Fortgeschrittene Kontinuumstheorie I

Ubungsblatt 4 ¨

Fortgeschrittene Kontinuumstheorie I

Klassische Feldtheorie WS 2015/16

Fakult¨ at Mathematik und Physik Universit¨ at Stuttgart

Prof. Dr. R. Hilfer

Aufgabe 1 (Votieraufgabe): (3 Punkte)

a) Welche Bedingung m¨ ussen die Elemente eines symmetrischen zwei- dimensionalen Tensors erf¨ ullen, damit der linearisierte Greensche Verzerrungstensor eines ebenen Verschiebungsfeldes ist? Vergleichen Sie mit der Bedingung, daß ein zweidimensionales Kraftfeld ein Poten- tial besitzt.

Hinweis:

Dr¨ ucken Sie zun¨ achst die Komponenten

durch Ableitungen ∂u

/∂ξ

aus. Welche Relation zwischen den zweiten Ableitungen von

besteht somit?

(2 Punkte) b) Wenden Sie das Ergebnis aus a) auf einen Tensor der Form

(ξ) = a(ξ

− ξ

) bξ

ξ

bξ

ξ

aξ

ξ

!

an. Welche Bedingung ergibt sich f¨ ur a und b? Wie lautet das Ver-

schiebungsfeld? (1 Punkt)

1

Aufgabe 2 (Votieraufgabe): (3 Punkte)

Gegeben sei ein ebenes Spannungsfeld, ausgedr¨ uckt durch einen Cauchy- Spannungstensor T. t

und t

seien Normal- und Schubspannung bez¨ uglich einer Geraden, deren Normale n im Hauptachsensystem die Komponenten n

(i = (1, 2)) besitze. F¨ ur die Hauptspannungen σ

gelte die Beziehung σ

> σ

.

a) Berechnen Sie aus den Hauptspannungen σ

die Normalspannung t

sowie den Ausdruck t

+ t

.

(Ergebnis: t

= n

σ

+ n

σ

, t

+ t

= n

σ

+ n

σ

.) (1 Punkt) b) Bestimmen Sie t

in Abh¨ angigkeit von t

Eliminieren Sie hierzu n

und n

aus den resultierenden Gleichungen unter Zuhilfenahme der Beziehung n

+ n

= 1.

Hinweis: Als Ergebnis erhalten Sie den Mohrschen Spannungskreis t

+ [t

−

]

=

. (1 Punkt) c) Zeigen Sie, dass die maximale Schubspannung durch

(t

)

=

{(t

)

− (t

)

} gegeben ist. (1 Punkt)

Aufgabe 3 (Hausaufgabe): (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass f¨ ur die Determinante ∆ einer Jacobischen Matrix F

, die auch als Deformationsgradient bezeichnet wird, und ihr dazugeh¨ origes Ge- schwindigkeitsfeld v folgende Beziehung gilt:

d∆

dt = ∆div v.

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