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(1)

Streifen

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(2)

Starten und Landen

(3)

Starten und Landen. Durchstarten

(4)

(5)

(6)

Streifenmodell mit Rundkopfklammern

(7)

Sechsecke –> Fünfecke

(8)

Ganze Kugel 12 Fünfecke 20 Dreiecke

(9)

Modell aus 6 Streifen (für die 6 Großkreise)

6 Streifen zu 10 Einheiten (11 Löcher)

12 Fünfecke 20 Dreiecke

(10)

Papierstreifenmodell   des Dodekaeders

(11)

Modell mit Diagonalen

(12)

6 Streifen zu 10 Einheiten

(13)

Fünfeck: ^Diagonale_Seite = ¹⁶₁

10

= ⁵₃ ≈1.667

(14)

10 Streifen zu 6 Einheiten Fünfeck:

Gilt nur in einem Fünfeck dieser Größe  Auf der Kugel gibt es keine Ähnlichkeit

Diagonale

Seite = ¹⁶₁

10

= ⁵₃ ≈1.667

(15)

Diagonale

Seite = ¹⁶₁

10

= ⁵₃ ≈1.667

Diagonale

Seite = ¹⁺₂ ⁵ ≈1.618

Flach, goldener Schnitt Gewölbt

(16)

Nur aus Diagonalen:  

Pentagrammkugel, Lampenschirm

(17)

Nur aus Diagonalen:  

Pentagrammkugel, zweifarbige Pentagrammkugel

(18)

Sechsecke –> Fünfecke –> Vierecke

(19)

Was steckt im Würfel?

(20)

Was steckt im Würfel?

(21)

Carl Kemper, 1881-1957

Bildhauer und Architekt, Dornach Kemper-Stern (halbreguläres Dodekaeder)

(22)

Was steckt im Dodekaeder?

(23)

(24)

Sechsecke –> Fünfecke –> Vierecke 6 Vierecke 8 Dreiecke

(25)

6 Vierecke 8 Dreiecke

(26)

Papierstreifenmodell   des Würfels

(27)

Tetraeder

(28)

Würfel

(29)

Kubisch flächenzentriert:

Aluminium, Gold, Kupfer, Nickel, Platin und -Eisen γ

(30)

Pyramide

(31)

Pyramide

(32)

Dichteste Kugelpackung: Vermutung Kepler

Beweise:

Gauß, 1831, regulärer Fall 

Thomas Hales, 1998/2005 und 2014

(33)

Sechsecke –> Fünfecke –> Vierecke 

Diagonalen

(34)

Viereck: ^Diagonale_Seite = ¹⁴₁

6

= ₂³

Gilt nur in einem Viereck dieser Größe  Auf der Kugel gibt es keine Ähnlichkeit Sechsecke –> Fünfecke –> Vierecke 

Diagonalen

(35)

Sechsecke –> ... –> Dreiecke 4 Dreiecke 4 Dreiecke

(36)

4 Dreiecke 4 Dreiecke Sechsecke –> ... –> Dreiecke

(37)

4 Dreiecke 4 Dreiecke

Sechsecke –> ... –> Dreiecke

(38)

Stereografische   Projektion

(39)

(40)

Magische Kreise: 

Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 so verteilen,

dass auf jedem Kreis dieselbe Summe

Handout

(41)

1

6

Magische Kreise: 

(42)

1 6 5

2

Magische Kreise: 

(43)

1 6 5

2

3

4

(44)

1

6 5

2 3 4

(45)

Papierstreifenmodell   des Würfels

Handout: Streifen

(46)

Sechsecke –> ... –> Dreiecke 4 Dreiecke 4 Dreiecke

(47)

Sechsecke –> Fünfecke –> Vierecke 6 Vierecke 8 Dreiecke

(48)

(49)

Zahlen 1, ... ,12 so verteilen, dass ...

Kein Handout

(50)

(51)

Sechsecke –> Siebenecke –> ...

Hyperbolische Geometrie

(52)

kurze Diagonalen Sechsecke –> Siebenecke –> ...

(53)

lange Diagonalen

(54)

kurze Diagonalen lange Diagonalen

kurze Diagonale

Seite ≈ 1.764 lange Diagonale

Seite ≈ 2.166

(55)

Hyperbolische Geometrie

kurze Diagonale

Seite ≈1.802 lange Diagonale

Seite ≈ 2.247 Ebenes Siebeneck

Kombination Siebenecke und Dreiecke Sechsecke –> Siebenecke –> ...

kurze Diagonale

Seite ≈ 1.764 lange Diagonale

Seite ≈ 2.166

(56)

Sechsecke –> Siebenecke –> ... –> Zwölfeck

(57)

Danke

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