatt 8, Aufg. 4) unterscheidet.

b) Berechnen Sie n¨aherungsweise den Transmissionskoeffizienten T f¨ ur die Transmission eines Elektrons im Grundzustand durch die Potentialbarriere. Hinweis: Nehmen Sie an, daß man die Wellenfunktion des Elektrons als ¨ Uberlagerung einer nach links und nach rechts laufenden Welle auffassen kann, die durch die Barriere tunnelt.

c) Das Elektron wird nach einer gewissen Zeit aus dem Potentialkasten wegtunneln.

Man kannn das folgendermassen verstehen: Das Elektron bewegt sich mit einer der Grundzustandsenergie entsprechenden Geschwindigkeit zwischen der rechten und der linken Seite periodisch hin und her. Berechnen Sie die daf¨ ur ben¨otigte Zeit t u . Wie groß ist die Transmissionsrate pro Umlauf, d.h. T /t ^u ? Wie groß ist deren Kehrwert, d.h. t u /T ?

Hinweis: t u /T ist die “Zerfallszeit” des Elektrons im Potentialtopf. Die ¨ Anderung der Wahrscheinlichkeit P ^e , das Elektron nach einer Zeit ∆t noch im Kasten zu finden, ist gegeben durch ∆P e = − ∆t _t ^T

u

· P (t), oder, als Differentialgleichung geschrieben:

dP

dt = t ^T

· P ; diese hat die L¨osung P(t) = e ⁻

mit τ = ^t T

.

Aufgabe 3: Bohr’sches Atommodell und Wasserstoff (alte Klausuraufgabe)

Im Bohr’schen Modell des Wasserstoffatoms wird angenommen, dass sich ein Elektron auf einer Kreisbahn (strahlungslos) im Coulomb-Potential des Protons bewegt.

a) Geben Sie die kinetische und potentielle Energie des Elektrons als Funktion des Ab- stands r vom Proton an. Wie groß ist der Drehimpuls des Elektrons als Funktion von r?

b) Nach dem 3. Bohr’schen Postulat soll der Drehimpuls “gequantelt” sein und nur Werte von L = n¯ h, n = 1, 2, ... annehmen d¨ urfen. Welche Werte f¨ ur die m¨oglichen Radien r ⁿ und die Gesamtenergie E ⁿ des Elektrons ergeben sich?

c) Die exakten quantenmechanischen L¨osungen f¨ ur das Wasserstoffatom werden durch die Quantenzahlen n, l und m charakterisiert. Welche Werte k¨onnen diese Quanten- zahlen jeweils annehmen und was ist hier der gr¨oßtm¨ogliche Wert des Drehimpulses f¨ ur einen Zustand n?

d) Diskutieren Sie kurz die Unzul¨anglichkeiten des Bohr‘schen Modells im Vergleich zur korrekten quantenmechanischen Behandlung des Wasserstoffproblems. (mindestens drei)

Aufgabe 4: Ionisationsenergie

Die Ionisationsenergie ist die Energie, die man ben¨otigt, um ein Elektron aus einem Atom zu entfernen. Bestimmen Sie die Ionisationsenergien von

a) einem Wasserstoffatom, dessen Elektron sich im angeregten Zustand mit n = 3 be- findet.

b) He ⁺ im n = 2-Zustand (Heliumkern, einfach ionisiert, d.h. nur ein Elektron, das sich im n = 2-Zustand befindet)

c) Li ⁺⁺ im n = 4-Zustand.

Hinweis: Der He-Kern enth¨alt 2 Protonen, der Lithium-Kern 3 Protonen.

Rydberg-Energie: E 0 = 13, 6 eV

2

Aufgabe 5: Drehimpuls

a) Berechnen Sie die L¨ange der Drehimpulsvektoren L ~ f¨ ur die Bahn eines Elektrons im Zustand mit den Drehimpulsquantenzahlen l = 0, l = 1 und l = 2.

b) Bestimmen Sie f¨ ur diese drei F¨alle die m¨oglichen z-Komponenten des Bahndrehim- pulsvektors ~ L durch geeignete graphische Konstruktion.

c) Wie sehen f¨ ur das Beispiel l = 1 die magnetischen Momente aus?

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Die ¨ Ubungsaufgaben finden Sie auch im Internet unter der URL:

http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~tkuhr/AKdPh

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