Präsenz-Übungsaufgabenzu AnwendungenderMathematik Prof.Dr.MoritzKaßmannFakultätfürMathematikWintersemester2018/19

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2018/19 Universität Bielefeld

Präsenz-Übungsaufgaben zuAnwendungen der Mathematik 3. Dezember - 7. Dezember

Lösungsvorschläge

Aufgabe VII.1

Die folgenden Koordinatensysteme zeigen jeweils einen Graphen und den zugehörigen Gra- phen der Ableitungsfunktion:

− 4 − 2 2 4

10 20 30 A

10 20 30

B

− 4 − 2 2 4

− 20

− 10 10 20

C

− 2 − 1 1 2 3 4

− 10 10 20

D

Aufgabe VII.2

Berechnen Sie jeweils die Ableitung der Funktionf :R→R. Vereinfachen Sie die entstehen- den Ausdrücke soweit wie möglich.

(a) f(x)=x⁴+(x³+2)¹⁰⁰ (b) f(x)=^2+2x_x2⁴+1^+4x2

(c) f(x)=e^2x−x2

(d) f(x)=ln(x²+1) (e) f(x)=cos(x−4) Lösung:

(a) Die Funktionf ist von der Form

f(x)=j(x)+h(g(x)),

wobeij(x)=x⁴,h(x)=x¹⁰⁰undg(x)=x³+2. Unter Anwendung der Kettenregel erhalten wir also für die Ableitung

f⁰(x)=4x³+100(x³+2)⁹⁹

| {z }

=h⁰(g(x))

· 3x²

|{z}

=g⁰(x)

=4x³+300x²(x³+2)⁹⁹.

(b) Zunächst erkennen wir, dass sich die Funktionf stark vereinfachen lässt:

f(x)=2+2x⁴+4x²

x²+1 =2(1+2x²+x⁴)

x²+1 =2(x²+1)²

x²+1 =2(x²+1) Folglich erhalten wir als Ableitung

f⁰(x)=2·2x=4x.

Alternativ lässt sich die Ableitung auch ohne vorheriges Vereinfachen mithilfe der Quoti- entenregel bestimmen. Die Funktion f ist von der Form

f(x)=g(x) h(x)

mitg(x)=2+2x⁴+4x²undh(x)=x²+1. Die Quotientenregel lautet f⁰(x)=g⁰(x)·h(x)−g(x)·h⁰(x)

(h(x))² .

Es giltg⁰(x)=8x³+8xundh⁰(x)=2xund folglich

f⁰(x)=(8x³+8x)(x²+1)−(2+2x⁴+4x²)2x (x²+1)²

=8x⁵+8x³+8x³+8x−4x−4x⁵−8x³ (x²+1)²

=4x⁵+8x³+4x (x²+1)²

=4x(x⁴+2x²+1) (x²+1)²

=4x(x²+1)² (x²+1)²

=4x.

(c) Bei der Funktionf handelt es sich um eine Verkettungf(x)=h(g(x)) mith(x)=e^xund g(x)=2x−x². Es gilth⁰(x)=e^xundg⁰(x)=2−2xund die Kettenregel liefert

f⁰(x)= e^2x−x2

| {z }

=h⁰(g(x))

·(2−2x)

| {z }

=g⁰(x)

=2(1−x)e^2x−x2.

(d) Wieder ist die Funktionf gegeben als Verkettung zweier Funktionenf(x)=h(g(x)), wobei h(x)=ln(x) undg(x)=x²+1. Mith⁰(x)=¹_x undg⁰(x)=2xerhalten wir unter Anwendung der Kettenregel

f⁰(x)= 1 x²+1

| {z }

=h⁰(g(x))

· 2x

|{z}

=g⁰(x)

= 2x x²+1.

(e) Auch hier ist die Funktion f von der Form f(x)=h(g(x)), wobeih(x) =cos(x) und g(x)=x−4. Es gilth⁰(x)= −sin(x) undg⁰(x)=1 und mithilfe der Kettenregel erhalten wir insgesamt

f⁰(x)= −sin(x−4)

| {z }

=h⁰(g(x))

· 1

|{z}

=g⁰(x)

=sin(4−x).

Aufgabe VII.3

Sie betrachten in den folgenden Situationen jeweils eine differenzierbare Funktionf :R→R^. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Geben Sie im ersten Fall eine Begründung bzw. im zweiten Fall ein Beispiel oder eine Skizze.

(a) Wenn für allex∈(1, 4) giltf(x)=7, dann gilt für allex∈(2, 3) auchf⁰(x)=0.

(b) Die Ableitung ist nicht größer als die Funktion, d.h. es gilt für allex∈Rf⁰(x)≤f(x) (c) Wenn für allex∈R^giltf(x)≥3x, dann gilt für allex∈R^auchf0(x)≥3.

(d) Wennf(0)=0 und für allex∈Rgiltf⁰(x)≥1, dann gilt für allex∈Rauchf(x)≥x.

Lösung:

(a) Diese Aussage ist richtig. Wenn für allex∈(1, 4) giltf(x)=7, dann folgt für allex∈(1, 4) für die Ableitungf⁰(x)=0. Insbesondere gilt dies also fürx∈(2, 3).

(b) Diese Aussage ist falsch. Ein mögliches Gegenbeispiel liefert die Funktionf :R→R,f(x)= x. Hier giltf⁰(x)=1 für jedesx∈R, aber z.B.f⁰(0)=1>0=f(0).

(c) Diese Aussage ist falsch. Ein mögliches Gegenbeispiel zeigt die folgende Abbildung.

− 2 − 1 1 2 3

− 5 5 10 15 20

Der schwarze Graph gehört zu der Funktiong:R→R,g(x)=3x, der blaue Graph gehört zu der Funktion f :R→R^,f(x)=e^x+1. Aus der Grafik sehen wir, dassf(x)≥g(x)=3x für jedesx∈R. Jedoch istf⁰(x)=e^xund damit z.B.f⁰(0)=1<3.

(d) Diese Aussage ist falsch. Die Funktionf :R→R,f(x)=2xerfülltf(0)=0 undf⁰(x)=2>

1, aberf(−1)= −2< −1.