Elementare Integrale

Vorlesung 17

Elementare Integrale

Es werden einige Klassen von Funktionen betrachtet, die sich in geschlossener Form integrieren lassen. Seien Intervallgrenzena,b 2Rmita < b gegeben.

Teilbruchzerlegung. Seien n 2 N und Koeffizienten a0; : : : ; an 2 R mit an D 1 sowie die ganze rationale Funktionf W R! Rdurch f ./ DPn

kD0ak^k für 2 R gegeben. Es sei vorausgesetzt, daß es Zahlen`1,`2 2 N[ f0gsowie˛1; : : : ; ˛`1 2 N, ˇ1; : : : ; ˇ`2 2N mitP`1

kD1˛kCP`2

kD12ˇk Dnsowiex1; : : : ; x`1 2R,y1; : : : ; y`2 2 R undd1; : : : ; d`₂ 2 Rn f0ggibt, so daßf die Darstellung

f ./D

n

X

kD0

ak^k D

`1

Y

kD1

. xk/^˛k

`2

Y

kD1

.. yk/²Cd_k²/^ˇk für alle 2 R als Produkt teilerfremder Faktoren besitzt. Seienm2N[ f0gmitm < nund Koeffi- zientenb0; : : : ; bm 2Rmitbm ¤0gegeben, so daß die durch'.x/DPm

kD0bk^k für 2Rdefinierte ganze rationale Funktion' WR!Rteilerfremd zuf ist.

Unter diesen Voraussetzungen kann man für die echt gebrochene rationale Funk- tion_f^' WRn fx1; : : : ; x`₁g !Reine eindeutige Darstellung alsTeilbruchzerlegung

'./

f ./ D

`₁

X

kD1

˛_k

X

jD1

zkj

. xk/^j C

`₂

X

kD1 ˇk

X

jD1

pkj. yk/Cqkj

.. yk/²Cd_k²/^j für 2Rn fx1; : : : ; x`1g mit Koeffizienten zk1; : : : ; zk˛<sub>k</sub> 2 Rfürk 2 f1; : : : ; `1gsowiepk1; : : : ; pkˇ_k 2 Rund qk1; : : : ; qkˇ_k 2 Rfür k 2 f1; : : : ; `2g finden, welche sich aus beiden Darstellungen nach Multiplikation mit dem Hauptnenner und dem Koeffizientenvergleich vor Ter- men gleicher Ordnung in als Lösung eines linearen Gleichungssystems ergeben.

Integration rationaler Funktionen. Nach der Teilbruchzerlegung kann über jede echt gebrochene rationale Funktion in geschlossener Form integriert werden, wobei man die Teilbrüche danach unterscheidet, ob ihre Nenner reelle Nullstellen besitzen oder nicht, und danach, ob die Ordnungj 2N den Wertj D1oderj > 1besitzt:

1. Für allez,x2 Rergibt sich im Fallej D1das Grundintegral Z b

a

z d

x Dzlnjb xj zlnja xj; fallsx… Œa; b:

2. Für allez,x2 Rerhält man im Fallej > 1das Grundintegral Z b

a

z d

. x/^j D 1 j 1

z

.b x/^{j 1} C 1 j 1

z

.a x/^{j 1} ; fallsx …Œa; b:

2

3. Seien p,q,y,d 2 Rmitd > 0gegeben. Besitzt der Nennerkeinereellen Null- stellen, so ergibt sich im Fallej D1die Linearkombination

Z b

a

.p. y/Cq/ d . y/²Cd² D p

2 Z b

a

2. y/ d . y/²Cd² Cq

Z b

a

d . y/²Cd² der beiden elementaren Integrale

Z b

a

2. y/ d

. y/²Cd² Dln .b y/²Cd²

ln .a y/²Cd²

; Z b

a

d

. y/²Cd² D 1

d arctanb y d

1

d arctana y d :

4. Seien p,q,y,d 2 Rmitd > 0gegeben. Besitzt der Nennerkeinereellen Null- stellen, so betrachtet man im Fallej > 1die Linearkombination

Z b

a

.p. y/Cq/ d .. y/²Cd²/^j D p

2 Z b

a

2. y/ d

.. y/²Cd²/^j Cq Z b

a

d

.. y/²Cd²/^j des elementaren Integrals

Z b

a

2. y/ d

.. y/²Cd²/^j D 1 j 1

1

..b y/²Cd²/^{j 1} C 1 j 1

1

..a y/²Cd²/^{j 1} und des IntegralsRb

a

d

.. y/²Cd²/^j , welches schrittweise mit Hilfe einer Rekursionsfor- mel auf den schon untersuchten Fallj D1zurückgeführt wird: Zunächst erhält man durch teilweise Integration

Z b

a

d

.. y/²Cd²/^{j 1} D b y

..b y/²Cd²/^{j 1}

a y

..a y/²Cd²/^{j 1} C

Z b

a

2.j 1/. y/²d .. y/²Cd²/^j : Das letzte Integral läßt sich folgendermaßen umformen:

Z b

a

2.j 1/. y/²d .. y/²Cd²/^j D

Z b

a

2.j 1/.. y/²Cd² d²/ d .. y/²Cd²/^j

D Z b

a

2.j 1/ d .. y/²Cd²/^{j 1}

Z b

a

2.j 1/d²d .. y/²Cd²/^j : Aus beiden Identitäten ergibt sich somit die gesuchte Rekursionsformel Z b

a

d

.. y/²Cd²/^j D 1 2.j 1/d²

b y

..b y/²Cd²/^{j 1}

a y

..a y/²Cd²/^{j 1}

C2.j 1/ 1 2.j 1/d²

Z b

a

d

.. y/²Cd²/^{j 1} ; die nach.j 1/-maliger Anwendung auf das bekannte IntegralRb

a

d

. y/²Cd² führt.

