Mathematische Methoden der Physik, ¨ Ubung 2
Prof. Hans Peter B¨ uchler WS 2014/15, 22. Oktober 2014
1. Elementare Integrale (Schriftlich)
(a) Berechne folgende elementare Integrale mit Hilfe der Integrationsregeln aus der Vorlesung
Z
dx 1 1 − x ,
Z
dxx cos(x), Z
dx cos(x) sin(x) ,
Z
dx f
0(x)
f (x) (1) (b) Berechne folgende bestimmte Integrale
Z
20
dx 1 x
3Z
π0
dx sin(x),
Z
2π0
dx sin
2(x),
Z
∞0
dx x exp(−x
2/a) (2) (c) Benutze die Relation 1/(1 − x
2) = 1/(1 + x) + 1/(1 − x) um folgendes Integral
zu berechnen
Z
dx 1
1 − x
2(3)
2. Gamma Funktion (Schriftlich)
(a) Die Gamma Funktion Γ(ν) ist definiert f¨ ur alle ν > 0 durch das Integral Γ(ν) =
Z
∞0
dx x
ν−1exp(−x). (4)
Zeige mittels partieller Integration, dass die Gamma Funktion folgende Bezie- hung erf¨ ullt
Γ(ν + 1) = νΓ(ν) (5)
(b) Berechne den Wert Γ(1) und zeige, dass f¨ ur naturliche Zahlen gilt
Γ(n + 1) = n!, (6)
d.h., die Gamma Funktion ist eine differenzierbare Erweiterung der Fakult¨ at.
(c) Zeige durch Substitution, dass Z
∞−∞
dx exp(−x
2) = Γ(1/2). (7)
(d) Verifiziere die folgende Gleichung (Hinweis: Γ(1/2) = √ π) F (λ) =
Z
∞−∞
dx exp −λx
2= r π
λ . (8)
Berechne nun mittels Ableiten der Funktion F (λ) nach λ die Integrale Z
∞−∞
dxx
2exp −x
2,
Z
∞−∞
dxx
4exp −x
2. (9)
(e) Berechne, die Integrale aus (d) nun direkt durch das Umschreiben auf die Gamma Funktion, und zeige, dass es dasselbe Resultat ergibt.
3. Konvergenz von Integralen. ( ¨ Ubungstunde) Berechne die Stammfunktion von
Z dx 1
x
ν(10)
mit ν eine reele Zahl. Untersuch nun f¨ ur welche Werte von ν folgende Intetrale konvergieren
(a)
Z
10
dx 1
x
ν= lim
a→0
Z
1a
dx 1
x
ν(11)
(b)
Z
∞1
dx 1
x
ν= lim
b→∞
Z
b1
dx 1
x
ν(12)
(c) Untersuche nun die Konveregenz von folgenden Integralen Z
∞0
dx 1 1 + x
3Z
∞0
dx 1 x
Z
∞0
√ 1 + x
2x(1 + x
2)
Z
∞0
dx sin
2(x) x
2Z
∞0
