Fakult¨at f¨ur Physik und Astronomie der Ruhr-Universit¨at Bochum

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F ^Fakult¨ und Astronomie der ^{at f¨ ur Physik}

Ruhr-Universit¨ at Bochum

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Institut f¨ ur Theoretische Physik Weltraum- und Astrophysik

Manuskript zur Vorlesung

Theoretische Physik II:

Elektrodynamik

2. korrigierte Auflage

– basierend auf der Vorlesung in 2003 gehalten von R. Schlickeiser –

Bochum 2005

Vorlesung Theoretische Physik II (Elektrodynamik)

gehalten von R. Schlickeiser

Reinhard Schlickeiser Institut f¨ ur Theoretische Physik Lehrstuhl IV: Weltraum- und Astrophysik

Grafiken von Urs Schaefer-Rolffs 2. korrigierte Auflage

14. Juni 2005

Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung 1

0.1 Vorbemerkung . . . . 1

1 Einf¨ uhrung 3 1.1 Vier Bereiche der Mechanik . . . . 3

1.2 Vier Grundkr¨ afte der Natur . . . . 3

1.3 Historische Entwicklung der Elektrodynamik . . . . 4

1.4 Eigenschaften der elektrischen Ladungen . . . . 5

1.5 Einheiten . . . . 5

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen 7 2.1 Differentiation und Integration von Vektoren . . . . 7

2.1.1 Differentiation von Vektoren . . . . 7

2.1.2 Integration von Vektoren . . . . 8

2.2 Koordinatensysteme . . . . 8

2.2.1 Koordinatenlinien und Koordinatenfl¨ achen . . . . 9

2.2.2 Festlegung von Einheitsvektoren . . . . 9

2.2.3 Beispiel: Zylinderkoordinaten . . . . 10

2.3 Vektorielle Differentialoperatoren . . . . 12

2.3.1 Gradient . . . . 12

2.3.2 Der Nabla-Operator ∇ ~ . . . . 15

2.3.3 Divergenz . . . . 15

2.3.4 Rotation . . . . 17

2.4 Rechenregeln f¨ ur vektorielle Differentialoperatoren . . . . 19

2.4.1 Summenregeln . . . . 19

2.4.2 Produktregeln . . . . 19

2.4.3 Quotientenregeln . . . . 19

2.4.4 Kombination verschiedener vektorieller Differentialoperatoren . . . . . 20

2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten . . . . 21

2.5.1 Grundgleichungen . . . . 21

2.5.2 Gradient . . . . 21

2.5.3 Divergenz . . . . 23

2.5.4 Rotation . . . . 24

2.5.5 Laplace-Operator . . . . 24

2.5.6 Beispiel: Kugelkoordinaten . . . . 25

Inhaltsverzeichnis

2.6 Integralrechnung mit Vektoren . . . . 26

2.6.1 Integration von Gradienten . . . . 26

2.6.2 Integration von Divergenzen . . . . 28

2.6.3 Integration von Rotationen . . . . 30

2.6.4 S¨ atze von Green . . . . 32

2.7 Dirac’s Delta-Funktion . . . . 33

2.7.1 Divergenz von ~ e r /r ² . . . . 33

2.7.2 Die eindimensionale Delta-Funktion δ(x − x 0 ) . . . . 34

2.7.3 Einschub: Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . 36

2.7.4 Eigenschaften der δ-Funktion . . . . 37

2.7.5 Die dreidimensionale Delta-Funktion . . . . 38

2.8 Helmholtz-Theorem . . . . 39

2.9 Skalare Potentiale und Vektorpotentiale . . . . 42

2.10 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . 42

3 Elektrostatik 43 3.1 Coulomb-Gesetz . . . . 43

3.2 Elektrische Feldst¨ arke . . . . 44

3.3 Differentielle Feldgleichungen . . . . 45

3.3.1 Feldlinien . . . . 47

3.4 Integralform der Feldgleichungen . . . . 47

3.5 Anwendung des Gauß-Gesetzes . . . . 49

3.5.1 Feld einer homogenen geladenen Kugel . . . . 49

3.5.2 Feldverhalten an Grenzfl¨ achen . . . . 52

3.6 Elektrostatische Feldenergie . . . . 53

3.6.1 Energie einer Punktladungsverteilung . . . . 54

3.6.2 Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . 55

3.7 Leiter und Isolatoren . . . . 55

3.7.1 Leiter . . . . 56

3.7.2 Isolatoren . . . . 58

3.7.3 Leiter im elektrostatischen Feld . . . . 58

3.8 Randwertprobleme . . . . 59

3.8.1 Formulierung des Randwertproblems . . . . 59

3.8.2 Partikul¨ are und homogene L¨ osung . . . . 59

3.8.3 Eindeutigkeit der L¨ osung . . . . 60

3.8.4 Greensfunktion . . . . 61

3.9 Entwicklung des skalaren Potentials einer statischen, begrenzten Ladungsver- teilung nach Multipolen . . . . 62

3.9.1 Multipole . . . . 62

3.9.2 Eigenschaften der Legendre-Polynome . . . . 63

3.9.3 Multipolentwicklungen . . . . 68

3.9.4 Beispiel: Der physikalische Dipol . . . . 70

3.10 Spiegelungsmethode oder Methode der Bildladungen . . . . 72

Inhaltsverzeichnis 3.10.1 Beispiel: Punktladung vor geerdeter, unendlich ausgedehnter Metall-

platte . . . . 72

3.11 Methode der konformen Abbildung bei ebenen Problemen . . . . 75

3.11.1 Ebenes Feld . . . . 75

3.11.2 Methode der konformen Abbildung . . . . 77

3.11.3 Beispiel: Gerader geladener Draht durch den Ursprung und senkrecht zur Ebene . . . . 78

3.12 L¨ osung der Laplace-Gleichung durch Separationsansatz . . . . 80

3.12.1 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . 80

3.12.2 Zylindersymmetrie . . . . 82

3.12.3 Entwicklung nach Legendre-Polynomen . . . . 82

3.12.4 Zylindersymmetrisches Beispiel: Leitende Kugel im homogenen Feld . 84 3.12.5 Assoziierte Legendre-Polynome . . . . 86

3.12.6 Inneres und ¨ außeres Dirichletproblem f¨ ur die Kugel . . . . 89

4 Magnetostatik 91 4.1 Strom und Stromdichte . . . . 91

4.1.1 Stromdichte und Stromfaden . . . . 91

4.1.2 Mikroskopische Definition . . . . 92

4.1.3 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . 93

4.2 Amp` ere-Gesetz . . . . 94

4.3 Magnetische Induktion und Biot-Savart-Gesetz . . . . 95

4.3.1 Beispiel: Lorentz-Kraft . . . . 96

4.3.2 Beispiel: Magnetfeld eines geraden Leiters . . . . 97

4.4 Differentielle Feldgleichungen . . . . 98

4.5 Integralform der Feldgleichungen . . . . 102

4.6 Feldverhalten an Grenzfl¨ achen . . . . 103

4.7 Multipolentwicklung f¨ ur das Vektorpotential . . . . 105

4.7.1 Hilfssatz . . . . 106

4.7.2 Magnetisches Dipolmoment . . . . 107

4.7.3 Magnetisches Moment eines geschlossenen, ebenen Stromkreises . . . 109

4.7.4 Magnetisches Moment eines Systems von Punktladungen . . . . 109

4.8 Beispiel: Magnetfeld durch Gleichstrom im Koaxialkabel . . . . 110

5 Maxwell-Gleichungen 117 5.1 Induktionsgesetz . . . . 117

5.2 Feldgleichungen vor Maxwell f¨ ur zeitabh¨ angige Felder . . . . 118

5.3 Verschiebungsstrom (oder: wie Maxwell das Ampere-Gesetz reparierte) . . . . 119

5.4 Elektromagnetische Potentiale . . . . 120

5.5 Eichtransformationen . . . . 121

5.5.1 Lorentz-Eichung . . . . 122

5.5.2 Coulomb-Eichung . . . . 124

5.6 Energiesatz der Elektrodynamik . . . . 125

5.7 Impulssatz der Elektrodynamik . . . . 128

Inhaltsverzeichnis

5.8 Lagrange- und Hamilton-Funktion eines geladenen Teilchens im elektroma-

gnetischen Feld . . . . 131

6 Elektromagnetische Wellen und Strahlung 133 6.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum . . . . 133

6.1.1 Ebene Wellen . . . . 134

6.1.2 Ebene, monochromatische Welle . . . . 136

6.1.3 Linearkombination von ebenen, monochromatischen Wellen . . . . 136

6.1.4 Potentiale und Felder von ebenen, monochromatischen Wellen . . . . 137

6.1.5 Energiedichte und Poynting-Vektor der ebenen, monochromatischen Welle . . . . 139

6.1.6 Polarisation . . . . 140

6.2 Inhomogene Wellengleichung . . . . 143

6.2.1 Singul¨ are Funktionen der Elektrodynamik . . . . 143

6.2.2 Viererpotential einer bewegten Punktladung . . . . 152

6.2.3 Elektrische Feldst¨ arke einer bewegten Punktladung . . . . 154

6.2.4 Magnetische Feldst¨ arke einer bewegten Punktladung . . . . 160

6.3 Energieabstrahlung einer bewegten Punktladung . . . . 163

6.3.1 Larmor-Formel . . . . 164

6.3.2 Bremsstrahlung . . . . 165

6.3.3 Kreisbewegung . . . . 167

6.4 Der Hertzsche Dipol . . . . 167

7 Kovariante Formulierung der Maxwell-Theorie 177 7.1 Die Lorentz-Transformation . . . . 177

7.2 Minkowski-Raum . . . . 179

7.2.1 Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren und Vierer-Tensoren . . . . 180

