Beitrag zur rechnerischen L ¨osung des Pothenot’schen Problems

(1)

Beitrag zur rechnerischen L ¨ osung des Pothenot’schen Problems

August Gabrielli

¹

1

k. k. Obergeometer in Linz

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen ¨ 9 (10), S. 319–322 1911

BibTEX:

@ARTICLE{Gabrielli_VGI_191142,

Title = {Beitrag zur rechnerischen L{\"o}sung des Pothenot’schen Problems}, Author = {Gabrielli, August},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = {319--322},

Number = {10}, Year = {1911}, Volume = {9}

}

(2)

Das heißt i n Worten : wir beko m m e n e i n e voraussichtlich sehr gu te Summen

gleichung, wenn wir j ede d e r g·egebenen G l e:ichung·en m i t i h r e r c i g e n e n A b ·

s o 1 u t e n, dividiert durch ihr Hypotenusenquadrat, m u l ti p l izieren u n d dann die Gleichungen addieren .

'Wen n , was i m mer geschehen sollte, die Hypotenusen aus den G l eich1rnge11 grob wegdi vi diert sind, so dat3 für al l e G l eichungen el\\"t

µ;il t ;

< lt <

^{l ' 3}

d a n n k a n n man

97)

g·en ligend genau schrei b e n :

G ⁼/1

G1 + 12 G� + . . ⁹⁸⁾

Das h eißt i n \\Torte n ; Wir erh al ten ein e^·g·u te S u m m en�·l e i c h u np, C, 11·cn 11 ll' i r jede geg^·ebene G l e i chung · grob m i t i h rer eigenen Abso l u t e n m u l t i p l i z i eren u 11 d

. dan n add i eren . Die Gleichung 9 8 lau tet dann :

[

^a

^t']

^X

-f- (

^b

I J

^y^-j-

.

^. ^,⁼

[ /2 J ₉₉₎

Diese G lei chung· läßt leich t erk

e

nnen

,

_{daß die} S u m m e n gl c i ch u n g; v n raussit:l1 t l i d1 gut ist. Die Abso l u t e [/ J w;tchst n fö11 l i c h v o rauss i ch t l i c h hnch

an , da

sie aus lauter posi tiven Gl i edern

besteh t.

D i e h: oeffi zic11 tcn ahcr lau fen vorauss i c h t l i ch p;ar n i ch t hoch an , d a sie aus t ei l s p'.'>si t i ven, teils

nega t i ,·cn

G l i e d e rn h t�stch e n . Die H Y p o t e n u s e 11 der Stt m mcngl c i c h u n g ll' iichst also durch die A d d i 1 i n 1 1 viel wen iger, als d i e

Absolu te.

_Da n u n d as Stellot s der :i u m mcng-leic h u ng be

s t i m m t ist durch

' ' · _s.=_-

[b]

_/-1-. _.

_{. . .} _. _. _. _{. .} _. _. _. _{1 00)}

s ^.

·!st

^dtts

St. lj�

^d�i·

Sttmtn�tig c::�1.un�

^· ^{vo rau} sich t l i c h g r o f,I Das war e b e n z u

·f.) fi ^·eisen.

^·

· · �1 köiHl�I ii.k.!:tr V·�·:in ^a·^m.g· noch

wei ter

^{geh en:} B i der l:'..rwei tcrn ng d er G ! eichmigen G,

G�

^. . . könneu wi r den Absolu ten d e n n u m erisc h e n Wert Ei ns geben , D a s h eißt m i t an d eren 'Worten:

wir

sch reiben alle g-e\;�;cbcn e11 G leichu n ge n m i t p o s i t i v e n Absoluten, indem wir in

jeder

G l e i c h u ng

mii

^{n ega-}

. tiven Absol u ten die Vorzeichen umkehren , u n d addieren dann die G leicl t u ngc n. D ie Sum m engleichung

[rr.]

^X

+ [b]

⁾^'

-1-

^. ^{. . =}

[/]

i ·t d a n n vo raussichtl i c h gu t .

Beitrag z u r reoh nc:.rischen Lösu n g des Poth enot ...

sehen Prob lemes.

Von August Gabrlelli, k . k , Obergeometer i n Linz.

J n den Mouatsh efte1

7

u n d 8 des Jll . J ah rg-ct n ges u n d i n l r. 1 0 des V r l l . .Jahrganges di eser Zei tschri ft si n d berei ts Bei t räge z u r rech nerischen Li5su u g de�

R li t.'.kw ärtsei nsch neidens e n thal tcn .

l n beiden Hil le11

w.ird

^j^edoch

die

P u n k tbesti m mu n g Ju rch E i n sc h a l t u 1 1 g v o n Hilfspunkten, deren Koo rdi naten ebenfalls gerechnet wercl n m ü sse n , vorge

nommen.

(3)

Im Nachstehenden sol l n un gezeigt \\ erden, daß es auch ohne die er

wähnte Einschal tung von Hilfspunkten möglich is_t

,

die Koordinaten d es _zub e stimmenden _Punktes_, _zu _{fi nden,} _ähnlichjener Lösung, wel che im M u s t e r XI

·b

der Polygonal-Instruktion m i t Zuhilfenahm_e_derHilfswinkel cp u n d 'ljJ enthalt_e_n_ist.

Es sind geg·eben die recht� inkeligen Koordinaten d_er

Punkte />1

P2 P3•

Zu b estimmen _s_ind d i e Koordinaten _des _Punktes _P0, wenn die Horizootalwinkel von diesem zu d_en _drei gegebenen Punkten gemessen wurden, mit w1 und _z_{12 •}

l .

G r a p h i s c h e L ö s u n g :

Dieselbe ist b_ek_an_nt durch die Konstruktion der bei den K re i se _{mit d}_e_n Mittelpunkten 1(1, und M2 u n ter Zuhilfenahme der Zentriwinkel 2 w1 und Z w2 ; der Schni ttpunkt der beiden Kreise gibt den gesuchten Punkt P0•

2 . R e c h n e r i s c h e L ö s u n g :

1 . Da die Punkte

�

^{P2 P3} g·egeben sind durch ihre rechtwinkeligen Koor

dinaten , so _sind ferner _{bekannt :} Länge P1

P2

⁼^{s1� ,} ^Länge ^P,

^{Pu =}

^Sy3 ^und

Winkel P1 P1 P3 = <J, welchen man erhält aus der Differenz der Südwink�! 61.1 u n d O'ia.

2. Gemessen wur_den die Horizontalwinkel W1 und w, von P0 nach

/� Ps P3•

3. Man rechnet sich die Radien r1 und 1·2 der beiden Ki:eise

M;

^und ^111,

s

��

^. ^, ^�9

1'1 = 2 cos

- (�--9 0)

⁼ ²^sin^w1^' ^1�

⁼ ^-2

^sin

^w-;

4. Aus dem Dreiecke

M1

^P2

^M

y = rJ

+

^w1

+

^w2^-· ^{1 800}

a-R 1·.1^-1'2 �'

tg- ^-2 ^·L.. = colg -'-

1'1

+

^1'9 ²

. „

daraus b_est_im_m_t _a₂

ß ,

^{w eiter}

900

^-

-�

^{;:;;:: a}

t ⁽ⁱ

¹

woraus man

durch

Addition et u n d durch Subtraktion ß erhält.

(4)

-

S . ^Aus d

n g1eichsch enkelige n

J)reiecken P2 ^11-:li

P0 u n d

P� 111:,

P0

I'2

P0 ⁼^Szo⁼2 ri sin a bezw. s o =

2

^1'z sin ("3 h i eraus ist die En t fernung 112 Pu = s,0

6. s

+ ^n1i-90°

⁼

^90°-a

li = 1 80°-a-Wi

bestimmt^.

