St¨orfunktionb(x) Ansatz b(x) =b0+b1x

Tabelle f¨ur den Ansatz einer partikul¨aren L¨osung bez¨uglich einer linearen DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Gesucht wird eine partikul¨are L¨osung y_p(x) der folgenden linearen DGLn-ter Ordnung mit kon- stanten Koeffizienten

y⁽ⁿ⁾+a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a₂y⁰⁰(x) +a₁y⁰+a₀y=b(x), a_i∈R.

Dabei ist das charakteristische Polynom gegeben durch

p(λ) =λⁿ+a_n−1λⁿ⁻¹+· · ·+a2λ²+a1λ+a0.

In der Tabelle seienb0, . . . , bm, α, β ∈Rdurch die St¨orfunktion bzw. durch das charakteristische Polynom gegeben undA₀, . . . , A_mundB₀, . . . , B_msind zu bestimmen.

St¨orfunktionb(x) Ansatz

b(x) =b0+b1x+· · ·+bmx^m yp(x) =A0+A1x+· · ·+Amx^m falls 0 keine Nullstelle vonp(λ) ist.

y_p(x) =x^k(A₀+A₁x+· · ·+A_mx^m) falls 0 eine k-fache Nullstelle vonp(λ) ist.

b(x) =e^αx(b0+b1x+· · ·+bmx^m) yp(x) =e^αx(A0+A1x+· · ·+Amx^m) fallsαkeine Nullstelle vonp(λ) ist.

yp(x) =x^ke^αx(A0+A1x+· · ·+Amx^m) fallsαeinek-fache Nullstelle vonp(λ) ist.

b(x) = cos(βx)(b0+b1x+· · ·+bmx^m) yp(x) = cos(βx)(A0+A1x+· · ·+Amx^m)

+ sin(βx)(B0+B1x+· · ·+Bmx^m) fallsiβ keine Nullstelle vonp(λ) ist.

b(x) = sin(βx)(b0+b1x+· · ·+bmx^m) yp(x) =x^kcos(βx)(A0+A1x+· · ·+Amx^m)

+x^ksin(βx)(B0+B1x+· · ·+Bmx^m) fallsiβ einek-fache Nullstelle vonp(λ) ist.

b(x) =e^αxcos(βx)(b0+b1x+· · ·+bmx^m) yp(x) =e^αxcos(βx)(A0+A1x+· · ·+Amx^m)

+e^αxsin(βx)(B0+B1x+· · ·+Bmx^m) fallsα+iβ keine Nullstelle vonp(λ) ist.

b(x) =e^αxsin(βx)(b0+b1x+· · ·+bmx^m) yp(x) =x^ke^αxcos(βx)(A0+A1x+· · ·+Amx^m)

+x^ke^αxsin(βx)(B0+B1x+· · ·+Bmx^m) fallsα+iβ einek-fache Nullstelle vonp(λ) ist.