Transformation mehrdimensionaler Integrale

5.3.2 Variablentransformation

Transformation mehrdimensionaler Integrale

Z

U

f ◦ g | det g ⁰ | dU = Z

V

f dV, V = g(U ) ,

f¨ur eine bijektiveTransformation g mit det g ⁰ (x) 6 = 0, x ∈ U Spalten von g ⁰ orthogonal = ⇒

| det g ⁰ | = Y n

i=1

∂g

∂x i

y = g(x) = Ax + b (affine Transformation) = ⇒

dy = | det A | dx Volumenelement in Zylinderkoordinaten

x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = z = ⇒ dx dy dz = %d% dϕ dz Integral ¨uber einen Zylinder Z : 0 ≤ % ≤ % ₀ , 0 ≤ z ≤ z ₀

Z

Z

f = Z z

0

Z 2π 0

Z %

0

f (%, ϕ, z) % d% dϕ dz

Volumenelement in Kugelkoordinaten

x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ = ⇒ dx dy dz = r ² sin ϑ dr dϑ dϕ

Integral ¨uber eine Kugel K : 0 ≤ r ≤ R Z

K

f = Z 2π

0

Z π

0

Z R

0

f (r, ϑ, ϕ) r ² sin ϑ dr dϑ dϕ

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