Protokoll zum Versuch: Rotation starrer Körper
Fabian Schmid-Michels Nils Brüdigam
Universität Bielefeld Wintersemester 2006/2007
Grundpraktikum I 25.01.2007
Inhaltsverzeichnis
1 Ziel 2
2 Theorie 2
3 Versuchsaufbau 3
4 Versuchsteil A: Gleichförmigkeit der Winkelbeschleunigung 3 4.1 Messwerte . . . . 4 4.2 Versuchsauswertung . . . . 4 5 Versuchsteil B: Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung vom Drehmoment 5 5.1 Messwerte . . . . 5 5.2 Versuchsauswertung . . . . 5
6 Versuchsteil C: Körper unterschiedlicher Massen 6
6.1 Messwerte . . . . 6 6.2 Versuchsauswertung . . . . 7 7 Versuchsteil D: Körper unterschiedlicher Massenverteilung 7 7.1 Messwerte . . . . 8 7.2 Versuchsauswertung . . . . 8
8 Quellen 8
1 Ziel
Untersuchung der Bewegung eines starren Körpers unter Einuss eines konstan- ten Drehmoments.
2 Theorie
Drehbewegungen starrer Körper um eine feste Achse werden analog zu Bewegun- gen eines Massenpunktesmbeschrieben. Statt der Positionrwird der Drehwin- kelφbetrachtet. Geschwindigkeitvund Beschleunigunga= ˙vwerden durch die Winkelgeschwindigkeit ω und die Winkelbeschleunigung αersetzt. Sie werden durch Vektoren beschrieben, die in Richtung der Drehachse zeigen.
ω= dφ
dt (1)
α=dω dt = d2φ
dt2 (2)
Die Dynamik einer Drehbewegung ist durch das DrehmomentD~ und nicht mehr durch die Kraft F~ bestimmt.
D~ =~r×F~ (3)
Bei beschleunigten Bewegungen sind die dynamischen Eigenschaften eines Kör- pers durch seine Masse m festgelegt, bei Drehbewegungen ist die Massenver- teilung um die Drehachse entscheidend. Sie wird durch das Trägheitsmoment J beschrieben, dass im Allgemeinen über die Massenverteilung K des Körpers berechnet werden kann, wobeirder Abstand des Massenelementsdmzur Dreh- achse ist.
J= Z
K
r2dm (4)
Für eine Scheibe mit homogener Massenverteilung und der Massemergibt sich für die Drehung um die senkrechte Achse durch den Mittelpunkt
J = 1
2mr2 (5)
Analog zu den Translationsbewegungen ergibt sich für eine mit konstantem Drehmoment aus dem Stand beschleunigten Drehbewegung
ω=αtundφ= 1
2αt2 . (6)
3 Versuchsaufbau
Abbildung 1: Versuchsaufbau
Das Gerät, mit dem das Experiment durchgeführ ist besteht im wesentlichen aus einer Scheibe, die sich um eine feste Achse drehen kann. Zur Verringerung der Reibung ist diese auf einem Luftkissen gelagert, welches mit einem Gebläse erzeugt wird. Der Luftstrom wurd unter die Scheibe geleitet und tritt gleich- mäÿig zum Rand aus. Um ein Drehmoment zu erzeugen, wird ein Faden um die Achse der Scheibe gewickelt und über eine Umlenkrolle zu einem Gewicht geführt. Wird die Scheibe nicht festgehalten, so wirkt die Gewichtskraft dieser Masse als Drehmoment auf die Scheibe.
4 Versuchsteil A: Gleichförmigkeit der Winkel- beschleunigung
Bei diesem Teilversuch soll das Winkel-Zeit-Gesetz für ein festes Drehmoment vermessen werden. Das Gewicht, dass das Drehmoment erzeugt, beträgt 10g. Die Scheibe dreht sich zu Beginn aller Messungen nicht. Mit einer Stoppuhr wird nach dem loslassen der Scheibe die Zeit für 1/8, 1/4, 1/2, 3/4, 1, 3/2 und 2 Umdrehungen gemessen.
4.1 Messwerte
Umdrehungen Winkel [rad] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t [s] ∆t[s]
1/8 0.79 5.68 5.68 5.32 5.56 0.30
1/4 1.57 7.91 8.13 8.00 8.01 0.30
1/2 3.14 11.37 11.37 0.30
3/4 4.71 13.63 13.63 0.30
1 6.28 15.50 15.35 15.41 15.42 0.30
3/2 9.42 18.72 18.72 0.30
2 12.57 21.75 21.75 0.30
Tabelle 1: Messwerte von Teilversuch A
4.2 Versuchsauswertung
Abbildung 2: Graph der Messwerte von Teilversuch A
Die Versuchsergebnisse werden in einen Graphen eingetragen. Es ist ein qua- dratischer Zusammenhang zu erkennen. Mittels dem Programm gnuplot wer- den die Messwerte an eine x2-Funktion angepasst. Es ergibt sich als Steigung 0.026±0.001[rad/s2]. Die Winkelbeschleunigung erhält man aus ω =αt. Ge- plottet ergibt dies eine Grade mit konstanter Steigung.
5 Versuchsteil B: Abhängigkeit der Winkelbeschleu- nigung vom Drehmoment
Für den zweiten Versuchsteil wird der gleiche Versuchsaufbau verwendet. Es wird die Zeit für 8 Umdrehungen aus der Ruhe mit verschiedenen Massen (zur Erzeugung des Drehmoments) gemessen.