7.3 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik . . . . 181

7.3.1 Vierer-Potential . . . . 181

7.3.2 Kovariante Maxwellgleichungen und Feldst¨ arketensor . . . . 183

7.3.3 Lorentz-Transformation der Feldst¨ arken . . . . 184

7.4 Lagrange- und Hamilton-Formalismus f¨ ur Felder . . . . 185

7.4.1 Lagrange-Dichte und Hamilton-Dichte . . . . 186

7.4.2 Klein-Gordon-Lagrange-Dichte f¨ ur ein skalares (Spin 0) Feld . . . . . 187

7.4.3 Proca-Lagrange-Dichte f¨ ur ein Vektor-Feld (Spin 1) . . . . 188

7.4.4 Maxwell-Lagrange-Dichte f¨ ur ein masseloses Vektor-Feld mit Quelle j ^µ 189 7.4.5 Bemerkung . . . . 189

8 Elektrodynamik in Materie 191 8.1 Dielektrika im elektrostatischen Feld . . . . 191

8.1.1 Polarisation . . . . 191

8.1.2 Feld eines polarisierten Objekts . . . . 193

8.1.3 Beispiel: Elektrisches Feld einer gleichf¨ ormig polarisierten Kugel vom

Radius R . . . . 195

Inhaltsverzeichnis

8.1.4 Elektrische Verschiebung . . . . 198

8.1.5 Lineare Dielektrika . . . . 199

8.1.6 Beispiel: Kugel aus linearem dielektrischen Material im gleichf¨ ormigen elektrischen Feld . . . . 200

8.2 Magnetisierte Medien . . . . 204

8.2.1 Suszeptibilit¨ at und Permeabilit¨ at . . . . 207

8.3 Maxwell-Gleichungen in Materie . . . . 207

8.3.1 Maxwell-Gleichungen in integraler Form . . . . 208

8.3.2 Maxwell-Gleichungen in differentieller Form . . . . 209

A Anhang 211 A.1 Mathematischer Anhang . . . . 211

A.1.1 N¨ aherungsformeln . . . . 211

A.1.2 Eulersche Formeln und Umkehrung . . . . 211

A.1.3 A.1.3 Darstellung des ∇-Operators in verschiedenen Koordinatensys- ~ temen . . . . 211

A.1.4 Rechenregeln f¨ ur den ∇-Operator ~ . . . . 212

A.2 Empfohlene Literatur . . . . 213

A.2.1 B¨ ucher zur Theoretischen Elektrodynamik: . . . . 213

A.2.2 B¨ ucher f¨ ur mathematische Formeln (“Grundausstattung”): . . . . 213

A.2.3 B¨ ucher f¨ ur mathematische Physik (“Grundausstattung”): . . . . 213

Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung

0.1 Vorbemerkung

Dieses Vorlesungsskript basiert auf Vorlesungen, die ich in den Sommersemesters 2001 und 2003 an der Ruhr-Universit¨ at Bochum f¨ ur Studierende des Diplomstudiengangs Physik im 4.

Semester gehalten habe. Besonders danken m¨ ochte ich

- Herrn Dipl.-Phys. Urs Schaefer-Rolffs, der die grafischen Illustrationen zum Skript beigetragen hat,

- Frau Angelika Schmitz f¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz beim Korrigieren und Erstellen des Skripts in PDF-LATEX,

- Frau Hanna D¨ oring f¨ ur den Hinweis auf viele Fehler in der ersten Version.

Ich hoffe, dass dieses Skript vielen Studierenden beim Erlernen der Theoretischen Elektrody- namik hilft.

Reinhard Schlickeiser

Bochum, im Juni 2005

0 Einleitung

1 Einf¨ uhrung

1.1 Vier Bereiche der Mechanik

In Bezug auf die Geschwindigkeit und die Gr¨ oße von physikalischen Objekten, kann man, wie in Tabelle 1.1 skizziert, die Mechanik in vier Bereiche aufteilen. Die Newtonsche Mechanik

Tabelle 1.1: Bereiche der Mechanik

= ⇒ kleinere Abst¨ ande

⇓ klassische Mechanik Quantenmechanik

(Newton) (Schr¨ odinger, Heisenberg, Bohr u.a.) h¨ ohere

Geschwindigkeit Relativistische Mechanik Quantenfeldtheorie

(Einstein) (Dirac, Pauli, Schwinger, Feynman u.a.)

funktioniert gut im “allt¨ aglichen Leben”, versagt aber zum einen f¨ ur Objekte, die sich mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen, deren Dynamik mit der speziellen und der allgemeinen Relativit¨ atstheorie beschrieben werden muss. Zum anderen versagt die Newtonsche Mechanik auch bei der Anwendung auf sehr kleine Objekte auf der atomaren Gr¨ oßenskala, die mit der Quantenmechanik beschrieben werden m¨ ussen. F¨ ur Objekte, die klein und schnell sind, gilt die Quantenfeldtheorie, an deren Ausarbeitung seit 1930 gear- beitet wird. Im Rahmem dieser Vorlesung werden wir vorwiegend im Bereich der klassischen Mechanik bleiben.

1.2 Vier Grundkr¨ afte der Natur

Es ist die Aufgabe der Mechanik, das Verhalten von physikalischen Systemen unter Einwir-

kung einer gegebenen Kraft zu beschreiben. Man unterscheidet heute zwischen vier Grund-

kr¨ aften, die nach abnehmender St¨ arke als

1 Einf¨ uhrung

1. Starke Kraft

2. Elektromagnetische Kraft 3. Schwache Kraft

4. Gravitationskraft bezeichnet werden.

Von diesen haben die starke und die schwache Kraft nur sehr geringe Reichweiten auf der Gr¨ oßenskala von Elementarteilchen und lassen sich daher nicht klassisch behandeln. Die Theorie des Gravitationsfeldes geh¨ ort zur klassischen Feldtheorie, wird aber umfassend in gesonderten Vorlesungen zur allgemeinen Relativit¨ atstheorie behandelt. Damit verbleibt f¨ ur die klassische Beschreibung nur das elektromagnetische Feld, die weitreichend ¨ uber makro- skopische Abst¨ ande wirkt.

Die obige Einteilung in nur vier untercshiedliche Kr¨ afte erscheint kurz. Es ist aber zu be- denken, dass die elektromagnetischen Kr¨ afte auch Reibungskr¨ afte und s¨ amtliche Arten von chemischen Kr¨ aften, die die Molek¨ ule zusammenhalten, umfassen. Damit sind die elektro- magnetischen Kr¨ afte die dominierenden Kr¨ afte des t¨ aglichen Lebens und die einzigen, die vollst¨ andig verstanden sind. Die Theorie der elektromagnetischen Kr¨ afte war und ist Vorbild f¨ ur die Theorie der schwachen Wechselwirkung und f¨ ur die Theorie der starken Wechselwir- kung (“Chromodynamik”). Es fehlt uns heute noch, trotz umfangreicher Bem¨ uhungen, eine quantenmechanische Theorie der Gravitation, obwohl die klassische Theorie der Gravitation (Newton) und deren relativistische Verallgemeinerung (Einstein) vorliegen.

1.3 Historische Entwicklung der Elektrodynamik

Anf¨ anglich waren Elektrizit¨ at (Katzenfell, Batterien, Str¨ ome, Elektrolyse, Blitze u.¨ a.) und Magnetismus (Stabmagneten, Kompassnadel, Nordpol u. ¨ a.) getrennte Diszipline. 1820 aber entdeckte Oersted, dass elektrische Str¨ ome magnetische Kompassnadeln beeinflussen. Kurz danach behauptete Ampere richtigerweise, dass alle magnetischen Ph¨ anomene auf sich bewe- genden elektrischen Ladungen basieren. 1831 entdeckte Faraday, dass ein bewegter Magnet einen elektrischen Strom verursacht. Als dann Maxwell und Lorentz die endg¨ ultige Theorie formulierten, waren Elektrizit¨ at und Magnetismus eng verbunden als Elektromagnetismus.

Faraday hatte schon vermutet, dass Licht elektrischen Ursprungs ist, was durch die Gleichun- gen von Maxwell nach Einf¨ uhrung des Verschiebungsstroms theoretisch begr¨ undet wurde. Die Entwicklung der Optik, untersuchung von Linsen, Spiegeln, Prismen, Interferenz und Beu- gung) vollzog sich dann als Teil des Elektromagnetismus. Die bahnbrechenden Versuche von Heinrich Hertz im Jahr 1888 brachten dann die entscheidende Best¨ atigung der Theorie. Die damaligen Hauptbet¨ atigungsfelder der Physik (Elektrizit¨ at, Magnetismus und Optik) waren damit um das Jahr 1900 in einer einzigen Theorie vereinheitlicht.

Seit dieser Zeit tr¨ aumen viele Physiker von weiteren Vereinheitlichungen, angefangen mit

Einstein, der die Gravitation mit der Elektrodynamik vereinheitlichen wollte. Seit ca. 1960

existiert die elektroschwache Theorie von Glashow, Weinberg und Salam, die die schwachen

1.4 Eigenschaften der elektrischen Ladungen und elektromagnetischen Kr¨ afte verbindet. Uber die Grand Unified Theories (schwach, elek- tromagnetisch und stark) seit ca. 1970 gelangte man um 1980 zur Superstring Theory, die alle vier Grundkr¨ afte in einer einzigen Theorie f¨ ur alles (“theory of everything”) beschreiben m¨ ochte. Die Vereinheitlichung der Kr¨ afte ist nachwievor ein zentrales Arbeitsgebiet der theo- retischen Physik, eingeleitet durch die erfolgreich gelungene Formulierung der theoretischen Elektrodynamik.

1.4 Eigenschaften der elektrischen Ladungen

Der Elektromagnetismus behandelt die Dynamik und Wechselwirkungen von elektrischen Ladungssystemen. Es ist daher sinnvoll, sich deren Haupteigenschaften in Erinnerung zu rufen:

1. Es gibt immer zwei Ladungsarten: es gibt immer zwei Arten von Ladungen, die wir als positiv (+) und negativ (-) bezeichnen, und die sich in ihren Effekten aufheben.

Warum gibt es nicht 8 oder 10 verschiedene Arten?

2. Ladung ist erhalten: Sie kann nicht erzeugt oder vernichtet werden; was jetzt vorhan- den ist, war auch schon fr¨ uher da. Eine positive Ladung kann eine negative Ladung annihilieren, aber eine positive Ladung kann nicht allein verschwinden. Die gesamte Ladung des Universums ist f¨ ur alle Zeiten festgelegt.

3. Ladung ist quantisiert: elektrische Ladungen sind immer ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e: das Proton hat +e, das Elektron −e, das Positron +e, das Neu- tron ist ungeladen, die Pi-Mesonen haben die Ladung +e, 0, −e, der Kohlenstoffkern die Ladung +6e. Niemals haben wir 5.831e oder e/2. Wir wissen aber, dass Protonen und Neutronen jeweils aus drei Quarks mit den Ladungen ±2/3e und ±1/3e bestehen, allerdings scheinen freie Quarks nicht in der Natur zu existieren. Aber selbst dieser Be- fund w¨ urde an der Quantisierung der Ladungen nichts ¨ andern: wie w¨ urden dann (e/3) als Elementarladung nehmen. Da die Elementarladung sehr klein ist, braucht man diese Quantisierung bei vielen makroskopischen Anwendungen nicht zu ber¨ ucksichtigen.

1.5 Einheiten

Eine Plage der Elektrodynamik sind die verschiedenen Einheitensysteme, die die Verst¨ andi- gung zwischen Physikern erschwert. Dies ist weit schlimmer als in der klassischen Mechanik, wo das zweite Newtonsche Gesetz immer F ~ = m~a ist, egal in welchen Einheiten die Kraft F ~ , die Masse m oder die Beschleunigung ~a gemessen werden.

Dies ist aber nicht der Fall in der Elektrodynamik, wo je nach Einheitensystem die Glei- chungen anders lauten. Betrachten wir das Coulomb-Gesetz, das die Kraft zwischen zwei Ladungen q ₁ und q ₂ im Abstand ~ r = r~ e _r angibt. Im Gauss-System (CGS) gilt

F ~ = q ₁ q ₂

r ² ~ e _R CGS .

1 Einf¨ uhrung

Im SI-System (MKS) gilt

F ~ = 1 4π 0

q ₁ q ₂

r ² ~ e R SI und im Heaviside-Lorentz-System der Elementarteilchenphysik

F ~ = 1 4π

q ₁ q ₂

r ² ~ e R HL .

Das CGS-System hat theoretische Vorteile und wird deshalb auch im folgenden benutzt. Das

SI-System verwendet gebr¨ auchliche Einheiten aus dem t¨ aglichen Leben wie Volt, Ampere und

Watt. Auch die Lehrb¨ ucher verfahren hier nicht einheitlich, also Vorsicht bei der Konsultation

anderer Literatur!

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

Hinsichtlich der Definition von Skalaren und Vektoren, den Vektoroperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikationen insbesondere Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Spatpro- dukt verweise ich auf das Kap. 1 des Mechanik-Skripts. Ich setze dessen Inhalt im folgenden voraus und wiederhole hier die f¨ ur die Elektrodynamik wichtigen Aspekte.

2.1 Differentiation und Integration von Vektoren

2.1.1 Differentiation von Vektoren

Der Vektor A ~ kann eine Funktion des skalaren Parameters u sein, d.h. A ~ = A(u). In Kom- ~ ponentenschreibweise gilt dann

A(u) = ~ A _x (u)~ e ₁ + A _y (u)~ e ₂ + A _z (u)~ e ₃ . (2.1) Da die kartesischen Einheitsvektoren ~ e i nicht variabel sind, definiert man das Differential des Vektors als

d ~ A(u)

du ≡ lim

∆u→0

A(u ~ + ∆u) − A(u) ~

∆u

= lim

∆u→0

A _x (u + ∆u) − A _x (u)

∆u ~ e ₁ + A _y (u + ∆u) − A _y (u)

∆u ~ e 2 + A _z (u + ∆u) − A _z (u)

∆u ~ e 3

(2.2) so dass d ~ A(u)

du = dA x (u)

du ~ e 1 + dA y (u)

du ~ e 2 + dA z (u)

du ~ e 3 . (2.3)

Analog ergeben sich h¨ ohere Ableitungen zu d ⁿ A(u) ~

du ⁿ = d ⁿ A _x (u)

du ⁿ ~ e ₁ + d ⁿ A y (u)

du ⁿ ~ e ₂ + d ⁿ A _z (u)

du ⁿ ~ e ₃ . (2.4) Es gelten folgende Regeln, die man leicht ¨ uber die Komponentendarstellung (2.1) beweist:

(a) d

du

A ~ + B ~

= d ~ A du + d ~ B

du (2.5)

(b) d

du

A ~ · B ~

= A ~ · d ~ B du + d ~ A

du · B ~ (2.6)

(c) d

du

A ~ × B ~

= A ~ × d ~ B du + d ~ A

du × B . ~ (2.7)

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

(d) Falls Φ(u) eine skalare Funktion bezeichnet gilt d

du

Φ A ~

= Φ d ~ A du + dΦ

du A . ~ (2.8)

Wichtige physikalische Vektoren, die als Ableitungen von Vektoren definiert sind, sind die Geschwindigkeit

~

v(t) ≡ d~ r(t)

dt = ˙ ~ r(t) (2.9)

als Zeitableitung des Ortsvektors ~ r(t) eines Punktteilchens und die Beschleunigung

~a(t) ≡ d~ v(t)

dt = d ² ~ r(t)

dt ² = ¨ ~ r(t) (2.10)

als Zeitableitung des Geschwindigkeitsvektors ~ v(t) und somit als zweite zeitliche Ableitung des Ortsvektors ~ r(t).

