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Präsenz-Übungsaufgabenzu AnwendungenderMathematik Prof.Dr.MoritzKaßmannFakultätfürMathematikWintersemester2018/19

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(1)

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2018/19 Universität Bielefeld

Präsenz-Übungsaufgaben zuAnwendungen der Mathematik 3. Dezember - 7. Dezember

Lösungsvorschläge

Aufgabe VII.1

Die folgenden Koordinatensysteme zeigen jeweils einen Graphen und den zugehörigen Gra- phen der Ableitungsfunktion:

− 4 − 2 2 4

10 20 30 A

10 20 30

B

(2)

− 4 − 2 2 4

− 20

− 10 10 20

C

− 2 − 1 1 2 3 4

− 10 10 20

D

Aufgabe VII.2

Berechnen Sie jeweils die Ableitung der Funktionf :R→R. Vereinfachen Sie die entstehen- den Ausdrücke soweit wie möglich.

(a) f(x)=x4+(x3+2)100 (b) f(x)=2+2xx24+1+4x2

(c) f(x)=e2xx2

(3)

(d) f(x)=ln(x2+1) (e) f(x)=cos(x−4) Lösung:

(a) Die Funktionf ist von der Form

f(x)=j(x)+h(g(x)),

wobeij(x)=x4,h(x)=x100undg(x)=x3+2. Unter Anwendung der Kettenregel erhalten wir also für die Ableitung

f0(x)=4x3+100(x3+2)99

| {z }

=h0(g(x))

· 3x2

|{z}

=g0(x)

=4x3+300x2(x3+2)99.

(b) Zunächst erkennen wir, dass sich die Funktionf stark vereinfachen lässt:

f(x)=2+2x4+4x2

x2+1 =2(1+2x2+x4)

x2+1 =2(x2+1)2

x2+1 =2(x2+1) Folglich erhalten wir als Ableitung

f0(x)=2·2x=4x.

Alternativ lässt sich die Ableitung auch ohne vorheriges Vereinfachen mithilfe der Quoti- entenregel bestimmen. Die Funktion f ist von der Form

f(x)=g(x) h(x)

mitg(x)=2+2x4+4x2undh(x)=x2+1. Die Quotientenregel lautet f0(x)=g0(x)·h(x)g(x)·h0(x)

(h(x))2 .

Es giltg0(x)=8x3+8xundh0(x)=2xund folglich

f0(x)=(8x3+8x)(x2+1)−(2+2x4+4x2)2x (x2+1)2

=8x5+8x3+8x3+8x−4x−4x5−8x3 (x2+1)2

=4x5+8x3+4x (x2+1)2

=4x(x4+2x2+1) (x2+1)2

=4x(x2+1)2 (x2+1)2

=4x.

(4)

(c) Bei der Funktionf handelt es sich um eine Verkettungf(x)=h(g(x)) mith(x)=exund g(x)=2x−x2. Es gilth0(x)=exundg0(x)=2−2xund die Kettenregel liefert

f0(x)= e2xx2

| {z }

=h0(g(x))

·(2−2x)

| {z }

=g0(x)

=2(1−x)e2xx2.

(d) Wieder ist die Funktionf gegeben als Verkettung zweier Funktionenf(x)=h(g(x)), wobei h(x)=ln(x) undg(x)=x2+1. Mith0(x)=1x undg0(x)=2xerhalten wir unter Anwendung der Kettenregel

f0(x)= 1 x2+1

| {z }

=h0(g(x))

· 2x

|{z}

=g0(x)

= 2x x2+1.

(e) Auch hier ist die Funktion f von der Form f(x)=h(g(x)), wobeih(x) =cos(x) und g(x)=x−4. Es gilth0(x)= −sin(x) undg0(x)=1 und mithilfe der Kettenregel erhalten wir insgesamt

f0(x)= −sin(x−4)

| {z }

=h0(g(x))

· 1

|{z}

=g0(x)

=sin(4−x).

(5)

Aufgabe VII.3

Sie betrachten in den folgenden Situationen jeweils eine differenzierbare Funktionf :R→R. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Geben Sie im ersten Fall eine Begründung bzw. im zweiten Fall ein Beispiel oder eine Skizze.

(a) Wenn für allex∈(1, 4) giltf(x)=7, dann gilt für allex∈(2, 3) auchf0(x)=0.

(b) Die Ableitung ist nicht größer als die Funktion, d.h. es gilt für allex∈Rf0(x)≤f(x) (c) Wenn für allex∈Rgiltf(x)≥3x, dann gilt für allex∈Rauchf0(x)≥3.

(d) Wennf(0)=0 und für allex∈Rgiltf0(x)≥1, dann gilt für allex∈Rauchf(x)≥x.

Lösung:

(a) Diese Aussage ist richtig. Wenn für allex∈(1, 4) giltf(x)=7, dann folgt für allex∈(1, 4) für die Ableitungf0(x)=0. Insbesondere gilt dies also fürx∈(2, 3).

(b) Diese Aussage ist falsch. Ein mögliches Gegenbeispiel liefert die Funktionf :R→R,f(x)= x. Hier giltf0(x)=1 für jedesx∈R, aber z.B.f0(0)=1>0=f(0).

(c) Diese Aussage ist falsch. Ein mögliches Gegenbeispiel zeigt die folgende Abbildung.

− 2 − 1 1 2 3

− 5 5 10 15 20

Der schwarze Graph gehört zu der Funktiong:R→R,g(x)=3x, der blaue Graph gehört zu der Funktion f :R→R,f(x)=ex+1. Aus der Grafik sehen wir, dassf(x)≥g(x)=3x für jedesx∈R. Jedoch istf0(x)=exund damit z.B.f0(0)=1<3.

(d) Diese Aussage ist falsch. Die Funktionf :R→R,f(x)=2xerfülltf(0)=0 undf0(x)=2>

1, aberf(−1)= −2< −1.

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