Hans Walser, [20120529a], [20191026] Pythagoras-Schwerpunkte Anregung: Fred Voß: Die Waage des Pythagoras 1 Worum es geht Die Pythagoras-Figur ist wohlbekannt.

Pythagoras-Schwerpunkte

Anregung: Fred Voß: Die Waage des Pythagoras 1 Worum es geht

Die Pythagoras-Figur ist wohlbekannt.

Abb. 1: Pythagoras-Figur

Wir berechnen Schwerpunkte dieser Figur und Teilen davon, und zwar Eckenschwer- punkte und Flächenschwerpunkte. Außer bei einem Dreieck sind nämlich Ecken- schwerpunkt und Flächenschwerpunkt in der Regel verschieden.

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen und der Disposition der Abbildung 2.

Abb. 2: Bezeichnungen und Disposition

Es ist dann:

A

(

−1, 0

)

^{, B}

( )

^{1, 0 , C}

(

^{cos 2}

^{( )}

^{α , sin 2}

^{( )}

^α

)

^{, h}c=sin 2

( )

α

Weiter seien S der Schwerpunkt des rechtwinkligen Dreieckes ABC und S_a,S_b,S_c die Schwerpunkte der angesetzten Quadrate. Mit einiger Rechnung finden wir:

S

(

¹₃cos 2

( )

α ^{, 1}₃^{sin 2}

( )

^α

)

S_a

( (

cos

( )

α ^+sin

( )

^α

)

^cos

( )

^{α , cos}

( ( )

^{α +sin}

( )

^α

)

^sin

( )

^α

)

S_b

(

−

(

cos

( )

α ^+sin

( )

^α

)

^sin

^{( )}

^{α , cos}

( ^{( )}

^{α +sin}

^{( )}

^α

)

^cos

^{( )}

^α

)

S_c

(

0,−1

)

Für die Außenecken der angesetzten Quadrate ergibt sich:

E_a

(

sin 2

( )

α ^{+1,−cos 2}

( )

^{α +1}

)

^{, F}a

(

cos 2

( )

α ^{+sin 2}

( )

^{α ,−cos 2}

( )

^{α +sin 2}

( )

^{α +1}

)

E_b

(

cos 2

( )

α ^{−sin 2}

( )

^{α , cos 2}

( )

^{α +sin 2}

( )

^{α +1}

)

^{, Fb}

(

^{−sin 2}

^{( )}

^{α −1, cos 2}

^{( )}

^{α +1}

)

E_c

(

−1,−2

)

^{, F}c

(

1,−2

)

2 Eckenschwerpunkte

Wir haben bereits S

(

¹₃cos 2α

( )

^,1₃^{sin 2α}

( ) )

als Schwerpunkt des Dreiecks ABC.

Für den Schwerpunkt der drei Außenecken E_a,E_b,E_c finden wir aber ebenfalls

1

3cos 2α

( )

^,1₃^{sin 2α}

( )

( )

, und dasselbe gilt für die drei Außenecken F_a,F_b,F_c. Schließ- lich haben auch die drei Punkte S_a,S_b,S_c diesen Schwerpunkt.

Die vier Dreiecke ABC, E_aE_bE_c, F_aF_bF_c und S_aS_bS_c haben alle denselben Schwer- punkt S.

Abb. 3: Gem einsam e Eckenschwerpunkte

Damit haben auch die neun Ecken der Pythagoras-Figur diesen Schwerpunkt S.

Wenn sich der Punkt C auf dem Thaleskreis bewegt, beschreibt der Punkt S einen dazu konzentrischen Kreis mit einem Drittelradius.

3 Flächenschwerpunkte

Das Dreieck ABC hat den Punkt S auch als Flächenschwerpunkt, da im Dreieck Ecken- schwerpunkt und Flächenschwerpunkt übereinstimmen.

Im weiteren verwenden wir folgende Bezeichnungen:

T sei der Flächenschwerpunkt der beiden Kathetenquadrate als Gesamtfigur.

U sei der Flächenschwerpunkt der drei Quadrate der Pythagorasfigur.

V schließlich sei der Flächenschwerpunkt der gesamten Pythagorasfigur, also Dreieck mit den drei Quadraten.

3.1 Flächenschwerpunkt der beiden Kathetenquadrate

Der gesuchte Punkt T teilt die Strecke S_aS_b im Verhältnis b²:a², wobei der dem Wert b² entsprechende Abschnitt bei S_a beginnt.