2.1.2 Integration von Vektoren

Analog zur Definition der Ableitung (2.2) eines Vektors definiert man das Integral eines Vektors A(u) ~ ¨ uber die Integrale seiner Komponenten

Z

du ~ A(u) ≡ Z

du [A x (u)~ e 1 + A y (u)~ e 2 + A z (u)~ e 3 ]

= Z

du A _x (u) ~ e ₁ + Z

du A _y (u) ~ e ₂ + Z

du A _z (u) ~ e ₃ . (2.11) Als Beispiel betrachten wir den Vektor A(u) = (3u ~ ² − 1, 2u − 3, 6u ² − 4u) und berechnen das Integral R 2

0 du ~ A(u). Entsprechend der Definition (2.11) ergibt sich Z ₂

0

du ~ A(u) = Z ₂

0

du 3u ² − 1, 2u − 3, 6u ² − 4u

=

u ³ − u, u ² − 3u, 2u ³ − 2u ² 2

0 = (6, −2, 8) . (2.12)

2.2 Koordinatensysteme

Wir beginnen mit den kartesischen Koordinaten x, y, z. x, y, z eines Punktes P sind defi- niert als die Projektionen des Ortsvektors ~ r = OP auf die Achsen ~ e ₁ , ~ e ₂ , ~ e ₃ , d.h.

~

r = x~ e 1 + y~ e 2 + z~ e 3 , mit |~ e i | = 1, i = 1, 2, 3 . (2.13) Wir betrachten jetzt zus¨ atzlich neue Koordinatensysteme q ₁ , q ₂ , q ₃ mit den Transformati- onsgleichungen

q ₁ = q ₁ (x, y, z), q ₂ = q ₂ (x, y, z), q ₃ = q ₃ (x, y, z) (2.14)

2.2 Koordinatensysteme

und der Umkehrtrabsformation

x = x(q 1 , q 2 , q 3 ), y = y(q 1 , q 2 , q 3 ), z = z(q 1 , q 2 , q 3 ) . (2.15) Der Ortsvektor ~ r des Punktes P kann dann mittels Gleichung (2.15) als Funktion der krumm- linigen Koordianten q i aufgefasst werden:

~

r(q ₁ , q ₂ , q ₃ ) = (x(q ₁ , q ₂ , q ₃ ), y(q ₁ , q ₂ , q ₃ ), z(q ₁ , q ₂ , q ₃ )) . (2.16) 2.2.1 Koordinatenlinien und Koordinatenfl¨ achen

H¨ alt man zwei dieser drei neuen Koordinaten konstant und variiert man nur die dritte neue Koordiante, so erh¨ alt man drei Koordinatenlinien:

L 1 : ~ r = ~ r(q 1 , q 2 = c 2 , q 3 = c 3 ) L ₂ : ~ r = ~ r(q ₁ = c ₁ , q ₂ , q ₃ = c ₃ ) L ₃ : ~ r = ~ r(q ₁ = c ₁ , q ₂ = c ₂ , q ₃ ) .

Ist eine dieser Koordinatenlinien keine Gerade, so spricht man von krummlinigen Koordi- naten.

H¨ alt man nur eine neue Koordinate fest und variiert jeweils die beiden anderen, so erh¨ alt man Koordinatenfl¨ achen:

F 1 : ~ r = ~ r(q 1 = c 1 , q 2 , q 3 ) F 2 : ~ r = ~ r(q 1 , q 2 = c 2 , q 3 ) F 3 : ~ r = ~ r(q 1 , q 2 , q 3 = c 3 ) .

Die Koordinatenlinien L _i entstehen durch Schnitt von je zwei dieser Koordinatenfl¨ achen.

2.2.2 Festlegung von Einheitsvektoren

Als normierten Basisvektor oder Einheitsvektor ~ e q 1 im Punkt P w¨ ahlen wir einen Vektor vom Betrag 1 tangential zur Koordinatenlinie L 1 (q 2 = c 2 , q 3 = c 3 ) im Punkt P . Seine Richtung soll dem Durchlaufsinn der Koordinatenlinie bei wachsendem q ₁ entsprechen:

~ e _{q 1} ≡ ∂~ r/∂q ₁

|∂~ r/∂q 1 | (2.17)

oder f¨ ur i = 1, 2, 3

∂~ r/∂q i = h i ~ e q i (2.18) mit dem Skalenfaktor

h _i = |∂~ r/∂q _i | . (2.19)

Dies f¨ uhren wir am Beispiel der Zylinderkoordinaten vor.

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

2.2.3 Beispiel: Zylinderkoordinaten

Gem¨ aß Abbildung 2.1 werden als neue Koordinaten gew¨ ahlt:

φ: der Winkel zwischen der Projektion des Ortsvektors auf die x − y-Ebene und der x- Achse,

ρ: der Abstand des Punktes P von der z−Achse,

z: die L¨ ange der Projektion des Ortsvektors auf die z-Achse.

r

x

y

z z

φ ρ

Abbildung 2.1: Zur Einf¨ uhrung der Zylinderkoordinaten Aus Abbildung 2.1 erhalten wir als Transformationsgleichungen

ρ = p

x ² + y ² , φ = arctan(y/x), z = z (2.20) und als Umkehrtransformation

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z (2.21) mit den Einschr¨ ankungen ρ ≥ 0 und 0 ≤ φ ≤ 2π. Man erkennt, dass jedem Tripel (ρ, φ, z) exakt nur ein Raumpunkt zugeordnet ist. Abbildung 2.2 zeigt, dass die Koordinatenfl¨ ache f¨ ur ρ = const. einem Kreiszylinder um die z-Achse entspricht. Die Koordinatenfl¨ ache f¨ ur φ = const. ergibt eine Halbebene, die die z-Achse enth¨ alt, w¨ ahrend die Koordinatenfl¨ ache f¨ ur z = const. eine Ebene parallel zur x − y-Ebene ergibt.

Gem¨ aß der Definition (2.18) erhalten wir mit ~ r = (x, y, z) = (ρ cos φ, ρ sin φ, z) f¨ ur die drei Einheitsvektoren

~

e ρ = ∂~ r/∂ρ

|∂~ r/∂ρ| = (cos φ, sin φ, 0) (2.22)

~

e φ = ∂~ r/∂φ

|∂~ r/∂φ| = (− sin φ, cos φ, 0) (2.23)

~

e _z = ∂~ r/∂z

|∂~ r/∂z| = (0, 0, 1) . (2.24)

2.2 Koordinatensysteme

φ

r

y z

x

θ r

φ

r

y z

x

θ r

Kugel r=const.

Ebene φ=const.

θ=const.

Kegel

Ebene φ=const.

ρ=const.

Zylinder Ebene z=const.

r

φ z

ρ z

x

y

Abbildung 2.2: Koordinatenfl¨ achen und Koordinatenlinien f¨ ur Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

Offensichtlich ist ~ e _ρ parallel zur x − y-Ebene und zeigt weg von der z-Achse; ~ e _φ ist ebenfalls parallel zur x − y-Ebene und ist die Tangente an den Kreis z = const. und ρ = const.; ~ e _z entspricht dem kartesischen Einheitsvektor ~ e 3 .

Aus den Beziehungen (2.22)–(2.23) erh¨ alt man

~

e ₁ = ~ e _ρ cos φ − ~ e _φ sin φ, ~ e ₂ = ~ e _ρ sin φ + ~ e _φ cos φ . (2.25) Durch Berechnung des Spatprodukts

~ e ρ · (~ e _φ × ~ e z ) =





cos φ sin φ 0

− sin φ cos φ 0

0 0 1



 = cos ² φ + sin ² φ = 1

l¨ asst sich sofort ¨ uberpr¨ ufen, dass die Zylinderkoordinaten ein orthogonales Koordinatensystem mit variablen Einheitsvektoren bilden.

Aufgrund der Variabilit¨ at der Einheitsvektoren folgt f¨ ur die totalen zeitlichen Ableitungen d~ e _ρ

dt = ∂~ e _ρ

∂ρ dρ dt + ∂~ e _ρ

∂φ dφ

dt + ∂~ e _ρ

∂z dz

dt = 0 + (− sin φ, cos φ) ˙ φ + 0 = ˙ φ~ e _φ , (2.26) d~ e φ

dt = 0 + (− cos φ, − sin φ) ˙ φ + 0 = − φ~ ˙ e ρ (2.27) d~ e z

dt = 0 . (2.28)

Gleichungen (2.26)–(2.28) stimmen mit dem allgemeinen Ergebis d~ e _j

dt ⊥ ~ e j (2.29)

¨

uberein, das sofort aus ~ e j · ~ e j = const. durch Differentiation nach t folgt:

d~ e _j

dt · ~ e _j = 0 (2.30)

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

Ubungsaufgabe: ¨

A 2.2.1) Berechnen Sie die Einheitsvektoren sowie den Geschwindigkeitsvektor und Beschleu- nigungsvektor in Kugelkoordinaten x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ. Dr¨ ucken Sie ~ e r , ~ e _θ und ~ e _φ als Funktion der kartesischen Einheitsvektoren ~ e 1 , ~ e 2 , ~ e 3 aus.