� -f-

^{W2-90° =}

^90°-(j

�

= 1 80'-w.-·-/3 Hieraus folgt dⁱe Bestimmung· des Sü dwi nkels 6,o

62 ' ⁼62 1 --E ⁼6�;1

-+- ;

Da u n n der Südwink

e ^l

^{u n d} d i e E n tfern ung·

P,

/ '0 g·egeben si nd, so ist:

dy ⁼SllO COS 620

y = Y1 0

-j- dy

d ^{„t =}s�0 ^•sin a,0

-:r 0 = ^:r·s

+

^d.-c

wodurch

d

_i

e

Aufgabe g·el öst erschei n t ; dabei ist noch z u bem erke n , daß es für d e n obigen H.ech n u ngsgang ganz gleichg·til tig ist, ob w größer oder kleiner ;Lls

900

ist.

3. P r a k t i s c h e L ö s u n g· :

Hiezu wähle i ch der G l ei chhei t lnlber das Beispiel aus der Pu l yg-1)1i:tl

Instruktion

Muster XJ_,b über

^dieB es t i m m u n g des Pu.nk tcs

ß

^53.

Gegeben :

Pi ^.)11 ⁼^- 1 8. 1 52 ()8 ; ^;r·1 ⁼ ^-- I

1 1 .04-4·4·7

jJu . )'� = ^- 1 8 7 5 5 · 73 ; ^�r2⁼^-

1 1 � . 3 7 0·9() P.�

, . J's ⁼^-20.272·86 ; ·"'n = - l l 1 .

l

^78·G8

Gem essen :

1C'1 ⁼ 1 25 ° 5 ' 5 3 "

ic2 =

1 1 4°

G ' +211

Gercch n t : Wi nl�·el Pi ^' .P ^... P. ^·.1^c=r5 = 76° l 7' 4'', ebe^.11s0 . ·' 1 2 · u II I l .1'23 :lll S ( e r 1 Ins! ruk.t i o n .

Die nun ang·efiihrten Num mern der Gleichungen bezit•hcn s[cl1 au f v o r

·*" stehenden J� ech n u n g-sgang;.

, . .,,.-

3 . lc g· ·'12 ^'=3 · i 6 3 5 0 Jog s i n w, = 9 ·9 1 284

- log 2 ⁼

0·30 1 03

--�--- --- _ _ ...__ --· __. __

4.

log r1 ⁼

:? ·94 963

r1 ⁼ 890· 5-0

--- --'-�--· - - -- --.„„.

r 1 - r2 ⁼^- l GG<S 1

log

(1'1-J'") �

2 · 22 1 4.4 log <;otg ?J

= 9·(, 1 1 90

--- --- -- --- �--2

. um m c ⁼l · 833?4·

- Jot>· (r1

+

^r2 ⁼3 · 2 8948

---· ...- --.-.--·-------�-

)oo·

t>

to-

t>

(�_- 2 (�)

^__ ⁼⁸

.

^·^{5 43}⁸⁶

leg ^{f� ,}= 3 · 2 8 3 46

l og· si n ,, .� ⁼9· 9603 5

_ _ __ . ··-

log

²⁼

^{0·30 1 03}

]ng; 1'2 ⁼3 ·0'.?408

-

- ---�·" --�-=--'

05 7 · 0 t

/'1

+

^l'fJ⁼ ¹⁹^<!⁷^{· 5 I}

6 ⁼ j ()0 1 7' +'·

1r11 = 1 2 .1°

51

^�3"

7C'·J ⁼ 1 l 4° G ' 42'' Sum m e =

3 1 5° ^{29' 39 '}

- I SOo

]' = l 3 5 u 29' 39 '

(5)

5 .

6.

a J_ (:3

_:___'. ^__ ^_^-:::_22°' 1 5/ J l}•I

2

('.(. =

24°

1 5' 2 3 !'

