Rotation, Trägheits- und Drehmoment

1

Rotation, Trägheits- und Drehmoment

Weihnachtskolloquium

Pro f. D r. H an ns Ru de r U niv ers itä t T üb ing en

Du nk le Ma teri e, du nk le En erg ie (fin ste re Ge da nk en ) Mo de rne En twi ckl un ge n i n d er Ko sm olo gie

19:15 Uhr, AudiMaxUlmenstraße

Bogenmaß und Raumwinkel

rad r

l = ⇒ Θ = 1

rad 0.175 1

rev 0.159 rad

1

3 . 2 57

rad 360 1

=

°

=

°

° ≈

= π

Eine Verschiebung entgegen dem Uhrzeigersinn ist positiv,

eine im Uhrzeigersinn negativ

r Θ

dimensionslose Einheit Steradian (sr)

57 . 12

² 1 4

² 4

gel Einheitsku der

Oberfläche

=

⋅

= π π ^r

Zweidimensional l

Dreidimensional

3

Winkelgeschwindigkeit

mittlere Winkelgeschwindigkeit

0

0

, t

Θ ΔΘ = Θ − Θ

⁰

t

Θ ,

Δ t

= ΔΘ

ω

t

0

t t = − Δ

Θ Δ =

= ΔΘ

→

Δ

dt

d t

t 0

ω lim

instantane Winkelgeschwindigkeit

Einheit der Winkelgeschwindigkeit [rad/s]

Da die

Winkelgeschwindigkeit über die Änderung des Winkels bestimmt wird rotiert jeder Punkt auf dem Rad mit derselben Winkelgeschwindigkeit!

ω_Ferrari= ωPink Panther

ΔΘ

Winkelgeschwindigkeit

Zusammenhang zur linearen Geschwindigkeit

P

x O

ω r

dt r r d r t

dt dl

t r t

l

r l

t

=

Θ Θ =

Δ →

= ΔΘ

=

Δ

= ΔΘ Δ

= Δ

Θ

=

→ Δ

v v

v

0

&

Δ l ΔΘ

r

v r ω ^r

Obwohl Winkelgeschwindigkeit für jeden Punkt auf dem Rad identisch ist, ändert sich

die lineare Geschwindigkeit mit dem Abstand zum Zentrum.

Das bestätigt unsere tägliche Erfahrung!

ω

in Einheiten von rad

Θ Θ =

= &

dt ω d

Definition

5

Graphische Darstellung

Winkel

Θ(t) Winkelgeschwindigkeit

ω(t)

ω>0 Drehung im Uhrzeigersinn

ω <0

Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn Zeit t

Zeit t

Rotation im Uhrzeigersinn

Winkelbeschleunigung

mittlere Winkelbeschleunigung

0

0

, t

ω

⁰

ω ω

ω = − t Δ

ω ,

Δ t

= Δ ω α

t

0

t t = − Δ

ω ω

α dt

d t

t

=

Δ

= Δ

→ Δ

lim

0

instantane Winkelgeschwindigkeit

Einheit der Winkelgeschwindigkeit [rad/s²]

Da die Winkelbeschleunigung über die Änderung der

Winkelgeschwindigkeit definiert ist, erfährt jeder

Punkt auf dem Rad derselben Winkelbeschleunigung

7

Winkelbeschleunigung

Zusammenhang zur linearen Beschleunigung

P O

a

tan

Zentripedalbeschleunigung wächst mit dem Abstand r

zur Drehachse

α

ω ω ω

r a

dt r r d t

r a t

t

=

= Δ ⇒

= Δ Δ

= Δ ^{Δ →}

tan

0 tan

v &

Tangentiale Komponente

a R

a

a r = r _tan + r

( ) r r

a

_R

r ²

r

v² ₌ ω

²

₌ ω

=

Radiale Komponente Zentripedalbeschleunigung

a

R

Vektoraddition

Diese Gleichungen geben den Zusammenhang zwischen den Winkelgrößen und den linearen Größen an.

ω

= r

v a _R = ω ² r a

_tan

= r α

ω ω ω ω

&

&&

&

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ Θ

= Θ Θ

=

dt d dt

d dt

d dt

d

dt d

2 2

Definition

Anglerglück

Winkelbeschleunigung 100 rad/ s² für 2 Sekunden (Radius 50 mm)

( ) s

200 rad s

s² 2 rad 0 100

t hwindigkei Winkelgesc

0

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

+

= ω

α ω

ω t

50 mm

( )

s 10 m s

200 rad m

0.05 v

v

r Angelschnu der

gkeit Geschwindi

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ω r

( )

rev 8 . rad 31

2 rev rad 1

200

rad 200 s

s² 2 100 rad 2 0 1

2 1

Rolle der Drehungen der

Anzahl

2 2 0

=

= Θ

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= Θ

+

= Θ

π

α

ω t t

9

Informationspeicherung auf Festplatten

s rad 2

s

1 rev ₌ π

f

f ω π

π

ω 2

2 ⇔ =

=

Einheit der Frequenz f

[1 Hz=1 rev/s=1s^-1]

Frequenz

Periode

T 1 f

=

Festplatte 3,5 Zoll (=88.9 mm)

7200 rev/s Transfer 100 MB/s

s 740 rad

60s/min rev/min 7200

rev rad 2 2

=

=

=

ω π π

ω f

r=3 cm

( )

( )

222nm bit/s

10

22.2m/s

s² 16430 m s

740 rad 0.03m

²

s 22.2 m s

740 rad 0.03m

v

8

2

<

==

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

Bit R

l r a

r ω

ω

Soviel Platz braucht eine Informationseinheit auf der Festplatte

Zusammenfassung

( )

2

2 ² 1 2 1 2

²

2 ² 1

0 0

0 0

2 0

0 0

0

ω ω ω

α ω

ω ω α ω

ω

α ω

α ω ω

= +

−

= Θ

− Θ

+

= Θ

− Θ

Θ +

=

+

= Θ

− Θ

+

=

t t

t t t

t

( )

( )

2 v v v

2 ² v 1

v 2 v

1 2 v

² v

2 ² v 1

v v

0 0

0 0

0 2

0 0 0

0

= +

−

=

−

+

=

−

− +

=

+

=

−

+

=

at t

x x

t x

x

x x a

at t

x x

at

Rotationsbewegung Lineare Bewegung α

ω

⇔

⇔ Θ

⇔ a v x

ω ω

ω ω ω

=

= Θ

=

0

t

0

= 0 α

Θ

0

− Θ

ω

α t

ω

0 unbekannte

Variable

x

0

x − v

a t

v

0 unbekannte

Variable

v v

v v v

0 0

=

=

= t 0 x

=

a

11

Rechte-Hand-Regel

Die Drehachse einer rotierenden Scheibe definiert einen Vektor ω , der den Geschwindigkeitsvektor der Drehbewegung repräsentiert

Rechte Hand Regel

Drehrichtung Zeigt der Daumen der

rechten Hand in Richtung von ω , dann zeigen die Finger die

Drehrichtung an.

Richtung des

Geschwindigkeitsvektors Die Länge von ω ist ein

Maß für die Größenordnung der Winkelgeschwindigkeit Der Vektor zeigt nicht in Richtung der

Bewegung. Deshalb ist die Notation etwas gewöhnungsbedürftig. Statt dessen

rotiert der Körper um die Vektorachse.

Sind die Winkelgrößen Vektoren?

x O

Θ r

Sowohl der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ( ω) als auch der der Winkelbeschleunigung ( α) erfüllen die

Regeln der Vektoraddition.

Richtung OK Betrag OK

Dies gilt nicht für den Winkel Θ!

b

a r + r b r a r +

a b

b

a r + r =/ r + r

13

Kinetische Energie der Rotation

∑

=

=

ⁿ

i

i i

L

m

KE

1

v

2

2

1 ( )

²

1

2 1

2

2 1 2

1 ω ⎟ ω

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ∑ ∑

=

=

n

i

i i n

i

i i

R

m r m r

EK

Dieser Term gibt an, wie die Masse des Rotationskörpers verteilt ist

Definition

Trägheitsmoment

∑ =

= ⁿ

i

i i r m I

1

2

2

2 1 I ω EK =

Kinetische Energie der Rotation eines massiven Körpers

r

_i2 i

i

m

m ⇒

² v

²_i

⇒ ω

∫

= r dm

I ²

Kinetische Energie der Translation eines massiven Körpers

kontinuierliche Massenverteilung z.B. Bumerang

Zusammenhang zu den linearen Größen

Ansatz: Man ersetze die linearen Größen durch die entsprechenden Größen bei der Beschreibung der Rotation