Verifizieren Sie dabei folgende Ergebnisse:

~ e r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) (2.31)

~ e θ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) (2.32)

~

e _φ = (− sin φ, cos φ, 0) (2.33)

~

v(t) = r~ ˙ e _r + r θ~ ˙ e _θ + r sin θ φ~ ˙ e _φ (2.34)

~a(t) = (¨ r − r θ ˙ ² − r sin ² θ φ ˙ ² )~ e r +



 1 r

d

r ² θ ˙

dt − r sin θ cos θ θ ˙ ²



 ~ e _θ +

1 r sin θ

d dt

r ² sin ² θ φ ˙

~

e _φ . (2.35)

2.3 Vektorielle Differentialoperatoren

2.3.1 Gradient

Wir definieren zun¨ achst skalare Felder und vektorielle Felder.

Definition: Skalare Felder: Unter einem skalaren Feld versteht man eine skalaren Funktion ψ(x, y, z), die jedem Punkt P(x ₀ , y ₀ , z ₀ ) den skalaren Wert ψ(x ₀ , y ₀ , z ₀ ) zuordnet, wie z. B.

Temperaturfelder, Massendichte und Ladungsdichte.

Definition: Vektorielle Felder: Unter einem vektoriellen Feld versteht man eine Vektorfunk- tion A(x, y, z), die jedem Punkt ~ P(x ₀ , y ₀ , z ₀ ) den Vektor A(x ~ ₀ , y ₀ , z ₀ ) zuordnet, wie z.B.

Geschwindigkeitsfelder in Fl¨ ussigkeiten und Feldst¨ arkevektoren E, ~ H ~ in der Elektrodynamik.

Gegeben sein nun ein Punkt P (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) und ein Skalarfeld ψ(x, y, z).

Definition: Gradient: grad ψ(x ₀ , y ₀ , z ₀ ) = ∇ψ(x ~ ₀ , y ₀ , z ₀ ) ist der Vektor, der in Richtung des st¨ arksten Anstiegs der Funktion ψ zeigt und dessen Betrag die ¨ anderung von ψ pro Weg- strecke in Richtung des st¨ arksten Anstiegs im Punkt P (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) ist. (Beispiel: H¨ ohenlinien auf Wanderkarten) Jedem Punkt eines Skalarfeldes ordnet man so einen Gradientenvektor zu.

Die Gesamtheit aller Gradientenvektoren bildet ein dem Skalarfeld zugeordnetes Vektorfeld, dass sich mathematisch durch

A(x, y, z) = ~ gradψ(x, y, z) = ∇ψ(x, y, z) = ~ ~ e ₁ ∂ψ

∂x + ~ e ₂ ∂ψ

∂y + ~ e ₃ ∂ψ

∂z (2.36)

darstellen l¨ asst. Wir k¨ onnen also den Nabla-Operator ∇ ~ schreiben als

∇ ~ = ~ e 1

∂

∂x + ~ e 2

∂

∂y + ~ e 3

∂

∂z . (2.37)

Beweis : Zum Beweis der Beziehungen (2.36) und (2.37) berechnen wir das totale Differen-

tial der Funktion ψ, dass sich durch Taylor-Entwicklung der Funktion ψ(x+dx, y +dy, z +dz)

2.3 Vektorielle Differentialoperatoren

x y

φ

Abbildung 2.3: Gradient in einer H¨ ohenlinienkarte bis zur ersten Ordnung ergibt:

dψ = ψ(x + dx, y + dy, z + dz) − ψ(x, y, z) ' ∂ψ

∂x dx + ∂ψ

∂y dy + ∂ψ

∂z dz . Mit d~ r = (dx, dy, dz) l¨ asst sich dψ auch als Skalarprodukt schreiben

dψ = ∇ψ ~ · d~ r = ∂ψ

∂x , ∂ψ

∂y , ∂ψ

∂z

· (dx, dy, dz) = ∂ψ

∂x dx + ∂ψ

∂y dy + ∂ψ

∂z dz (2.38) womit die Behaupttungen bewiesen sind. Q.E.D.

Definition: ¨ Aquipotentialfl¨ ache: Fl¨ achen, auf denen ψ(x, y, z) = const. ist, werden als Aquipotentialfl¨ ¨ achen bezeichnet.

ψ(x, y, z) = const. ist ¨ aquivalent zu einem verschwindendem totalen Differential (dψ = 0), so dass mit Gleichung (2.38) f¨ ur ¨ Aquipotentialfl¨ achen folgt

dψ = 0 = ∇ψ ~ · d~ r _AF . (2.39) Es folgt der f¨ ur die klassische Mechanik wichtige Satz: Der Gradient von ψ steht stets senkrecht auf den ¨ Aquipotentialfl¨ achen von ψ:

∇ψ ~ ⊥ d~ r _AF . (2.40)

Der Gradientenvektor ∇ψ ~ zeigt immer in Richtung des st¨ arksten Zuwachses von ψ, weil dann der Zuwachs dψ parallel zu d~ r ist, so dass das Skalarprodukt ∇ψ ~ · d~ r maximal ist.

Bildet man das Skalarprodukt des Gradientenvektor mit einem beliebigen zweiten Vektor B, ~ so erh¨ alt man den neuen Operator

B ~ · ∇ ~

=

3

X

i=1

B _i ∂

∂x _i . (2.41)

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

Angewandt auf ein Skalarfeld Φ erh¨ alt man das skalare Feld B ~ · ( ∇Φ): ~ B ~ · ∇ ~

Φ =

3

X

i=1

B _i ∂

∂x _i Φ =

3

X

i=1

B _i ∂Φ

∂x _i = B ~ · ( ∇Φ) ~ . (2.42) Angewandt auf den Vektor C ~ erh¨ alt man

B ~ · ∇ ~ C ~ =

3

X

i=1

B i

∂

∂x i

C ~ =

3

X

i=1

B i

∂C ₁

∂x i

,

3

X

i=1

B i

∂C ₂

∂x i

,

3

X

i=1

B i

∂C ₃

∂x i

!

(2.43) einen neuen Vektor.

Bei der Rechnung (2.43) ist die Reihenfolge wichtig:

B ~ · ∇ ~ C ~ 6= C ~

B ~ · ∇ ~ . Der Ausdruck B ~ · ( ∇ ~ C) ~ ist nicht definiert.

Neben der skalaren Verkn¨ upfung (2.41) k¨ onnen wir auch das Kreuzprodukt bilden:

( B ~ × ∇) ~ _i =

3

X

j,k=1

_ijk B j

∂

∂x _k . (2.44)

Die Anwendung dieses Operators auf ein Skalarfeld Φ ergibt h B ~ × ∇ ~

Φ i

i =

h B ~ ×

∇Φ ~ i

i =

3

X

j,k=1

ijk B j

∂Φ

∂x _k . (2.45)

Die Zweifachanwendung des Gradienten-Operators

∇ · ~ ∇ ~ =

3

X

i=1

∂

∂x i

∂

∂x i

=

3

X

i=1

∂ ²

∂x ² _i ≡ ∇ ² ≡ ∆ (2.46) ergibt den skalaren sogenannten Laplace-Operator ∆, der sowohl auf Skalare als auch auf Vektoren angewandt werden kann:

∆Φ = ∇ ² Φ =

3

X

i=1

∂ ² Φ

∂x ² _i , (2.47)

∆ B ~ = ∇ ² B ~ =

3

X

i=1

∂ ² B 1

∂x ² _i ,

3

X

i=1

∂ ² B 2

∂x ² _i ,

3

X

i=1

∂ ² B 3

∂x ² _i

!

. (2.48)

2.3 Vektorielle Differentialoperatoren

2.3.2 Der Nabla-Operator ∇ ~ Der Vektor-Operator (2.37)

∇ ~ = ~ e 1

∂

∂x + ~ e 2

∂

∂y + ~ e 3

∂

∂z

erh¨ alt Bedeutung, wenn er auf irgendetwas wirken kann. ∇T ~ ist kein Produkt, sondern eine Vorschrift zur Ableitung des Skalars T (~ r)., d.h. ∇ ~ ist ein Vektor-Operator, der auf T wirkt. ∇ ~ verh¨ alt sich dann wie ein normaler Vektor, wenn wir “Produkt” mit “wirkt auf”

ersetzen.

