Integralrechnung Theorie (L)

Integralrechnung

Theorie (L)

Inhaltsverzeichnis

1 Das bestimmte Integral 3

1.1 Eigenschaften . . . 5

1.2 TI-84-Programm (Rechteckmethode) . . . 6

1.3 Das Riemannsche Integral . . . 6

2 Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung 7 2.1 Die Fl¨acheninhaltsfunktion . . . 7

2.2 Der Hauptsatz . . . 8

3 Rechenregeln 10 3.1 Integrale der elementaren Funktionen (I) . . . 10

3.2 Integrationsregeln . . . 10

3.3 Substitutionsregel . . . 11

3.4 Partielle Integration . . . 12

3.5 Integrale der elementaren Funktionen (II) . . . 14

3.6 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . 15

4 Fl¨achenberechnungen 16 4.1 Durch Nullstellen begrenzte Fl¨achen . . . 16

4.2 Fl¨achen unterhalb der Abszisse . . . 18

4.3 Willk¨urliche Grenzen . . . 19

4.4 Fl¨achen zwischen zwei sich schneidenden Kurven . . . 20

4.5 Aufw¨andigere Fl¨achenberechnungen . . . 21 5 Volumen und Oberfl¨ache von Rotationsk¨orpern 22

6 Uneigentliche Integrale (AM) 25

7 Bogenl¨ange von Kurven (AM) 27

8 Partialbruchzerlegung (AM) 30

9 Gebietsintegrale (AM) 33

1 Das bestimmte Integral

f ist eine auf I = [a, b] stetige Funktion mitf(x)≥0 f¨ur allex∈I.

x y

x₁ x₂ x₃ x₄ a m₁ m₂ m₃ m₄ m₅ b

M ={(x, y) : a≤x≤b und 0≤y≤f(x)}

Gesucht: Fl¨acheninhalt A von M Die Idee

(a) ZerlegeI = [a, b] in n Teile der Breite h= b−a n (b) Bestimme die Intervallmitten:m_i =a+ (i−0.5)·h

(c) Berechne die Funktionswerte: yi =f(mi)

(d) Der Inhalt des i-ten Streifens wird durch ein Rechteck der Breite h und der H¨ohe y_i =f(m_i) ersetzt.

A≈h·f(m₁) +h·f(m₂) +. . .+h·f(m_n) A≈h

f(m₁) +f(m₂) +. . .+f(m_n) A≈h·

n

X

i=1

f(m_i) wobei m_i =a+ (i−0.5)h

Definition

Wir definieren damit das bestimmte Integral: Z b

a

f(x) dx= lim

n→∞ h·

n

X

i=1

f(m_i)

!

falls der Grenzwert rechts existiert.

[Bei stetigen Funktionen ist dies immer der Fall.]

Beispiel 1.1

f(x) = ¹₂ +¹₂x; a= 0, b = 1; n= 5 h= 1−0 5 = 0.2

x y

1 1

0

i m_i f(m_i)

1 0.1 0.55

2 0.3 0.65

3 0.5 0.75

4 0.7 0.85

5 0.9 0.95

P 3.75 A= 0.2·3.75 = 0.75 (exakt)

Beispiel 1.2

f(x) = x²; a= 0, b= 1; n= 5 h = 1−0 5 = 0.2

x y

1 1

0

i m_i f(m_i)

1 0.1 0.01

2 0.3 0.09

3 0.5 0.25

4 0.7 0.49

5 0.9 0.81

P 1.65

1.1 Eigenschaften

”leeres“ Integral Z a

a

f(x)dx= 0

Vertauschungsregel Z a

b

f(x)dx=− Z a

b

f(x)

Intervalladditivit¨at Z c

a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z c

b

f(x)dx (f¨ur a≤b≤c)

1.2 TI-84-Programm (Rechteckmethode)

Hauptprogramm PROGRAM:INTEGRAL

:Disp "FUNKTION IN prgmF"

:Input "LOWER: ",A :Input "UPPER: ",B :Input "N: ",N :(B-A)/N→H :0→S

:For(I,1,N) :A+(I-0.5)*H→X :prgmF

:S+Y→S :End :Disp H*S

Unterprogramm f¨ur die Funktion PROGRAM:F

:X²+1→Y

1.3 Das Riemannsche Integral

Wir d¨urfen vermuten, dass die N¨aherungswerte f¨ur den gesuchten Fl¨acheninhalt bei zu- nehmender Anzahl Streifen eine konvergente Folge bilden und dass der Grenzwert dieser Folge der gesuchte Fl¨acheninhalt ist. Dieser Grenzwert erh¨alt einen eigenen Namen. Doch zuvor m¨ussen wir sicher sein k¨onnen, dass der Grenzwert weder von der Wahl der Strei- fenbreiten noch von den Zwischenstellen abh¨angig ist.