ß

⁼ 20° 1 4' 5 7 1 1 log 2 ⁼0 · 3 0 1 03

log

r1 ⁼

2·94963

�g ^sin

^c( ⁼

^9·6136�

--�_?g�2o_ ^{2 · 8 6} 4]I

?' -

67° 441 5011

2

90 -

;

^-⁼ ^22°

^{1 5'}

^l

^0"

⁼

^� -� ß

Probe : log· 2 = 0 · 30 1 03 log r, = 3 · 02403 log sin (:J ⁼9 · 5 392 1

log

S20 ⁼2·86432 li = l

80�ß�zc12

⁼^{45° 381} 2 l '1

_tJ ^�^�^•^_^__3_0_80. ^_^_9_'

_ 4 _ 7 _ " _ (Instruktion).

��Q ^353� 48' 8"

log

s 10 =

2· 86432

log cos a�0 ⁼

0·0332 7

^l

og s,0 · ^{2 · 86432}

---- „

___ J_�JLSin

��o

⁼ 9 · 99 745 log dy = t

· 8

⁹⁷⁵⁹

- dy = 78•99

__

y2� . -=._1 8.755�

log d:r ⁼ 2 · 86 1 7 7

+ d.r

⁼ 7 2 7 · 39 .r·, ⁼ -

1 1 2.370·9.6 "

---. ·-( ^{· ---}

Yo ⁼^-

1 8 . 8 3 4 · 7 2

. f'li•.

:fü -> f . : .LstJ .]2

^.^.^{• u .} ^_.

w

d

u

r

ch

die

Übere i nsti m m u n g m i t dem f{esul tüt ^'. .er Pö.

rboii:ll-In,·

_"

rtt ^{· ti}

ⁿ

^.g ^'t

geben ist.

^{, r}^.^•^.,.. ^{n „ ....} ^' ^.^;

Daran ^an

k

nlipfend

möchte

ich

noch

bemerken, af

dem

Rückwacrt �'..in·

sch neiden seitens der

Verm essun gsbeam ten

draußen

im

Bezirke, spezi

II im

Ge -·r.

birge

nicht

jene Beachtung geschenkt 'Nird,

welche

d

emselbe

n infolge

^{d es} ge

ringen

Zeitaufwalldes und

der

großen G en auigkei t zukommen

sollte.

Da, wo

i n der

Regel alte

Anknlipfungspunl.:te versagen ,

im A lpengebiete und im Hochgebirg·e ,

wo scho n

sei nerzei t bei

der

Originalaufnah me

nich t

m i t

der wünschenswerten Genauigkeit vorgegangen wurde,

wo

geodätische

Au fnahmen nur mit vielen Schwierigkeiten

und

großem Zeitaufwande

ausgeführt

wer

d

en könn en, wird man immer noc.h am besten die Pu

n

kt

b

es

t

immu

ng

nach Pothenot anzuwenden in der Lage se

i n

^.

Es rnögen

sich

viele Vermessungsbeamte

vielleicht

vor

dem

im ersten

Augenblicke komplizierten Hechnungsgange abschrecken lassen, . aber ich

bin der Meinung,

daß

es nur au f den ersten

praktischen Versuch ankom m t·,

um

sich von

der Zw

e

ckmäßig

k

eit dieser Pu

n

k tb�stim�nu

n

g zu überzeugen .

I m Ve

r

llle

s

sungsbe

z

irke Zell am See, der fast durchwegs

HochlandcharnL:: ter

zeigt, bin ich

häufig

in

die

Lage gekomm

e

n, diese Pu nktbestimmung

anzuwen den,

nicht nur für

lokale

geodätische

Arbeiten ,

so

n

dern auch' ifür Präz isionsarb i le n , wie -fü r d i e Tri ang-uliernng von G

e

meinden behnfs Neuatfnahme nach

d e r

PoJy

gonalmetho<le,

und

waren die E

r

g

e

bniss

e auch fi:ir letztere

Arb

e

iten äußerst zufriedenstellend.

Beitrag zur rechnerischen L ¨osung des Pothenot’schen Problems