Nun teilt der Fußpunkt D der Höhe h_c die Hypotenuse AB im Verhältnis b² :a², wo- bei der dem Wert b² entsprechende Abschnitt bei A beginnt. Dies folgt aus den so genannten Kathetensätzen, die wir hier zur Seltenheit wieder einmal brauchen können.

Damit lässt sich der Punkt T gemäß Abbildung 4 konstruieren.

Abb. 4: Konstruktion des Flächenschwerpunktes der Kathetenquadrate

Rechnerisch finden wir:

T

(

−¹₄sin 4α

( )

^{, 1}₄^{cos 4α}

( )

^{+ 1}₂^{sin 2α}

( )

^{+ 3}₄

)

Damit können wir die Bahnkurve von T plotten, wenn C die obere Hälfte des Thales- kreises durchläuft, also für α ∈⎡⎣ ⎤⎦0, ^π₂ (Abb. 5).

Abb. 5: Bahnkurve des Flächenschwerpunktes der Kathetenquadrate Für α∈

[ ]

0,π durchläuft C den gesamten Thaleskreis. Im unteren Teil sind dann aller- dings die Kathetenquadrate aus Orientierungsgründen nach innen zu zeichnen. Für den Punkt T erhalten wir die Bahnkurve der Abbildung 6.

Abb. 6: Verlängerte Bahnkurve

Man kann nachrechnen, dass sich im Tripelpunkt die Kurven unter Winkeln von 90°

und 45° schneiden: Aus T

(

−¹₄sin 4α

( )

^,1₄^{cos 4α}

( )

⁺¹₂^{sin 2α}

( )

⁺₄³

)

ergibt sich die Vektordarstellung:

T!

( )

α ^{= −14sin 4}

( )

^α

1

4cos 4

( )

α ⁺¹₂^{sin 2}

( )

^{α +}₄³

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Für α₀ ∈

{

0, ^π₄, ^π₂

}

erhalten wir T^!

( )

α₀ ^=⎡0₁

⎣⎢ ⎤

⎦⎥, also den Tripelpunkt. Weiter ist:

d dα

T!

( )

α ^{= −cos 4}

( )

^α

−sin 4

( )

α ^{+cos 2}

( )

^α

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

Somit haben wir im Tripelpunkt die Tangentialvektoren:

d dα

T!

( )

0 ^{= −1} 1

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥, _d^d_α !

T

( )

^π₄ ^=⎡_⎣^⎢−1₀^⎤_⎦^⎥, d^dα

T!

( )

^π₂ ^=⎡_⎣^⎢−1₋₁^⎤_⎦^⎥

Daraus ergeben sich die Schnittwinkel von 90° und 45°.

3.2 Flächenschwerpunkt der drei Quadrate

Nun nehmen wir noch das Hypotenusenquadrat dazu, welches den Schwerpunkt S_c

(

0,−1

)

hat. Da das Hypotenusenquadrat dasselbe „Gewicht“ hat wie die beiden Ka- thetenquadrate zusammen (das ist ja die Aussage des Satzes von Pythagoras), können wir einfach den Mittelpunkt von T und S_c wählen. Für den Schwerpunkt U der drei Quadrate erhalten wir daher:

U

(

−¹₈sin 4α

( )

^{, 1}₈^{cos 4α}

( )

^{+ 1}₄^{sin 2α}

( )

^{− 1}₈

)

Für α ∈

[ ]

0,π erhalten wir die Bahnkurve der Abbildung 7.

Abb. 7: Bahnkurve des Flächenschwerpunktes der drei Quadrate

3.3 Flächenschwerpunkt der Pythagoras-Figur

Für den Flächenschwerpunkt V der Gesamtfigur müssen wir U und S mit den zugehöri- gen Flächen, also 2c² =8 und ¹₂ch_c=h_c =sin 2α

( )

gewichten. Das lässt sich auch konstruktiv leicht durchführen. Rechnerisch erhalten wir:

V −¹¹₆ ^{sin 4}( )^α

sin 2( )α ^{+16,16 11cos 4}( )^{α +24 sin 2}( )^{α −11}

sin 2( )α ⁺¹⁶

⎛⎝ ⎞

⎠ Die Abbildung 8 zeigt die Bahnkurve.

Abb. 8: Bahnkurve des Flächenschwerpunktes der Pythagoras-Figur Die ist geringfügig anders als die Kurve der Abbildung 7, hat aber keinen Tripelpunkt, sondern drei Doppelpunkte. Die Abbildung 9 zeigt einen Ausschnitt.

Abb. 9: Ausschnitt

Websites

Fred Voß: Die Waage des Pythagoras (abgerufen 26.10.2019) https://www.youtube.com/watch?v=cjKCnEpEEFs