Eine auf I = [a, b] definierte beschr¨ankte Funktion f, ist genau dann (im Riemannschen Sinne) integrierbar, wenn f¨ur jede Folge von ZerlegungenX_n= (x₀, x₁, . . . , x_n) vonI mit a=x0 < x1 < x2 <· · ·< xn =bund f¨ur jede Folge von St¨utzstellenSn= (ξ1, ξ2, , . . . , ξn) mit x₀ ≤ξ₁ ≤x₁, . . . , xn−1 < ξ_n< x_n der Grenzwert

n→∞lim

n

X

i=1

f(ξ_i) (x_i −xi−1)

| {z }

∆xi

existiert. Dieser Grenzwert wird bestimmtes Integral von f uber dem Intervall [a, b] ge-¨ nannt und formal so beschrieben:

Z b

a

f(x) dx

2 Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

2.1 Die Fl¨ acheninhaltsfunktion

c x t

y

Fc(x)^Def.= Z x

c

f(t) dt (Fl¨acheninhaltsfunktion) damit

Z b

a

f(x) dx=F_c(b)−F_c(a)

Beispiel 2.1 f(x) = 1

x y

2 2

F₀(x) = x Z 3

1

f(x) dx=F₀(3)−F₀(1) = 3−1 = 2

Beispiel 2.2 f(x) = x+ 1

x y

2 2

F−1(x) = 1

2(x+ 1)·(x+ 1) = 1

2x²+x+1 2 F−1(4)−F−1(2) = 12.5−4.5 = 8

Vermutung

Die Ableitung der Fl¨acheninhaltsfunktion ist die Randfunktion (Integrand) f(x).

F_c⁰(x) =f(x)

2.2 Der Hauptsatz

x y

y =f(x)

a x x+h

Wenn die obere Grenze xum h vergr¨ossert wird, so ver¨andert sich der Fl¨acheninhalt um

∆A=F_a(x+h)−F(x) Eingrenzen von ∆A:

x≤t≤x+hmin f(t)·h <∆A < max

x≤t≤x+hf(t)·h auf allen drei Seiten durch h >0 dividieren:

x≤t≤x+hmin f(t)< ∆A

h < max

x≤t≤x+hf(t) Grenzwerth →0 bilden:

f(x)≤ lim

h→0

∆A

h ≤f(x) Somit ist

f(x) = lim

h→0

∆A

h = lim

h→0

F_a(x+h)−F_a(x)

h =F_c⁰(x)

Eine FunktionF mit der Eigenschaft F⁰(x) =f(x) wird Stammfunktionoderunbestimm- tens Integral von f genannt.

F ist nur bis auf eine additive Konstante (Integrationskonstante) eindeutig bestimmt.

Beispiel:

F(x) = ¹₂x²+x G(x) = ¹₂x²+x+¹₂

Sei nun F eine beliebige Stammfunktion vonf. Dann gilt:

F_a(x) = F(x) +C (1)

F¨ur x=a gilt:

F_a(a) = F(a) +C Mit

F_a(a) = Z a

a

f(t) dt = 0 folgt dann

0 =F(a) +C und damit

C =−F(a) (2)

Einsetzen von (2) in (1):

F_a(x) =F(x)−F(a) und zusammen mit (1):

Z x

a

f(t) dt=F_a(x) =F(x)−F(a) bzw.

Z b

a

f(x) dt =F(b)−F(a)

Im Beweis wurde eine stetige Funktion f mit nichtnegativen Werten vorausgesetzt. Ein Verallgemeinerung auf beliebige stetige Funktionen ist m¨oglich. Dies ist dann der . . . Hauptsatz der Differential- und Integralrechung

Istf eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b] und istF eine beliebige Stammfunktion von f, so gilt:

Z b

a

f(t) dt=F(b)−F(a)

Bemerkung: Der Hauptsatz gilt auch f¨ur stetige Funktionen, deren Vorzeichen auf dem Intervall [a, b] wechselt. Das bestimmte Integral l¨asst sich dann aber nicht mehr direkt als Fl¨acheninhalt deuten.

3 Rechenregeln

3.1 Integrale der elementaren Funktionen (I)

Die Umkehrung des Differenzierens liefert vorl¨aufig:

Z

xⁿdx= 1

n+ 1 ·xⁿ⁺¹+C (n6=−1) Z

sin(x) dx=−cos(x) +C Z

cos(x) dx= sin(x) +C Z

e^xdx= e^x+C Z 1

xdx= ln|x|+C

3.2 Integrationsregeln

Summen Z b

a

f(x) +g(x) dx=

Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x) dx bzw.

Z

f(x) +g(x) dx=

Z

f(x)dx+ Z

g(x) dx

Beispiel 3.1 Z

(x+ e^x) dx= Z

xdx+ Z

e^xdx= ¹₂x²+ e^x+C

konstante Faktoren Z b

a

k·f(x)dx=k· Z b

a

f(x)dx

Beispiel 3.2 Z π/2

0

4 cos(x) dx= 4 Z π/2

0

cos(x) dx

= 4

sin(x)π/2 0

= 4

sin(π/2)−sin(0)

= 4

3.3 Substitutionsregel

F¨ur eine stetige Funktion f(z) und eine differenzierbare Funktion z =u(x) gilt:

dz

dx =u⁰(x) ⇒ dz=u⁰(x) dx Z u(b)

u(a)

f(z) dz = Z b

a

f(u(x))u⁰(x) dx

R¨uckw¨arts gelesen ist dies die Substitutionsregel 1. Art Beispiel 3.3

Z 3

1

e^2xdx=. . . u(x) = 2x du dx = 2 dx= ¹₂du

u(1) = 2 u(3) = 6

. . .= Z 6

2

e^{u 1}₂du= ¹₂ Z 6

2

e^udu= ¹₂ e^u6

2

= ¹₂

e⁶ −e²]

