Aufgabe 2 Rechnen mit hermiteschen und unit¨aren Matrizen (6 Punkte) Berechnen Sie explizit die Eigenwerte der hermiteschen Matrix H ≡ 1 −i i 2

Universit¨at Regensburg, Institut f¨ur Theoretische Physik Winter 2020/2021 Prof. Dr. Christoph Lehner (Dozent), Sebastian Spiegel (Gruppe 1), Raphael Lehner (Gruppe 2), Carolyn Echter (Gruppe 3), Selina N¨ocker (Gruppe 4), Adrian Seith (Gruppe 5), Daniel Kn¨uttel (Gruppe 6)

Ubungen zu Mathematische Methoden¨ Blatt 10 (abzugeben am 27. Januar)

Aufgabe 1 Rechnen in unit¨aren Vektorr¨aumen (8 Punkte) Berechnen Sie jeweils

a)

2i−1 3i

†

(1) b)

2i−1

3i

,

3

4i

(2) c)

2i−1 3i

(3) d)

d

2i−1

3i

,

3

4i

(4) mit dem Standardskalarprodukt und der dadurch induzierten Norm und Metrik.

Aufgabe 2 Rechnen mit hermiteschen und unit¨aren Matrizen (6 Punkte)

Berechnen Sie explizit die Eigenwerte der hermiteschen Matrix

H ≡

1 −i

i 2

. (5)

Zeigen Sie dann, dass

U ≡

0 i

i 0

(6) eine unit¨are Matrix ist und berechnen Sie ihre Eigenwerte. Bestimmen Sie auch U⁻¹.

Aufgabe 3 Vertiefung: Jacobi-Identit¨at (6 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe der ε-Tensoren, dass f¨ur~a,~b, ~c∈R³ gilt:

~a×(~b×~c) +~b×(~c×~a) +~c×(~a×~b) =~0. (7)

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