Berechnung von Trägheitsmomenten

Homogener Ring mit Masse M auf dem Radius R

Drehachse z

Drehachse z

∫

∫ ^{= =}

= r ² dm R

²

dm MR

²

I

Scheibe mit Masse M gleichmässig verteilt bis Radius R

Erwartung: das Trägheitsmoment is geringer

Wähle Ringe mit Masse dm auf dem Ring mit Radius r mit Dicke dr

Fläche eines Rings

rdr dA = 2 π

Fläche der Scheibe

R

2

A = π

A rdr dA M

A

dm = M = 2 π

2 4

0 2

0 2 2

1 4

1

³ 2 2

2

²

² R MR

R dr M

R r rdr M

A r M dm

r

I ^{R R} ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

= ∫ ∫ ^{π π} _π ∫

15

Trägheitsmomente verschiedener Körper

2 2

12 1 4

1 MR ML

I

_D

= +

2 2

2 2

2 2

6 2 1 2

1 12

1

2 1 4 1

R L MR

ML MR

MR I

I

C

D

= + = +

Vergleiche Rotation um unterschiedliche Achsen

L R

R L

R L

3 1 6 2 1

6 2 1 1

2 2

2 2

=

= +

=

Gleiches Trägheitsmoment für beide Drehachsen

Noch mehr Trägheitsmomente

Fliehkraftregler

Beim Fliehkraftregler nutzt man aus, dass durch die schnellere Drehung die Gegengewichte auf einen größeren

Radius gebracht werden

Resultat: Das Trägheitsmoment vergrößert wird.

17

Kosmische Leuchttürme

( )

m² kg 10 5.76

m 10 kg 0 1 44 . 5 1 2

5 2

m³ 10 kg

km 0 1

37

4 2 30

2 15

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

=

NS NS

NS NS NS

I I

MR I

R ρ

Pulsare sind schnell rotierende Neutronensterne 1.44 bis 3 Sonnenmassen

Durchmesser 10 km, 1000 rev/s

Durch Abstrahlung on Energie in Form von Licht verliert der Stern Rotationsenergie

Pulsar im Krebsnebel

vom Pulsar beleuchtetes Gas

18

Körper auf schiefer Ebene

Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper?

Θ

h D = 2 R

s

2 2

2 v 1

2

1 m I ω

mgh = +

⇒ +

=

⇓

²

² 2 v

R m I

mgh

as R 2 v

v

= ω =

² sin

² 2 2

R m I a mg

R m I as mgh

+

= Θ

⇓ +

=

Reifen

Θ

=

= 2 sin 1

² g a

mR I

R R

Scheibe

Θ

=

= 3 sin 2

2 ² 1

g a

mR I

S S

Scheibe

Lösung unabhängig von Masse und Radius

geringere Beschleunigung, da Masse außen

19

Drehmoment

Wichtig, wo Kräfte angreifen

Hier resultiert die Kraftanwendung nicht in einer Drehung der Scheibe

Definition des Drehmoments

Θ

=

=

_{i i i}

sin

i

F l F r

τ

l wird Hebelarm genannt

Wenn die Kräfte hier angreifen dreht sich die Scheibe

Nur die Komponente die senkrecht zur Rotationsbewegung wirkt erzeugt ein

Drehmoment. Die parallele Komponente würde nur eine vertikale Verschiebung bewirken

Beispiel: Öffnen einer Tür

Kraft nde

Aufzuwende

1

2

F

F >

Bizeps

Nm 35 m

0.05 N

700 ⋅ =

=

= Fr

_⊥

τ

Nm 30 )

sin(60 m

0.05 N

700 ⋅ ° =

=

= Fr

_⊥

τ

Unter einem solchen Winkel kann der Muskel ein geringeres

Drehmoment erzeugen

Affen sind eigentlich gar nicht so stark wie der Mensch. Für einige Bewegungsabläufe zahlt es sich aber aus, dass der Ansatzpunkt des

Muskels deutlich weiter vom Drehpunkt entfernt ist

21

Zweites Newtonsches Gesetz

∑

≈ τ α

_res

ma F =

Fall linearen im

Newton

α τ

α α α

²

² a

_tan

mr mr rF

mr F

r

=

=

=

=

tangentiale Beschleunigung

einzelnes Teilchen

( )

( )

∑

∑ ∑ ∑

+ +

=

=

α τ

α τ

...