Alternative L¨osung Z

e^2xdx= Z

e^{u 1}₂du= ¹₂ Z

e^udu= ¹₂e^u+Cu = ¹₂e^2x+C Z 3

1

e^2xdx= ¹₂

e^2x+C3 1 = ¹₂

e⁶−e²]

Beispiel 3.4 Z π/2

0

sin(x) cos(x) dx=. . . u(x) = sinx du

dx = cosx dx= 1

cosxdu

sin(0) = 0 sin(π/2) = 1

. . .= Z 1

0

cosx 1

cosxdu= Z 1

0

1 du= u1

0 = 1

Beispiel 3.5

Ist die Substitutionsregel grunds¨atzlich anwendbar?

• Z

xe^(x2)dx Ja

• Z

xsin(x) dx Nein

• Z

x³√

x⁴+ 1 dx Ja

• Z

xlnxdx Nein

Moral

Die Substitutionsregel kann nur dann angewendet werden, der Integrand (bis auf einen konstanten Faktor) ein Produkt aus der Ableitung u⁰ der inneren Funktion u und der

¨ausseren Funktion f ist.

Substitutionsregel 2. Art

In gewissen Situationen kann es vorteilhaft sein, die Integrationsvariable x durch deine differenzierbare und monotone Funktionx(t) zu ersetzen.

Beispiel 3.6 Z 1

0

e^x√

e^x+ 1 dx

x(t) = ln(t) (monoton: ja) dx=t⁻¹dy

x₁ = 0 = ln(t) ⇒ t₁ = 1 x₂ = 1 = ln(t) ⇒ t₂ = e . . .=

Z e

1

e^ln(t)p

e^ln(t)+ 1·t⁻¹dt= Z e

1

t√

t+ 1·t⁻¹dx

= Z e

1

(t+ 1)^1/2dx= ²₃

(t+ 1)^3/2e 1 = ²₃

(e + 1)^3/2−2^3/2

3.4 Partielle Integration

Ist der Integrand ein Produkt zweier Faktoren, so gibt es im Unterschied zur Differentia- tion keine allgemein g¨ultige Regel, um das Integral eines Produkts auf die Integrale der Faktoren zur¨uckzuf¨uhren.

Man kann aber eine Regel angeben, nach der in machen F¨allen ein schwierig zu l¨osendes Integral auf ein einfacheres zur¨uckgef¨uhrt werden kann.

Herleitung

Produktregel der Differentialrechnung:

f(x)·g(x)⁰

=f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x) f⁰(x)g(x) =

f(x)·g(x)⁰

−f(x)g⁰(x)

Z b

a

. . . dx Z b

a

f⁰(x)g(x) dx= Z b

a

f(x)·g(x)0

dx− Z b

a

f(x)g⁰(x)dx Z b

a

f⁰(x)g(x) dx=

f(x)·g(x)b a−

Z b

a

f(x)g⁰(x)dx

Warnung

Das auf diese Weise entstehende Integral braucht nicht einfacher l¨osbar zu sein. In vielen F¨allen l¨asst sich jedoch bei geeigenter Wahl der Faktoren eine Vereinfachung erreichen.

Beispiel 3.7 Z

xe^xdx=. . . f⁰(x) = e^x ⇒ f(x) = e^x g(x) =x ⇒ g⁰(x) = 1 . . .= e^xx−

Z

e^x·1 dx= e^xx−e^x+C = e^x(x−1) +C

Beispiel 3.8 Z

x²e^xdx=? f⁰(x) = e^x ⇒ f(x) = e^x g(x) =x² ⇒ g⁰(x) = 2x Z

x²e^xdx= e^xx²− Z

e^x·2xdx= e^x·x²−2 Z

x·e^xdx Einsetzen von 3.3:

Z

x²e^xdx= e^xx²−2e^x(x−1) +C = e^x(x²−2x+ 2) +C

Beispiel 3.9 Z

lnxdx=? f⁰(x) = 1 ⇒ f(x) =x g(x) = lnx ⇒ g⁰(x) = 1/x Z

lnx·1 dx=x·lnx− Z

x· 1

xdx=x·lnx− Z

1 dx

=xlnx−x+C

Beispiel 3.10 Z

sin²xdx=? f⁰(x) = sinx ⇒ f(x) = −cosx g(x) = sinx ⇒ g⁰(x) = cosx Z

sin²xdx=−cosx·sinx+ Z

cos²xdx Z

sin²xdx=−cosx·sinx+ Z

(1−sin²x) dx Z

sin²xdx=−cosx·sinx+x− Z

sin²xdx Z

sin²xdx= 1

2 x−cosx·sinx) +C

3.5 Integrale der elementaren Funktionen (II)

Z

lnxdx=x ln|x| −1

+C [Beispiel 3.9]

Z

tanxdx=−ln|cosx|+C

Herleitung:

Z

tanxdx=

Z sinx cosxdx=

Z sinx u · 1

−sinxdu

=− Z 1

udu=− Z

ln|cosx|+C

Z

arcsinxdx=xarcsinx+√

1−x²+C

Herleitung:

Z

arcsinxdx= Z

1·arcsinxdx=xarcsinx− Z

x· 1

√1−x²dx

=xarcsinx− Z x

√u·−1 2x du

=xarcsinx+¹₂ Z

u⁻¹²du

=xarcsinx+p

1−x²+C

Z

arccosxdx=xarccosx−√

1−x²+C

Herleitung:

Z

arccosxdx= Z

1·arccosxdx=xarccosx− Z

x· −1

√1−x²dx

=xarccosx− Z −x

√u· −1 2xdu

=xarccosx−¹₂ Z

u⁻¹²du

=xarccosx−p

1−x²+C

Z

arctanxdx=xarctanx−¹₂ ln(1 +x²) +C

Herleitung:

Z

arctanxdx= Z

1·arctanxdx=xarctanx− Z

x· 1 1 +x²dx

=xarctanx− Z x

u· 1 2xdu

=xarctanx−¹₂ Z

u⁻du

=xarctanx−¹₂ln 1 +x²

3.6 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ist f eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion, so gibt es eine reelle Zahl ξ∈(a, b), so dass

Z b

a

f(x) dx=f(ξ)·(b−a)

a b x

y

ξ

Der Mittelwertsatz ist ein Existenzsatz; er verr¨at nicht, wie man die Stelle ξ berechnet.

4 Fl¨ achenberechnungen

4.1 Durch Nullstellen begrenzte Fl¨ achen

Beispiel 4.1

Wie gross ist der Inhalt der endlichen Fl¨ache, die von der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) = −x²+ 4x−3 eingeschlossen wird?

x y

y=f(x)

Nullstellen:

−x² + 4x−3 = 0 || ·(−1) x² −4x+ 3 = 0

(x−1)(x−3) = 0 x₁ = 1 x₂ = 3 Hauptsatz:

A= Z 3

1

−x²+ 4x−3 dx=

−1

3x³ + 2x²−3x 3

1

= (−9 + 18∗ −9)−

−1

3+ 2−3

= 4 3

∗ oder:fnInt(-Xˆ2+4X–3,X,1,3)IFrac

Beispiel 4.2

Wie gross ist der Inhalt der endlichen Fl¨ache, die von der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) = −x⁴+ 4x³−2x²−4x+ 3 eingeschlossen wird?

x y

y =f(x)

Nullstellen:

−x⁴+ 4x³−2x²−4x+ 3 = 0 ^TR⇒ x₁ = 3

x₂ =x₃ = 1 (∗) x₄ =−1

(∗) Der TI-84 Plus kann Doppell¨osungen nicht immer exakt berechnen, so dass man die genauen L¨osungen sch¨atzen und zur Kontrolle in die Gleichung einsetzen muss.

Hauptsatz:

Z 3

−1

−x⁴+ 4x³−2x²−4x+ 3 dx

=

−1

5x⁵+x⁴−2

3x³−2x²+ 3x 3

−1

= 128 15

Beachte, dass die Integration an der doppelten Nullstelle x₂ =x₃ = 1 nicht unterbrochen werden muss, da der Graph die x-Achse nur ber¨uhrt und somit keine keine negativen Fl¨achenanteile entstehen.

4.2 Fl¨ achen unterhalb der Abszisse

Beispiel 4.3

Berechne den Inhalt der Fl¨ache, die durch die beiden Koordinatenachsen und den Graphen der Funktion f(x) = ln(x+ ¹₂) eingeschlossen wird. Gib das exakte Resultat an.

x y

y=f(x)

Nullstelle(n):

ln(x+ ¹₂) = 0 e^ln(x+12) = e⁰

x+ ¹₂ = 1 x= ¹₂ Hauptsatz:

Z 0.5

0

ln x+ 0.5

dx=

(x+ 0.5) ln|x+ 0.5| −10.5 0

= 1·(ln(1)−1)−0.5·(ln(0.5)−1) =−1−0.5 ln(0.5) + 0.5

=−0.5−0.5 ln(0.5)

| {z }

als exakte L¨osung ok

=−¹₂ − ¹₂ln 2⁻¹

=−¹₂ + ¹₂ln(2)

= ¹₂ln(2)− ¹₂ = ¹₂(ln(2)−1)

Aufgrund der Vorzeichenregeln f¨ur bestimmte Integrale, ist der berechnet Wert negativ.

Also betr¨agt der Fl¨acheninhalt exakt A= ¹₂(1−ln(2)).

Man h¨atte dieses Resultat auch direkt durch Vertauschen der oberen und unteren Grenze erhalten k¨onnen.

4.3 Willk¨ urliche Grenzen

Beispiel 4.4

Welchen Inhalt hat die Fl¨ache, die vom Graphen der Funktion f(x) = ¹₂x² −3x+ 4, der x-Achse und die Geradenx= 0 bzw. x= 6 eingeschlossen wird?

x y

x= 1 x= 6

y=f(x)

Falls man am Fl¨acheninhalt interessiert ist, muss man etappenweise integrieren und po- sitive bzw. negative Fl¨achenst¨ucke einzeln integrieren.