Es existieren drei M¨ oglichkeiten der Multiplikation einen Vektors ~a:

1. Produkt mit einem Skalar p: p~a,

2. Skalarprodukt mit einem anderen Vektor ~b: ~a · ~b, 3. Kreuzprodukt mit einem anderen Vektor ~b: ~a ×~b.

Entsprechend kann der Nabla-Operator auf drei Weisen wirken:

1. auf eine skalare Funktion T (~ r): ∇T ~ (~ r) (“Gradient”),

2. auf eine Vektorfunktion A ~ ¨ uber das Skalarprodukt: ∇ · ~ A ~ (“Divergenz”), 3. auf eine Vektorfunktion ~ v ¨ uber das Kreuzprodukt: ∇ × ~ A ~ (“Rotation”).

Der Gradient wurde bereits ausf¨ uhrlich diskutiert, so dass wir nun die Divergenz und die Rotation n¨ aher untersuchen.

2.3.3 Divergenz

Sei das Vektorfeld A ~ = (A _x , A _y , A _z ) = (A ₁ , A ₂ , A ₃ ) gegeben.

Definition: Divergenz: Als div A ~ bezeichnet man das Skalarprodukt zwischen dem Nabla- Operator und dem Vektor A: ~

div A ~ ≡ ∇ · ~ A ~ =

3

X

i=1

∂

∂x _i A i =

3

X

i=1

∂A i

∂x _i . (2.49)

Es folgt sofort mit Gleichung (2.46), dass man den Laplace-Operator als

∆ = div grad = div ∇ ~ (2.50)

darstellen kann.

Physikalisch interpretieren kann man die Divergenz eines Vektorfeldes als den Fluss eines

Vektorfeldes durch ein Volumenelement dV . A ~ = (A 1 , A 2 , A 3 ) repr¨ asentiere die Flussra-

te (pro Einheitsfl¨ ache) einer Str¨ omung durch eine Seitenfl¨ ache (siehe Abbildung 2.4). Wir

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

A

A i ₁

dx ₁ dx ₂ dx ₃

Abbildung 2.4: Zur physikalischen Deutung der Divergenz

betrachten die Flussrate in x-Richtung durch den infinitesimal kleinen Quader mit den Sei- tenl¨ angen dx 1 ,dx 2 und dx 3 , die gegeben ist aus dem Produkt aus A 1 und der Seitenfl¨ ache dx 2 dx 3 . Am Ort x 1 ist die Flussrate gleich A 1 dx 2 dx 3 und am Ort x 1 + dx 1 gleich

A 1 + ∂A 1

∂x 1

dx 2 dx 3 . Der Nettofluss ergibt sich als Differenz der beiden Flussraten zu

A ₁ + ∂A ₁

∂x ₁

dx ₂ dx ₃ − A ₁ dx ₂ dx ₃ = ∂A ₁

∂x ₁ dx ₁ dx ₂ dx ₃ = ∂A ₁

∂x ₁ dV .

Analog berechnet man den Nettofluss in y- und z-Richtung und nach Addition findet man f¨ ur den Gesamtfluss durch den Quader

dV ∂A 1

∂x 1

+ ∂A 2

∂x 2

+ ∂A 3

∂x 3

=

3

X

i=1

∂A i

∂x i

dV =

div A ~

dV .

Das Volumenelement dV stellt eine “Quelle” des Vektorfeldes dar falls hboxdiv ~ A > 0; es stellt eine “Senke” des Vektorfeldes dar falls div A < ~ 0.

Geometrisch kann man die Divergenz als Maß f¨ ur das Ausseinanderlaufen eines Vektors an einem Punkt P interpretieren. Betrachten wir als erstes Beispiel die Vektorfunktion

A ~ ₁ = ~ r = x~ e ₁ + y~ e ₂ + z~ e ₃ , (2.51) die in Abbildung 2.5a schematisch dargestellt ist. Wir erhalten sofort einen relativ hohen Wert f¨ ur die Divergenz,

div A ~ 1 = ∂

∂x (x) + ∂

∂y (y) + ∂

∂z (z) = 3 . Als zweites Beispiel betrachten wir den Einheitsvektor in z-Richtung:

A ~ 2 = 1~ e 3 , (2.52)

die in Abbildung 2.5b schematisch dargestellt ist. Hier verschwindet die Divergenz div A ~ 2 = ∂

∂x (0) + ∂

∂y (0) + ∂

∂z (1) = 0 .

2.3 Vektorielle Differentialoperatoren

x

y z

x

y z

a) ₁ b) A =1e

(in x−y−, x−z−, y−z−Ebene)

2 3

(in x−y−, x−z−, y−z−Ebene) A = r = xe +ye +ze _{1 2 3}

Abbildung 2.5: Divergenz zweier spezieller Vektorfunktionen 2.3.4 Rotation

Sei wieder das Vektorfeld A ~ = (A _x , A _y , A _z ) = (A ₁ , A ₂ , A ₃ ) gegeben.

Definition: Rotation: Als rot A ~ (in englischer Literatur auch oft curl A) bezeichnet man ~ das Kreuzprodukt zwischen dem Nabla-Operaor und dem Vektor A: ~

rot A ~ ≡ ∇ × ~ A ~ (2.53)

so dass f¨ ur die i−Komponente des resultierenden Vektors h

rot A ~ i

i =

3

X

j,k=1

_ijk ∂A _k

∂x _j = _ijk ∂A _k

∂x _j (2.54)

wobei beim letzten Schritt die Summenkonvention benutzt wurde.

Mit Gleichung (2.54) schreibt sich Gleichung (2.53) als

rot A ~ = ijk ~ e i

∂A _k

∂x j

=













~ e ₁ ~ e ₂ ~ e ₃

∂

∂x 1

∂

∂x 2

∂

∂x 3

A ₁ A ₂ A ₃













=















∂A 3

∂x 2 − ^∂A _∂x ²

3

∂A 1

∂x 3 − ^∂A _∂x ³

1

∂A 2

∂x 1 − ^∂A _∂x ¹

2















. (2.55)

Die Rotation l¨ asst sich geometrisch als ein Maß f¨ ur die Wirbelst¨ arke (Rotation) eines Vek- torfeldes A ~ im Punkt P interpretieren. Betrachten wir als Beispiel die Vektorfunktion

A ~ ₃ = −y~ e ₁ + x~ e ₂ ,

die in Abbildung 2.6 schematisch skizziert ist. Nach Gleichung (2.55) erhalten wir f¨ ur die

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

z

x y

3

z = const. ) A = −ye +xe _{1 2}

(für alle Ebenen

Abbildung 2.6: Rotation einer speziellen Vektorfunktion Rotation dieses Vektorfeldes

rot A ~ ₃ =





~

e 1 ~ e 2 ~ e 3

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−y x 0



 =



 0 0 2



 = 2~ e ₃ .

Ebenso weist man leicht nach, dass f¨ ur die Beispiele (2.51) und (2.52) die Rotation jeweils verschwindet.

Ubungsaufgaben: ¨

A2.3.1) Zeigen Sie, dass die Definition (2.53) ¨ aquivalent ist zur Darstellung

~ n · rot A ~ = lim

∆F →0

H A ~ · d~ s

∆F , (2.56)

wobei ~ n den Einheits-Normalenvektor bezeichnet, der senkrecht auf der von der Kurve s umrandeten Fl¨ ache ∆F steht.

A2.3.2) Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes

~

g = 3x ² y~ e ₁ + yz ² ~ e ₂ − xz~ e ₃ .

2.4 Rechenregeln f¨ ur vektorielle Differentialoperatoren

2.4 Rechenregeln f¨ ur vektorielle Differentialoperatoren

2.4.1 Summenregeln

Aus den Definitionen der vektoriellen Differentialoperatoren folgen die Summenregeln

∇(f ~ + g) = ∇f ~ + ∇g ~

∇ · ~

~a + ~b

= ∇ · ~ ~a + ∇ · ~ ~b

∇ × ~

~a + ~b

= ∇ × ~ ~a + ∇ ×~b ~

2.4.2 Produktregeln

Hier ist zu bedenkem , dass es zwei Arten von Skalaren aus dem Produkt f g zweier Skalare und aus dem Produkt ~a· ~b zweier Skalare geben kann. Ebenso kann es zwei Arten von Vektoren aus den Produkten f~a und ~a ×~b geben. Daher existieren sechs verschiedene Produktregeln:

jeweils zwei f¨ ur Gradienten, Divergenzen und Rotationen:

∇(f g) ~ = f ~ ∇g + g ~ ∇f (2.57)

∇ ~

~a ·~b

= ~a ×

∇ × ~ ~b

+~b ×

∇ × ~ ~a +

~a · ∇ ~

~b +

~b · ∇ ~

~a (2.58)

∇ · ~ (f~a) = f ∇ · ~ ~a

+ ~a · ( ∇f ~ ) (2.59)

∇ · ~

~a ×~b

= ~b ·

∇ × ~ ~a

− ~a ·

∇ × ~ ~b

(2.60)

∇ × ~ (f~a) = f

∇ × ~ ~a

+ ~a × ( ∇f ~ ) (2.61)

∇ × ~

~a ×~b

=

~b · ∇ ~

~a −

~a · ∇ ~

~b + ~a

∇ · ~ ~b

− ~b

∇ · ~ ~a

. (2.62)

Diese Regeln lassen sich leicht mit dem Komponentendarstellung der Vektoren beweisen.