²

3 3 2

2 1

1

r m r m r

m

mr

Zweites Newtonsches Gesetz für die Rotation

α τ = I

∑

Rotationsbeschleunigung

ergibt sich aus der

Summe aller

angreifenden

Drehmomente

Ultrazentrifugen

www.testdevices.com

( )( )

m² kg 64 . 19

m 38 . 0 kg 2 236

1

2 ² 1

2

=

=

= MR I

rad/s 466

1

s 60

min 1 rev 2 rad min

14000 rev

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ π

ω

( )( )

J 10 2.11

rad/s 1466

m² kg 64 . 2 19 1

2 ² 1

7

2

⋅

=

=

= I ω KE

As an example, a rotor weighing 272 kg and having a diameter of 76 cm and spinning at 14,000 rpm has an energy equivalent of 2.1 x 107 Joules. To put that number in perspective, it is equivalent to a 80,000 lb tractor trailer traveling at 75 mph. Imagine the damage should that

truck run into a barrier in its path. A large SUV traveling at 80 mph would only represent 10% of this energy. This kind of rotational energy

is comparative to the power of some bombs. Within this context it is easy to see why a burst of a high speed rotating part is not something that a manufacturer would want to have happen in service. Even small

rotors spinning at high speed can be extremely damaging during a burst.

in Rotationsenergie gespeichert

23

Drehimpuls

Definition analog zum linearen Impulsvektor

ω ^v

r I

L =

Definition des Drehimpulsvektors SI Einheit [kg m²/s]

Zweites Newtonsches Gesetz

∑

∑

Δ

= Δ

⇓ Δ

= Δ

t L

t F p

τ

wenn Trägheitsmoment konstant

α τ = I

∑

α τ

ω ω

τ ω

ω ω α ω

I

I t t

I I

t L

t t

=

Δ

= Δ Δ

= − Δ

= Δ

Δ

= − Δ

= Δ

∑

∑

^{2 1}

1

bekannt

2

Wenn keine Drehmomente angreifen

ändert sich der Drehimpuls nicht!

Erhaltung des Drehimpulses

Pirouette

v m p r = r

Drehimpulsvektor zeigt in Richtung der Winkelgeschwindigkeit

Drehimpulserhaltung

Gesamtdrehimpuls bleibt erhalten, da kein äußeres Drehmoment Bei Rotation des Rads um +/-90°

ändert sich der Drehimpuls des Stuhls um den Drehimpuls des Rades

(-/+ L)

const L

L _Stuhl + _Rad =

25

Katzensprünge

Stimmt es, dass eine fallende Katze immer auf ihren vier Pfoten landet?

3.5.2007

back front

back front

back front

back front

back back

back front

front front

I I

I I

Θ Δ

−

= Θ

Δ

⇒

−

=

−

=

=

=

v

&v

&v r

&v

&r

&v v

&v v

ω ω

ω ω

τ ω

ω τ

Der Trick

Durch Ausstrecken bzw. Anziehen der Beine hat der Vorderkörper ein anderes Trägheitsmoment als der Hinterkörper bei der Rotation um die

Körperachse.

In einem ersten Takt zieht das rücklings fallende Tier die Vorderbeine eng an den Leib und streckt die Hinterbeine rechtwinklig von der Körperlängsachse weg. Wenn jetzt die Katze den Vorderkörper rasch um 180 Grad dreht, ist die Gegendrehung des hinteren Körperteils viel langsamer und der Drehwinkel entsprechend klein. Dann streckt das Tier

die vorderen Beine vom Körper weg und drückt die hinteren an das Fell, und das Hinterteil vollzieht die Drehung des Vorderkörpers nach, mit nur geringem

Gegenschwingen der vorderen Körperhälfte.

Durch mehrmaliges Wiederholen dieser Übung kommt die Drehung zustande.