Nullstellen: ¹₂x²−3x+ 4 = 0 || ·2 x²−6x+ 8 = 0 (x−2)(x−4) = 0 x₁ = 2 x₂ = 4 I₁ =

Z 2

1

1

2x²−3x+ 4

dx= 1

6x³−3

2x²+ 4x 2

1

= 2 3 I2 =

Z 4

2

1

2x²−3x+ 4

dx= 1

6x³−3

2x²+ 4x 4

2

=−2 3 I₃ =

Z 6

4

1

2x²−3x+ 4 dx= 1

6x³− 3

2x²+ 4x 5

4

= 10 3 A= 2

3+ 2 3+ 10

3 = 14

3 FE (Die Betr¨age der Integrale addieren.)

4.4 Fl¨ achen zwischen zwei sich schneidenden Kurven

Beispiel 4.5

Berechne den Inhalt der Fl¨ache, die von den Graphen von f(x) = −¹₈x² + ³₄x+ ¹⁹₈ und g(x) = ¹₄x²− ³₂x+ ¹⁷₄ eingeschlossen wird.

x y

x₁ x₂

y=f(x) y=g(x)

Naiv: A= Z x2

x1

f(x) dx− Z x2

x1

g(x) dx

Eleganter: A= Z x2

x1

f(x)−g(x) dx (

”toter Walfisch“)

x y

y=f(x) y=g(x)

y=f(x)−g(x)

Schnittstellen:

−¹₈x²+³₄x+ ¹⁹₈ = ¹₄x²− ³₂x+¹⁷₄ || ·8

−x²+ 6x+ 19 = 2x²−12x+ 34 0 = 3x²−18x+ 15 0 =x²−6x+ 5 0 = (x−1)(x−5) x₁ = 1

x₂ = 5 Z 5

1

f(x)−g(x) dx

= Z 5

1

−1

8x²+3

4x+19 8

− 1

4x²− 3

2x+ 17 4

dx

= Z 5

1

−3

8x²+ 9

4x− 15 8

dx=

−1

8x³+ 9

8x²− 15 8 x

5

1

= 4

4.5 Aufw¨ andigere Fl¨ achenberechnungen

Beispiel 4.6

Berechne den Inhalt der endlichen Fl¨ache, die im 1. Quadranten von den Graphen der Funktionenf(x) = 4x², g(x) = ¹₄x² und h(x) = 4x⁻² begrenzt wird.

x y y=f(x)

y=g(x)

y=h(x)

Schnittstellen:

4x² = 4

x² ||: 4, ·x² x⁴ = 1

x= 1 (Im 1. Quadranten giltx≥0) Schnittstelle zwischen g und h:

1

4x² = 4

x² || ·4, ·x² x⁴ = 16

x= 2 (Im 1. Quadranten gilt x≥0) I₁ =

Z 1

0

f(x) dx= Z 1

0

4x²dx= 4

3x³ 1

0

= 4 3 I2 =

Z 2

1

h(x) dx= Z 2

1

4

x² dx= 4 Z 2

1

x⁻²dx

= 4

−x⁻¹2 1 = 4

−1 2+ 1

1

= 2

I₃ = Z 2

0

g(x) dx= Z 2

0

1

4x²dx= 1 4

Z 2

0

x²dx

= 1 12

x³2 0 = 1

12(8−0) = 2 3 A=I₁+I₂−I₃ = 4

3 + 2− 2 3 = 2

3 + 2 = 8 3

5 Volumen und Oberfl¨ ache von Rotationsk¨ orpern

Rotationsk¨orper

Rotationsk¨orper sind K¨orper, die durch Drehung eines geeigneten Kurve um eine der Koordinatenachsen entstehen.

Volumen

Das Volumen eines Rotationsk¨orpers l¨asst sich als Grenzwert einer Summe aus Zylindern auffassen, deren Radien Funktionswerte sind und deren H¨ohen gegen Null streben.

x y

z

Aus dV =πr²dx=πf(x)²dx folgt:

V = Z

V

dV = Z b

a

π f²(x) dx=π Z b

a

f²(x) dx

Beispiel 5.1

Der Graph der Funktion f(x) = 2 rotiert f¨ur 0 ≤ x ≤ 4 um die x-Achse. Berechne das Volumen des Rotationsk¨orpers.

x

y y= 2

V =π Z b

a

f(x)²dx=π Z 4

0

2²dx=π 4x4

0 = 16πVE Beispiel 5.2

Der Graph der Funktion f(x) = ¹₂x rotiert f¨ur 0≤ x≤ 4 um die x-Achse. Berechne das Volumen des Rotationsk¨orpers.

x

y y=x/2

V =π Z b

a

f(x)²dx=π Z 4

0

1 4x²dx

=π 1

12x³ 4

0

= 64

12π = 16 3 πVE Beispiel 5.3

Der Graph von f(x) = √

4−x² rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des Drehk¨orpers.

x y

y =√ 4−x²

V =π Z b

a

f(x)²dx=π Z 2

−2

4−x² dx

= 2π Z 2

0

4−x²

dx= 2π

4x− 1 3x³

2

0

= 32 3 πVE Beispiel 5.4

Die Fl¨ache zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = 2 und g(x) = 1 ¨uber dem Intervall I = [0,4] rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des Hohlzylinders.

x

y y= 2

y= 1

V =π Z 4

0

2²dx−π Z 4

0

1²dx=π[4x]⁴₀−π[x]⁴₀ = 16π−4π= 12π

Warnung

Bei Hohlk¨orpern d¨urfen die Randfunktionen nicht vor dem Quadrieren subtrahiert werden.

