Fortgeschrittene Kontinuumstheorie I

Ubungsblatt 1 ¨

Fortgeschrittene Kontinuumstheorie I

Klassische Feldtheorie WS 2018/19

Fakult¨ at Mathematik und Physik Universit¨ at Stuttgart

Prof. Dr. R. Hilfer

Aufgabe 1: (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass man jeden Tensor F mit det F > 0 wie folgt “polar” in ein Produkt zerlegen kann

F = RU = VR. (1)

Dabei ist R eigentlich orthogonal (R

R = I und det R = +1), und U und V sind positiv definit. (Ein symmetrischer Tensor A heisst positiv definit, wenn f¨ ur alle Vektoren a 6= 0 gilt (Aa) · a > 0).

Gehen Sie dazu wie folgt vor:

a) Zeigen Sie, dass (Fa) · (Fa) = (F

Fa) · a > 0 f¨ ur alle a 6= 0 gilt.

b) Setzen Sie, dass U = (F

F)

und R = FU

. Zeigen Sie, dass dann R eigentlich orthogonal und U positiv definit ist.

c) Zeigen Sie Eindeutigkeit der Zerlegung F = RU. Nehmen Sie dazu an, es g¨ abe zwei verschiedene Zerlegungen (RU = R

U

) und zeigen Sie, dass U

= U

.

d) Schliessen Sie von V = (FF

)

auf die Zerlegungen F = VR.

Aufgabe 2: (2 Punkte)

Ein kovariantes Vektorfeld (Funktion, die jedem Punkt einen Vektor zuweist) habe in rechtwinkligen Koordinaten die Komponenten xy, 2y − z

und xz.

Wie lauten seine kovarianten Komponenten in Kugelkoordinaten?

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Aufgabe 3: (4 Punkte)

Bestimmen Sie f¨ ur die (2, 0)-Tensoren

T = 3e

⊗ e

− 2e

⊗ e

− 2e

⊗ e

+4e

⊗ e

− 1e

⊗ e

− 1e

⊗ e

+ 6e

⊗ e

M = 1e

⊗ e

+ 3e

⊗ e

+ 2e

⊗ e

+4e

⊗ e

− 1e

⊗ e

+ 1e

⊗ e

+ 1e

⊗ e

− 2e

⊗ e

(die Basiseinheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems sind mit e

bezeichnet und e

⊗ e

ist ihr Tensorprodukt).

a) den transponierten Tensor.

b) die Spur.

c) den Kugeltensor (T

=

T

δ

e

⊗e

) und den Deviator (T

= T− T

) sowie die Spur des Kugeltensors und des Deviators.

d) und den inversen Tensor.

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