5.1 Messwerte
m [g] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t[s] ∆t[s] geschätzt 10 46.18 46.41 45.87 46.15 0.30 20 28.63 18.16 25.91 24.23 0.30 30 21.59 21.66 21.85 21.70 0.30 40 18.44 18.66 18.41 18.50 0.30 50 16.75 16.75 16.78 16.76 0.30 60 15.56 15.25 15.37 15.39 0.30
Tabelle 2: Messwerte von Teilversuch B
5.2 Versuchsauswertung
Nun wird die Winkelbeschleunigung berechnet. Aus Formel (6) folgt für die Winkelbeschleunigungα:
α= 2φ t2 4φ∆t
Abbildung 3: Graph der Messwerte von Teilversuch B
Die Winkelbeschleunigung nimmt wie erwartet linear mit dem Drehmoment zu.
6 Versuchsteil C: Körper unterschiedlicher Mas- sen
Das Drehmoment bleibt in diesem Versuchsteil konstant (50g Masse). Es soll der Einuss von verschiedenen Massenverteilungen beobachtet werden. Hierfür steht eine zweite (nahezu) identische Scheibe und ein Ring mit gleichem äuÿeren Durchmesser und gleicher Masse wie die Scheibe bereit. Wie im Versuchsteil A wird die Zeit für 8 Umdrehungen gemessen. Alle möglichen Kombinationen aus den zwei Scheiben und dem Ring werden vermessen.
6.1 Messwerte
t1 [s] t2 [s] t3 [s] t [s] ∆t[s] geschätzt nichts zusätzlich 16.75 16.75 16.78 16.76 0.30 zusätzliche Scheibe 22.94 23.00 22.87 22.94 0.30 zusätzlicher Ring 26.63 26.72 26.63 26.66 0.30 zus. Scheibe + Ring 32.35 31.44 31.53 31.77 0.30
Tabelle 3: Messwerte von Teilversuch C
6.2 Versuchsauswertung
t [s] ∆t[s] Winkelbeschl. α[rad/s2] ∆α[rad/s2]
nichts zusätzlich 16.76 0.30 0.358 0.013
zusätzliche Scheibe 22.94 0.30 0.191 0.005
zusätzlicher Ring 26.66 0.30 0.141 0.003
zus. Scheibe + Ring 31.77 0.30 0.100 0.002
Tabelle 4: Messwerte von Teilversuch C ausgewertet
Wie erwartet werden die Winkelbeschleunigungen gröÿer, wenn ein zusätzlicher Körper angebracht wird. Man sieht jedoch, dass nur die Masse alleine nicht der Grund sein kann für den Unterschied zwischen der Scheibe und dem Ring. Beide haben das gleiche Gewicht. Es muss also an der Massenverteilung liegen. Dies dadurch erklärbar, dass der Ring ein höheres Trägheitsmoment hat.
7 Versuchsteil D: Körper unterschiedlicher Mas- senverteilung
Im letzten Versuchsteil wird die Massenverteilung durch zwei zusätzliche Ge- wichte an verschiedenen radialen Abständen verändert. Es wird ebenfalls die Zeit gemessen, die für 8 Umdrehungen benötigt werden. Zur Beschleunigung dient wieder die Masse 50g.
7.1 Messwerte
t1[s] t2[s] t3 [s] t [s] ∆t[s] geschätzt 2x250g auf r/2 18.37 18.66 18.37 18.47 0.30
2x250g auf r 23.00 23.09 23.00 23.03 0.30 2x1000g auf r/2 24.09 23.94 24.16 24.06 0.30 2x1000g auf r 36.87 37.09 37.06 37.01 0.30
Tabelle 5: Messwerte von Teilversuch D
7.2 Versuchsauswertung
t[s] ∆t [s] Winkelbeschl.α[rad/s2] ∆α[rad/s2]
2x250g auf r/2 18.47 0.30 0.295 0.010
2x250g auf r 23.03 0.30 0.190 0.005
2x1000g auf r/2 24.06 0.30 0.174 0.004
2x1000g auf r 37.01 0.30 0.073 0.001
Tabelle 6: Messwerte von Teilversuch D ausgewertet
Es fällt auf, dass die Winkelbeschleunigungen für 2x250g auf r und 2x1000g auf r/2 fast gleich sind. Dies ist ebenfalls mit dem Trägheitsmoment erklärbar.
Da es von r2 abhängt ist das Trägheitsmoment annähernd gleich. Um besser mit Versuchsteil C zu vergleichen noch eine Tabelle mit den zusammengefassten Werten.
Massenverteilung α[rad/s2] nichts zusätzlich 0.358 zusätzliche Scheibe 0.191 zusätzlicher Ring 0.141 zus. Scheibe + Ring 0.100 2x250g auf r/2 0.295 2x250g auf r 0.190 2x1000g auf r/2 0.174 2x1000g auf r 0.073 Tabelle 7: Ergebnisse von C+D
Bei diesem Vergleich fällt noch auf, dass ausserdem die Winkelbeschleuni- gung von der Messung mit der zusätzlichen Scheibe mit denen von 2x250g auf r und 2x1000g auf r/2 zusammenfällt, diese haben also das gleiche Trägheits- moment wie die zwei Scheiben zusammen. Für die Scheibe gilt:J = 12mr2. Die 250g-Gewichte entsprechen 14m. Für 2x250g gilt: J = 2· 14mr2 = 12mr2. Für 2x1000g auf r/2 gilt:J = 2·m(r2)2=12mr2. Deshalb ist es nicht verwunderlich, dass die Winkelbeschleunigungen gleich sind.
8 Quellen
1. Udo Werner: Physikalisches Grundpraktikum I S.36-39. Universität Biele- feld Fakultät für Physik, 2006.