2.4.3 Quotientenregeln

Mit Hilfe der Produktregeln erhalten wir

∇ ~ f

g

= g ~ ∇f − f ~ ∇g

g ² (2.63)

∇ · ~ ~a

g

= g

∇ · ~ ~a

− ~a · ( ∇g) ~

g ² (2.64)

∇ × ~ ~a

g

= g

∇ × ~ ~a

+ ~a × ( ∇g) ~

g ² (2.65)

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

2.4.4 Kombination verschiedener vektorieller Differentialoperatoren

∇Φ ~ ist ein Vektor. Von diesem Vektor k¨ onnen wir die Divergenz div ∇Φ ~ und die Rotation rot ∇Φ ~ berechnen.

∇ · ~ A ~ ist ein Skalar, dessen Gradient wir bilden k¨ onnen.

∇ × ~ A ~ ist ein Vektor, dessen Divergenz div ( ∇ × ~ A) ~ und Rotation rot ( ∇ × ~ A) ~ wir berechnen k¨ onnen.

Mehr Kombinationsm¨ oglichkeiten gibt es nicht! Aber nicht alle ergeben etwas Neues, wie wir jetzt zeigen werden.

F¨ ur die Kombination verschiedener vektorielle Differentialoperatoren beweisen wir die folgen- den wichtigen Rechenregeln:

(a) Wir wiederholen Gleichung (2.58):

div grad Φ = ∇ · ~ ( ∇Φ) = ~ ∇ ² Φ = ∆Φ . (2.66) (b) Ein Gradientenfeld ist wirbelfrei:

rot grad Φ = ∇ × ~ ( ∇Φ) = ~ ~ e i _ijk ∂

∂x _j

∂Φ

∂x _k =







~

e ₁ ~ e ₂ ~ e ₃

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂Φ ∂z

∂x

∂Φ

∂y

∂

∂z





 =







∂ ² Φ

∂y∂z − _∂y∂z ^{∂ 2 Φ}

∂ ² Φ

∂x∂z − _∂x∂z ^{∂ 2 Φ}

∂ ² Φ

∂x∂y − _∂x∂y ^{∂ 2 Φ}





 = 0 . (2.67) (c) Ein Rotationsfeld besitzt keine Quellen und Senken, denn

div rot ~ g = ∇ · ~ ( ∇ × ~ ~ g) =







∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

g x g y g z







= ∂

∂x ∂g z

∂y − ∂g y

∂z

− ∂

∂y ∂g z

∂x − ∂g x

∂x

+ ∂

∂z ∂g y

∂x − ∂g x

∂y

= 0 . (2.68) (d) Unter Ausnutzung des dreifache Kreuzprodukts gilt

rot (rot ~ g) = ∇ × ~

∇ × ~ ~ g

= grad (div ~ g) − ∆~ g (2.69)

(e) div

B ~ × C ~

= C ~ · rot B ~

− B ~ · rot C ~

. (2.70)

Beweis : Es ist

∇ · ~ B ~ × C ~

= ∂

∂x (B y C z − B z C y ) + ∂

∂y (B z C x − B x C z ) + ∂

∂z (B x C y − B y C x )

= C x

∂B z

∂y − ∂B y

∂z

+ C y

∂B x

∂z − ∂B z

∂x

+ C z

∂B y

∂x − ∂B x

∂y

−B _x ∂C z

∂y − ∂C y

∂z

− B _y ∂C x

∂z − ∂C z

∂x

− B _z ∂C y

∂x − ∂C x

∂y

= C ~ ·

∇ × ~ B ~

− B ~ ·

∇ × ~ C ~

.

Q.E.D.

2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

2.5.1 Grundgleichungen

Neben den kartesischen Koordinaten x _i = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (x, y, z) betrachten wir die allge- meinen krummlinigen Koordianten q i = (q 1 , q 2 , q 3 ). Nach Kap. (2.2.2) bilden wir die neuen Einheitsvektoren

~ e _{q i} = 1

h _i ∂~ r/∂q _i , (2.71)

mit dem Skalenfaktor

h i = |∂~ r/∂q i | . (2.72)

Wir nehmen an, dass die neuen Einheitsvektoren ~ e q 1 , ~ e q 2 und ~ e q 3 ein rechtsh¨ andiges ortho- gonales Koordinatensystem bilden, d.h.

~ e _{q ν} · ~ e _{q µ} = δ _νµ , µ, ν = 1, 2, 3 . (2.73) Aus ~ r = ~ r(q _i ) folgt mit Gleichung (2.18)

d~ r = (∂~ r/∂q ₁ ) dq ₁ + (∂~ r/∂q ₂ ) dq ₂ + (∂~ r/∂q ₃ ) dq ₃

= h ₁ dq ₁ ~ e _{q 1} + h ₂ dq ₂ ~ e _{q 2} + h ₃ dq ₃ ~ e _{q 3} =

3

X

i=1

h _i dq _i ~ e _{q i} . (2.74) F¨ ur das Quadrat der Bogenl¨ ange erhalten wir dann unter Ausnutzung von Gleichung (2.73)

(ds) ² = d~ r · d~ r =

3

X

ν=1 3

X

µ=1

h _ν h _µ dq _ν dq _µ ~ e _{q ν} · ~ e _{q µ}

=

3

X

µ=1

h ² _µ dq ² _µ = h ² ₁ dq ₁ ² + h ² ₂ dq ₂ ² + h ² ₃ dq ₃ ² , (2.75) w¨ ahrend f¨ ur das Volumenelement gilt

dV = d ³ r = |h ₁ dq ₁ ~ e _{q 1} · [h ₂ dq ₂ ~ e _{q 2} × h ₃ dq ₃ ~ e _{q 3} ]|

= h ₁ h ₂ h ₃ dq ₁ dq ₂ dq ₃ | ~ e _{q 1} · (~ e _{q 2} × ~ e _{q 3} )|

= h ₁ h ₂ h ₃ dq ₁ dq ₂ dq ₃ . (2.76) 2.5.2 Gradient

Gem¨ aß Gleichung (2.38) gilt

dψ = ∇ψ ~ · d~ r = ∂ψ

∂q 1

dq ₁ + ∂ψ

∂q 2

dq ₂ + ∂ψ

∂q 3

dq ₃ . (2.77)

Nach Gleichung (2.74) gilt

d~ r = h ₁ dq ₁ ~ e _{q 1} + h ₂ dq ₂ ~ e _{q 2} + h ₃ dq ₃ ~ e _{q 3} . (2.78)

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen Wir setzen als Ansatz an

∇ψ ~ = λ ₁ ~ e _{q 1} + λ ₂ ~ e _{q 2} + λ ₃ ~ e _{q 3} (2.79) und bestimmen die Werte der λ _i durch Einsetzen von (2.78) und (2.79) in die Beziehung (2.77):

∂ψ

∂q ₁ dq 1 + ∂ψ

∂q ₂ dq 2 + ∂ψ

∂q ₃ dq 3 =



 λ ₁ λ 2

λ ₃



 ·



 h ₁ dq ₁ h 2 dq 2

h ₃ dq ₃



 = h 1 λ 1 dq 1 + h 2 λ 2 dq 2 + h 3 λ 3 dq 3 .

Der Koeffizientenvergleich in dieser Gleichung ergibt λ i = 1

h _i

∂ψ

∂x _i , i = 1, 2, 3 (2.80)

und somit f¨ ur die Ansatzgleichung (2.79):

∇Φ = ~ ~ e q 1

1 h ₁

∂ψ

∂q ₁ + ~ e q 2

1 h ₂

∂ψ

∂q ₂ + ~ e q 3

1 h ₃

∂ψ

∂q ₃ .