V =π Z 4

0

(2−1)²dx−π Z 4

0

1 dx=π[x]⁴₀ = 4π−0π = 4π

Mantelfl¨ache

Die Mantelfl¨ache eines Rotationsk¨orpers l¨asst sich als Grenzwert einer Summe aus Kegel- stumpfm¨anteln auffassen, deren Radien Funktionswerte sind und deren H¨ohen gegen Null streben.

x y

z

r1

xM

r2

Formel f¨ur die Mantelfl¨ache eines geraden Kreiskegels:

M =π(r₁+r₂)m

Auf den Mantel eines geraden Kreiskegels mit der H¨ohe dxangewendet dM =π2f(x_M)p

dx²+ dy²

= 2πf(x_M) rdx²

dx² + dy² dx² dx

= 2πf(xM)p

1 +f⁰(x)²dx . . . und ¨uber die gesamte Mantelfl¨ache integriert:

M = Z

M

dM = 2π Z b

a

f(x_M) q

1 +

f⁰(x)2

dx

Beispiel 5.5

Der Halbkreisy =√

r²−x²mit MittelpunktM(0,0) und Radiusrrotiert um diex-Achse.

Berechne die Oberlfl¨ache des Drehk¨orpers.

x y

y =√

r²−x²

S = 2π Z r

−r

√

r²−x² s

1 +

−2x 2√

r²−x² 2

dx Z r√ |r|

6 Uneigentliche Integrale (AM)

Beispiel 6.1

x y

1 a

y = 1/x²

Z a

1

1 x² dx=

−1 x

a

1

=−1 a −

−1 1

= 1− 1 a (∗) Was geschieht, wenn a→ ∞?

a→∞lim Z a

1

1

x² dx^(∗)= lim

a→∞

1− 1

a

= 1 Grenzwert existiert Das uneigentliche Integral

Z ∞

1

1

x² dx ist sinnvoll definiert.

Beispiel 6.2

x y

1 a

y= 1/x

Z ∞

1

1

xdx= lim

a→∞

Z a

1

1

xdx= lim

a→∞

lnxa

1 = lim

a→∞(lna−0) =∞ Das uneigentliche Integral existiert nicht.

Beispiel 6.3

x y

a 1

y= 1/√ x

Z 1

a

√1

xdx= 2√

x1

a= 2−2√ a (∗)

lim

a→0⁺

Z 1

a

√1

xdx^(∗)= lim

a→0⁺ 2−2√ a

= 2 existiert Das uneigentliche Integral

Z 1

0

√1

xdx ist sinnvoll definiert.

Beispiel 6.4

x y

y= e^x

Z 0

−∞

e^xdx= lim

a→−∞

Z 0

a

e^xdx= lim

a→−∞

e^x0 a

= lim

a→−∞ e⁰−e^a

= lim

a→−∞ 1−1/e^−a

= 1

Beispiel 6.5

x y

1

−a a

y= 1/(x²+ 1)

Z ∞

−∞

1

x²+ 1dx= lim

a→∞

Z a

−a

1

x²+ 1dx= lim^∗

a→∞

arctanxa

−a

= lim

a→∞

arctana−(−arctana)

= lim

a→∞[2 arctana] = 2·π/2 =π

∗ FTB S. 73

7 Bogenl¨ ange von Kurven (AM)

Gesucht: L¨ange s eines Graphen ¨uber dem Intervall [a, b]

x y

a b

dx dy ds

s= Z b

a

ds= Z b

a

pdx²+ dy² = Z b

a

q

1 + dy²/dx² dx²

= Z b

a

p1 + (dy/dx)²dx= Z b

a

p1 +f⁰(x)²dx

Beispiel 7.1

Bogenl¨ange von f(x) =x² uber [0,¨ 4]?

f⁰(x) = 2x s=

Z 4

0

√

1 + 4x²dx= 2 Z 4

0

q1

4 +x²dx

= 2

1 2x

q1

4 +x²+¹₈ln x+ q1

4 +x² 4

0

=

x q1

4 +x²+¹₄ln x+ q1

4 +x² 4

0

= 4√

16.25 + 0.25 ln(4 +√

16.25)−0.25 ln 0.5≈16.81 Bemerkung

Das letzte Beispiel zeigt, dass schon bei einfachen Potenzfunktionen die Berechnung der Bogenl¨ange mittels elementarer Integrale kompliziert wird. In vielen F¨allen ist eine exakte Berechnung gar nicht m¨oglich, weshalb man auf N¨aherungsmethoden zur¨uckgreifen muss.