3

Verkettung rationaler und trigonometrischer Funktionen. Seien Intervallgren- zen˛,ˇ 2 ; Œmit˛ < ˇ, fernerX D˚

.cos;sin / 2RRj 2 Œ˛; ˇ sowie eine rationale FunktionhWX !Rgegeben. Zur Zurückführung des Integrals

Z ˇ

˛

h.cos;sin / d D Z b

a

h.cos'./;sin'.// D'./ d

auf ein Integral über eine rationale Funktion eignet sich die durch'./D 2arctan definierte Transformation ' W R !  ; Œ der neuen Variablen 2 R in die alte Variable D'./2  ; Œ, wobei die neuen Grenzena,b 2Rdurch'.a/D˛ und '.b/Dˇgegeben sind. Aus D' ¹. /Dtan₂ ergeben sich

cos² ₂ D 1

1C²; cos D2cos² ₂ 1D 1 ²

1C² ; sin D2tan₂cos² ₂ D 2 1C² und somit schließlich die Umwandlung in ein Integral

Z ˇ

˛

h.cos;sin / d D Z b

a

h

1 ² 1C²; 2

1C²

2 d 1C² über eine inrationale Funktion.

Verkettung rationaler und Exponentialfunktionen. Seih WŒexp.a/;exp.b/ ! R eine rationale Funktion. Man wandelt das Integral

Z b

a

h.exp.x// dx D Z t

s

h.exp.'./// D'./ d D Z t

s

h./ d

in ein Integral über eine rationale Funktion mit den Intervallgrenzen s D exp.a/

undt D exp.b/ um, indem man die durch './ D ln./ definierte Transformation ' W0;1Œ!Rder Variablen 20;1ŒinxD'./2 Ranwendet.

Verkettung rationaler und Wurzelfunktionen. Seieny,ı 2 Rmitı > 0vorgege- ben und durch'./ D y Cı eine Transformation' W R! Rder Variablen 2 R inxD'./ 2Rsowie neue Grenzens D ^{a y}_ı 2Rundt D ^{b y}_ı 2Rdefiniert.

1. SeiŒa; b Œy ı; y Cı. Ist die rationale Funktionh W X ! Rin der Menge X D˚

x;p

ı² .x y/²

jx 2Œa; b definiert, so erhält man zunächst Z b

a

h x;p

ı² .x y/² dx D

Z t

s

h y Cı; ıp

1 ² ı d : Dann bildet man durch . / D sin eine Transformation W

2;₂

!Œ 1; 1

der neuen Variablen 2

2;₂

in D . / 2 Œ 1; 1 und erhält für die durch .˛/Ds und .ˇ/Dt gegebenen Grenzen˛,ˇ 2

2;₂

das Integral Z b

a

h x;p

ı² .x y/² dxD

Z ˇ

˛

h y Cısin; ıcos

ıcos d:

4

2. Seia; bŒ\Œy ı; y CıD ¿. IstX D ˚ x;p

.x y/² ı²

j x 2 Œa; b und hWX !Reine rationale Funktion, so ergibt sich in einem ersten Schritt

Z b

a

h x;p

.x y/² ı² dx D

Z t

s

h y Cı; ıp

² 1 ı d :

FürŒa; bŒyCı;1Œdefiniert man eine Transformation WŒ0;1Œ!Œ1;1Œder neuen Variablenz 2 Œ0;1Œin D .z/2 Œ1;1Œdurch .z/Dcoshz und erhält für die durch .u/Ds und .v/ Dt gegebenen Grenzenu,v2 Œ0;1Œdas Integral

Z b

a

h x;p

.x y/² ı² dxD

Z v

u

h yCıcoshz; ısinhz

ısinhz dz:

Für Œa; b  1; y ıbildet man die Transformation W Œ0;1Œ !  1; 1

der Variablenz 2 Œ0;1Œin D .z/2  1; 1durch .z/D coshz und erhält für die durch .u/Dsund .v/ Dt gegebenen Grenzenu,v 2Œ0;1Œdas Integral

Z b

a

h x;p

.x y/² ı² dxD

Z v

u

h y ıcoshz; ısinhz

ısinhz dz:

3. Ist hingegen X D ˚ x;p

.x y/²Cı²

j x 2 Œa; b und h W X ! R eine rationale Funktion, so erhält man zuerst

Z b

a

h x;p

.x y/²Cı² dx D

Z t

s

h y Cı; ıp

²C1 ı d :

Anschließend definiert man durch .z/D sinhz eine Transformation WR! R der neuen Variablenz 2 Rin D .z/ 2 Rund bekommt für die durch .u/ D s und .v/Dt gegebenen Grenzenu,v 2Rdas Integral

Z b

a

h x;p

.x y/²Cı² dx D

Z v

u

h y Cısinhz; ıcoshz

ıcoshz dz: