HTWK Leipzig, Fakultät IMN
Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de 4. Übung zur Vorlesung „Modellierung“ Wintersemester 2015/16 Lösungen bis 3. November 2015 einzusenden im Opal-Kurs zum Modul:
https://bildungsportal.sachsen.de/opal/url/RepositoryEntry/9360769029
Aufgabe 4.1
Formulieren Sie die folgenden Mengen umgangssprachlich:
a. {3n|(n∈N)∧(n <5)}
b. {p∈N|(3p <20)}
c. {(i, j)|(i∈R)∧(j ∈R)∧(i−j ≥0)}
d. {(x, y)|(x∈N)∧(y∈N)∧(y=x2)}
Aufgabe 4.2
a. Geben Sie zu jeder der folgenden informal beschriebenen Mengen formale inten- sionale Darstellungen an:
M1 : Menge aller Quadratzahlen, die kleiner als50 sind, M2 : Menge aller ungeraden Zahlen zwischen 10und 20,
M3 : Menge aller dreistelligen (Dezimal-)Zahlen,
M4 : Menge aller vollständigen Drei-Gänge-Menüs, die sich aus den
• Vorspeisen: Suppe
• Hauptgängen: Fisch, Huhn, Tofu
• Dessert: Eis, Pudding zusammenstellen lassen,
M5 : Menge aller möglichen Getränke, die sich aus (je höchstens einem Anteil) Anannassaft, Baileys, Cola, Orangensaft, Rum und Wodka mixen lassen.
b. Geben Sie für jede dieser Mengen, die höchstens10Elemente enthalten, auch die extensionale Darstellung und für jede Mengen mit mehr als zehn Elementen drei Elemente der Menge an.
Aufgabe 4.3
Welche der folgenden Aussagen gelten für die Menge M = 2{0,1}∪ {0}?
Begründen Sie Ihre Antworten.
a. ∅ ∈M b. ∅ ⊆M
c. {∅} ∈M d. {∅} ⊆M
e. 0∈M f. 0⊆M
g. {0} ∈M h. {0} ⊆M
i. {{0}} ⊆M j. {{0,1}} ∈M k. {0,{1}} ⊆M
l. {{0},{1}} ⊆M Aufgabe 4.4
Bestimmen Sie für die gegebenen Mengen A={a, b}, B ={a, c, d}und C ={1,3,4}:
M1 = {x∈C |x >2}
M2 = A∪B M3 = A∩B M4 = A× {α}
M5 = A×B M6 = M1×A M7 = 2B M8 = 2(2A) M9 = M5∩M7 M10 = 2B\2A
∪B
und geben Sie jeweils |Mi| an.
Aufgabe 4.5
Zeigen Sie, dass die Gleichungen
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (1)
A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (2)
a. für die Mengen A={a, b}, B ={a, c, d} und C ={b, c}gelten, b. für alle Mengen A, B und C gelten.
Aufgabe 4.6
Zeigen Sie, dass die Aussage M ⊆N → 2M ⊆2N a. für die Mengen M ={a, c} und N ={a, b, c} gilt, b. für alle Mengen M und N gilt.
Aufgabe 4.7
Ein Spiel (leichte Abwandlung des Kartenspiels SET!) wird mit Karten gespielt, auf denen Symbole abgebildet sind. Die Karten haben mehrere Merkmale:
Anzahl (1 bis 3), Farbe (rot, grün,blau), Form (Kreis, Dreieck, Viereck) und Füllung (voll, halb, leer) der Symbole.
Jede Merkmalskombination ist auf genau einer Karte abgebildet.
a. Geben Sie eine formale Repräsentation der Menge aller Karten an.
b. Beschreiben Sie die folgenden Mengen formal (intensional):
(a) Menge aller roten Karten,
(b) Menge aller Karten mit leeren Symbolen,
(c) Menge aller Karten mit wenigstens zwei Dreiecken, die nicht blau sind.
(d) Menge aller Dreiermengen von Karten mit gleicher Anzahl, Farbe und Form (aber verschiedener Füllung).
c. Wieviele verschiedene Spielkarten gibt es?
Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws15/modellierung