Kurven in Parameterform x(t), y(t) s=

Z b

a

ds= Z b

a

pdx²+ dy² =. . . dx(t)

dt = ˙x(t) ⇒ dx= ˙x(t) dt dy(t)

dt = ˙y(t) ⇒ dy= ˙y(t) dt . . .=

Z t2

t1

px(t)˙ ²+ ˙y(t)²dt

analog im R³: s= Z t2

t1

px(t)˙ ²+ ˙y(t)²+ ˙z(t)²dt

Beispiel 7.2

Bogenl¨ange von K ={(rcost, rsint) : 0≤t <2π}?

x(t) = rcost ⇒ x(t) =˙ −rsint y(t) = rsint ⇒ y(t) =˙ rcost s=

Z 2π

0

pr²sin²t+r²cos²tdt= Z 2π

0

rp

sin²t+ cos²tdt

=r Z 2π

0

1 dt=r t2π

0 = 2πr

Kurven in Polarform r(ϕ), ϕ Parameterform: s=

Z t2

t1

px(t)˙ ²+ ˙y(t)²dt Polarform → Parameterform:

x(ϕ) = r(ϕ) cosϕ ⇒ x(ϕ)= ˙˙ r(ϕ) cosϕ−r(ϕ) sinϕ y(ϕ) = r(ϕ) sinϕ ⇒ y(ϕ)= ˙˙ r(ϕ) sinϕ+r(ϕ) cosϕ s=

Z ϕ2

ϕ1

px(ϕ)˙ ²+ ˙y(ϕ)²dϕ

= Z ϕ2

ϕ1

q

˙

r²cos²ϕ+r²sin²ϕ+ ˙r²sin²ϕ+r²cos²ϕdϕ

= Z ϕ2

ϕ1

pr˙²(ϕ) +r²(ϕ) dϕ

Beispiel 7.3

Bogenl¨ange von K ={(ϕ/π, ϕ) : 0 ≤ϕ <4π}

r(ϕ) =ϕ/π ⇒ r(ϕ) = 1/π˙ s=

Z 4π

0

r 1 π² +ϕ²

π² dϕ= 1 π

Z 4π

0

p1 +ϕ²dϕ

= 1 π

ϕ 2

p1 +ϕ² +1

2ln ϕ+p

1 +ϕ² 4π

0

= 1 π

2π√

1 + 16π²+1

2ln 4π+√

1 + 16π²

−0

= 25.726·

Check: fnInt(

q

X²/π²+1/π²,X,0,4π) → 25.726 (ok)

8 Partialbruchzerlegung (AM)

Beispiel 8.1 F¨uhr mit 2x+ 1

x²+ 3x−10 eine Partialbruchzerlegung durch.

2x+ 1

x²+ 3x−10 = 2x+ 1

(x−2)(x+ 5) = A

x−2 + B

x+ 5 || ·(x−2)(x+ 5) 2x+ 11 =A(x+ 5) +B(x−2)

2x+ 1 =Ax+ 5A+Bx−2B 2x+ 1 = (A+B)x+ (5A−2B) Koeffizientenvergleich:

A+B = 2

5A−2B = 1 ⇒ A = 5/7 B = 9/7 Z 2x+ 1

x²+ 3x−10dx= 1 7

Z 5

x−2dx+

Z 9 x+ 5dx

= 1 7

5 ln|x−2|+ 9 ln|x+ 5|

+C

Beispiel 8.2

F¨uhre mit 2x+ 1

x² + 4x+ 4 eine Partialbruchzerlegung durch.

Bei identischen Faktore ist anderer Ansatz n¨otig:

2x+ 1

(x+ 2)² = A

x+ 2 + B

(x+ 2)² || ·(x+ 2)² 2x+ 1 =A(x+ 2) +B

2x+ 1 =Ax+ (2A+B) A= 2

2A+B = 1 ⇒ B =−3 Z 2x+ 1

x²+ 4x+ 4dx=

Z 2

x+ 2 dx−

Z 3

(x+ 2)² dx

= 2 ln|x+ 2|+ 3(x+ 2)⁻¹+C

Beispiel 8.3

F¨uhre mit x−5

x³ −5x²+ 9x−5 eine Partialbruchzerlegung durch.

x−5

x³−5x²+ 9x−5 = x−5

(x−1)(x−[2 + i])(x−[2−i]) x−5

(x−1)(x²−4x+ 5) = A

x−1 + Bx+C

x²−4x+ 5 || ·HN x−5 =A(x²−4x+ 5) + (Bx+C)(x−1) x−5 =Ax² −4AX+ 5A+Bx²−Bx+Cx−C x−5 = (A+B)x²+ (−4A−B +C)x+ (5A−C) A+B = 0

−4A−B+C = 1 5A−C =−5

⇒

A=−2 B = 2 C =−5 Z x−5

(x−1)(x²−4x+ 5)dx

=−

Z 2

−x−1dx+

Z 2x−5 x²−4x+ 5 dx

=−2 ln|x−1|+ ln|x³−4x+ 5| −arctan(x−2) +C

Zusammenfassung

Jede gebrochen rationale Funktion

f(x) = p(x) q(x)

mit reellen Koeffizienten kann durch Polynomdivision auf die Form f(x) =g(x) + r(x)

q(x)

gebracht werden, wobei g(x) ein ganzrationales Polynom ist und Grad(p)<Grad(q) gilt.

Der Nennerq(x) l¨asst sich inCbis auf einen konstanten Faktor, der zum Z¨ahler gerechnet werden kann, in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

q(x) = (x−x1)^r1(x−x2)^r2. . .(x−xk)^rk

(x−z1)^s1(x−z1)^s1. . .(x−z`)<sup>s`</sup>(x−z`)<sup>s`</sup>

Die Paare konjugiert komplexer Linearfaktoren lassen sich als irreduzible Polynome 2. Gra- des mit reellen Koeffizienten darstellen.