Wir finden also f¨ ur den Gradienten in den krummlinigen Koordinaten die Darstellung

∇ ~ = ~ e q 1

1 h ₁

∂

∂q ₁ + ~ e q 2

1 h ₂

∂

∂q ₂ + ~ e q 3

1 h ₃

∂

∂q ₃ . (2.81)

Angewandt auf die speziellen Skalare q ₁ ,q ₂ und q ₃ folgt

∇q ~ ₁ = ~ e _{q 1} h 1

, ∇q ~ ₂ = ~ e _{q 2} h 2

, ∇q ~ _n = ~ e _{q 3} h 3

, (2.82)

wobei f¨ ur den Betrag gilt

∇q ~ _ν = 1

h ν

, ν = 1, 2, 3 . (2.83)

Weiterhin gilt

~ e _{q 1} = h ₂ h ₃ ∇q ~ ₂ × ∇q ~ ₃ , ~ e _{q 2} = h ₃ h ₁ ∇q ~ ₃ × ∇q ~ ₁ , ~ e _{q 3} = h ₁ h ₂ ∇q ~ ₁ × ∇q ~ ₂ . (2.84) Beweis : Zum Beweis von (2.84) nutzen wir Gleichungen (2.82) aus:

h 2 h 3 ∇q ~ ₂ × ∇q ~ ₃ = h 2 h 3

~ e q 2

h ₂ × ~ e q 3

h ₃

= ~ e q 2 × ~ e q 3 = ~ e q 1

Q.E.D.

2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

2.5.3 Divergenz Zur Berechnung von

div A ~ = ∇ · ~ (A ₁ ~ e _{q 1} + A ₂ ~ e _{q 2} + A ₃ ~ e _{q 3} ) = ∇ · ~ (A ₁ ~ e _{q 1} ) + ∇ · ~ (A ₂ ~ e _{q 2} ) + ∇ · ~ (A ₃ ~ e _{q 3} ) benutzen wir die Darstellungen (2.84). Wir erhalten f¨ ur

∇ · ~ (A ₁ ~ e _{q 1} ) = ∇ · ~

A ₁ h ₂ h ₃ ∇q ~ ₂ × ∇q ~ ₃ . Mit der Produktregel (2.59) folgt

∇ · ~ (A 1 ~ e q 1 ) =

h ∇ ~ (A 1 h 2 h 3 ) i

·

∇q ~ ₂ × ∇q ~ ₃

+ A 1 h 2 h 3 ∇ · ~

∇q ~ ₂ × ∇q ~ ₃ .

Der zweite Term in dieser Gleichung verschwindet, denn nach Anwendung der Produktregel (2.60) gilt

∇ · ~

∇q ~ ₂ × ∇q ~ ₃

= ∇q ~ ₃ · rot grad q 2 − ∇q ~ ₂ · rot grad q 3 = 0 gem¨ aß Gleichung (2.67). Es verbleibt unter Ausnutzung von (2.82)

∇ · ~ (A 1 ~ e q 1 ) =

h ∇ ~ (A 1 h 2 h 3 ) i

·

∇q ~ ₂ × ∇q ~ ₃

= h

∇ ~ (A ₁ h ₂ h ₃ ) i

· ~ e _{q 2}

h ₂ × ~ e _{q 3} h ₃

=

h ∇ ~ (A 1 h 2 h 3 ) i

· ~ e _{q 1} h 2 h 3

.

Jetzt benutzen wir die Darstellung (2.81) f¨ ur grad (A ₁ h ₂ h ₃ ) und erhalten aufgrund der Orthogonalit¨ atsrelation (2.73)

∇ · ~ (A ₁ ~ e _{q 1} ) =

~ e _{q 1} 1 h ₁

∂ (A ₁ h ₂ h ₃ )

∂q ₁ + ~ e _{q 2} 1 h ₂

∂ (A ₁ h ₂ h ₃ )

∂q ₂ + ~ e _{q 3} 1 h ₃

∂ (A ₁ h ₂ h ₃ )

∂q ₃

· ~ e _{q 1} h ₂ h ₃

= 1

h ₁ h ₂ h ₃

∂

∂q ₁ (A ₁ h ₂ h ₃ ) . (2.85)

Ebenso berechnen wir

∇ · ~ (A 2 ~ e q 2 ) = 1 h ₁ h ₂ h ₃

∂

∂q ₂ (A 2 h 1 h 3 ) und ∇ · ~ (A 3 ~ e q 3 ) = 1

h 1 h 2 h 3

∂

∂q 3

(A 3 h 1 h 2 ) , so dass

div A ~ = 1 h 1 h 2 h 3

∂

∂q 1

(A 1 h 2 h 3 ) + ∂

∂q 2

(A 2 h 1 h 3 ) + ∂

∂q 3

(A 3 h 1 h 2 )

. (2.86)

2 Mathematische Vor¨ uberlegungen

2.5.4 Rotation Zur Berechnung von

rot A ~ = ∇ × ~ (A ₁ ~ e _{q 1} + A ₂ ~ e _{q 2} + A ₃ ~ e _{q 3} ) = ∇ ~ (A ₁ ~ e _{q 1} ) + ∇ ~ (A ₂ ~ e _{q 2} ) + ∇ ~ (A ₃ ~ e _{q 3} ) benutzen wir die Darstellungen (2.82). Wir erhalten f¨ ur

∇ × ~ (A ₁ ~ e _{q 1} ) = ∇ × ~

A ₁ h ₁ ∇q ~ ₁

= ∇ ~ (A ₁ h ₁ ) × ∇q ~ ₁ + a ₁ h ₁ ∇ × ~ ∇q ~ ₁ ,

wobei wir die Produktregel (2.61) nutzen. Der zweite Term in dieser Gleichung verschwindet gem¨ aß Gleichung (2.67) und mit Gleichung (2.82a) folgt

∇ × ~ (A ₁ ~ e _{q 1} ) = ∇ ~ (A ₁ h ₁ ) × ~ e _{q 1} h 1

Jetzt benutzen wir die Darstellung (2.81) f¨ ur grad (A ₁ h ₁ ) und erhalten

∇ × ~ (A ₁ ~ e _{q 1} ) =

~ e _{q 1} 1 h ₁

∂ (A ₁ h ₁ )

∂q ₁ + ~ e _{q 2} 1 h ₂

∂ (A ₁ h ₁ )

∂q ₂ + ~ e _{q 3} 1 h ₃

∂ (A ₁ h ₁ )

∂q ₃

× ~ e q 1

h ₁

= ~ e q 2

h ₁ h ₃

∂ (A 1 h 1 )

∂q ₃ − ~ e q 3

h ₁ h ₂

∂ (A 1 h 1 )

∂q ₂ . (2.87)

Ebenso verfahren wir mit ∇ × ~ (A ₂ ~ e _{q 2} ) und ∇ × ~ (A ₃ ~ e _{q 3} ) und erhalten rot A ~ = ~ e q 1

h 2 h 3

∂

∂q 2

(A 3 h 3 ) − ∂

∂q 3

(A 2 h 2 )

+ ~ e q 2

h ₁ h ₃ ∂

∂q ₃ (A 1 h 1 ) − ∂

∂q ₁ (A 3 h 3 )

+ ~ e _{q 3} h ₁ h ₂

∂

∂q ₁ (A ₂ h ₂ ) − ∂

∂q ₃ (A ₁ h ₁ )

= 1

h 1 h 2 h 3





h 1 ~ e q 1 h 2 ~ e q 2 h 3 ~ e q 3

∂

∂q 1

∂

∂q 2

∂

∂q 3

A 1 h 1 A 2 h 2 A 3 h 3



 . (2.88)

2.5.5 Laplace-Operator

Mit Gleichung (2.66) und der Gradientendarstellung (2.81) gilt f¨ ur den Laplace-Operator

∆ψ = ∇ · ~ ( ∇ψ) = ~ ∇ · ~ ~ e _{q 1}

h 1

∂ψ

∂q 1

+ ~ e _{q 2} h 2

∂ψ

∂q 2

+ ~ e _{q 3} h 3

∂ψ

∂q 3

. (2.89)

Die Anwendung der Divergenzdarstellung (2.86) f¨ ur A ν = 1

h ν

∂ψ

∂q ν

ergibt dann

∆ψ = 1 h 1 h 2 h 3

∂

∂q 1

h ₂ h ₃ h 1

∂ψ

∂q 1

+ ∂

∂q 2

h ₁ h ₃ h 2

∂ψ

∂q 2

+ ∂

∂q 3

h ₁ h ₂ h 3

∂ψ

∂q 3

. (2.90)

Nach diesen allgemeinen Herleitungen betrachten wir nun als Beispiel Kugelkoordinaten.