Einf¨uhrung in die Quantenfeldtheorie
Univ.-Prof. Andreas L¨auchli und Dr. Thomas Lang
Blatt 6 05.05.2016 Aufgabe 1: Wechselwirkungsbild
Das Wechselwirkungsbild ist nicht nur ein notwendiger Schritt in Richtung St¨orungstheorie, sondern erlaubt auch eine elegante L¨osung des Problems der magnetischen Resonanz: Wir betrachten ein Spin- 1/2 Teilchens in einem starken MagnetfeldB0, das durch ein normal dazu ausgerichtetes oszillierendes MagnetfeldB1 gest¨ort wird. Das System wird durch den Hamiltonian
H =γB0Sz+γB1[Sxcos(γB0t) +Sysin(γB0t)] , (1) beschrieben, wobeiγ der gyromagnetische Faktor ist. Die Frequenz des St¨orfeldes ist dabei so gew¨ahlt, dass diese genau der Energie Aufspaltung durch das statische Feld entspricht.
(a) Schreiben Sie den Hamiltonian in der Form H =H0+H1, in dem Sie ihn in einen freien und wechselwirkenden Anteil aufspalten.
(b) Zeigen Sie mit den Identit¨aten
S± = Sx±iSy (2)
S+eiωt = eiωSztS+e−iωSzt (3) S−e−iωt = eiωSztS−e−iωSzt (4) dass der Wechselwirkungs-Hamiltonian durchHI = eiH0tH1e−iH0t= 12γB1(S++S−) gegeben ist.
Was ist mit der Zeitabh¨angigkeit passiert?
(c) Bestimmen Sie den Zeitentwicklungsoperator UI(t2, t1) =Th e−iR
t1
t2 dt HI(t)i
und die Wahrschein- lichkeit ein Teilchen, das beit= 0 im Zustand| ↑ipr¨apariert wurde, zu einem sp¨ateren Zeitpunkt im Zustand| ↓i zu finden.
(d) Bestimmen Sie den ErwartungswerthSz(t)i.
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