(x−z_i)(x−z_i) =x²−(z_i+z_i)x+z_iz_i =x²+a_ix+b_i Damit:

q(x) = (x−x1)^r1(x−x2)^r2. . .(x−xk)^rk

= (x+a₁x+b₁)^s1(x+a₂x+b₂)^s2. . .(x+a_{`</sub>x+b<sub>`})^s` Jede echt gebrochen rationale Funktion p(x)

q(x) l¨asst sich in folgender Form darstellen:

p(x)

q(x) = A₁₁ x−x1

+ A₁₂

(x−x1)² +· · ·+ A_1r1 (x−x1)^r1 + A₂₁

x−x2

+ A₂₂

(x−x2)² +· · ·+ A_2r2 (x−x2)^r2 +. . .

+ A_k1

x−x_k + A_k2

(x−x_k)² +· · ·+ A_krk (x−x_k)^rk + B₁₁x+C₁₁

x²+a1x+b1

+ B₁₂x+C₁₂

(x²+a1x+b1)² +· · ·+ B_1s1x+C_1s1 (x²+a1x+b1)^s1 + B₂₁x+C₂₁

x²+a₂x+b₂ + B₂₂x+C₂₂

(x²+a₂x+b₂)² +· · ·+ B_2s2x+C_2s2 (x²+a₂x+b₂)^s2 +. . .

+ B_{`1</sub>x+C<sub>`2}

x²+a_{`</sub>x+b<sub>`} + B_{`2</sub>x+C<sub>`2}

(x²+a_{`</sub>x+b<sub>`})² +· · ·+ B_`s`x+C_`s` (x²+a_{`</sub>x+b<sub>`})^s`.

Ist der Nenner eines Partialbruches eine Potenz eines Linearfaktors, so ist der Z¨ahler eine Konstante A.

Ist der Nenner eine Potzenz eines irreduziblen Polynoms zweiten Grades, so ist sein Z¨ahler ein lineares

9 Gebietsintegrale (AM)

z =f(x, y)

G V ^Def.=

Z Z

f(x, y) dG= lim

∆Gi→0 n→∞

n

X

i=1

f(xi, yi) ∆Gi

sofern der Grenzwert rechts existiert.

Beispiel 9.1 f(x, y) = x+y

G={(x, y)∈R²: 0≤x≤5,0≤y≤4}

Gebiet:

x y

5 4

V = Z Z

G

(x+y) dG

= Z 5

0

Z 4

0

(x+y) dydx

= Z 5

0

xy+ 1 2y²

4

0

dx

= Z 5

0

(4x+ 8)dx

=

2x²+ 8x5

0 = (50 + 40)−(0 + 0) = 90

Beispiel 9.2 f(x, y) = 2xy

G={(x, y)∈R²: 0≤x≤3,0≤y≤3−x}

Gebiet:

x y

3 3

V = Z Z

G

2xydG

= Z 3

0

Z 3−x

0

2xydydx

= Z 3

0

xy²3−x

0 dx

= Z 3

0

x(3−x)²dx

= Z 3

0

9x−6x² +x³ dx

=

4.5x²−2x³ + 0.25x⁴3 0

= 6.75

Fl¨achenschwerpunkt ebener Fl¨achen

Gegeben: ebener fl¨achenhafter K¨orper mit konstanter Dicke h und homogener Dichte.

Gesucht: Fl¨achenschwerpunkt der Grundfl¨ache (h→0)

x y

y=f(x)

a b

Zur Erinnerung:

1 1

x y

x_S = x₁·A₁+x₂ ·A₂+x₃·A₃ A₁+A₂+A₃ y_S = y₁·A₁+y₂·A₂+y₃·A₃

A₁+A₂+A₃

x_s = Z Z

A

xdA Z Z

A

dA

= Z b

a

Z f(x)

0

xdydx Z b

a

Z f(x)

0

1 dydx

= Z b

a

x yf(x)

0 dx

Z b

a

yf(x)

0 dx

= Z b

a

xf(x) dx Z b

a

f(x) dx

y_s= Z Z

A

ydA Z Z

A

dA

= Z b

a

Z f(x)

0

ydydx Z b

a

Z f(x)

0

1 dydx

= Z b

a

₁

2y²f(x)

0 dx

Z b

a

yf(x)

0 dx

= Z b

a

f(x)2

dx 2

Z b

a

f(x) dx

Beispiel 9.3

Berechne den Schwerpunkt der Fl¨ache, die von dem Graphen der Funktionf(x) = 18−¹₈x² und den positiven Koordinatenachsen eingeschlossen wird.

x y

18

12 3

3

A= Z 12

0

18− 1 8x²

dx=

18x− 1 24x³

12

0

= 144

x_S = 1 144

Z 12

0

x

18−1 2x²

dx= 1 144

Z 12

0

18x−1 8x³

dx

= 1 144

9x²− 1 32x³

= 648 144 = 4.5

y_S = 1 288

Z 12

0

18− 1

2x² 2

dx= 1 288

Z 12

0

324− 9

2x² + 1 64x⁴

dx

= 1 288

324x− 3

2x³+ 1 320x⁵

12

0

= 7.2