Zeige, dass D(Ω)֒→Lp(Ω) und D(Ω)֒→E(Ω), jeweils mit stetigen Einbettungen

Distributionen, WS09/10 Bálint Farkas

3. Dezember 2009

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

4. Übung zu Distributionen

30. Beweise, dass L^p(Ω), C^k(Ω), E(Ω), D(Ω)alle Unterräume von L¹_loc(Ω)sind. Zeige, dass

D(Ω)֒→L^p(Ω)

und D(Ω)֒→E(Ω),

jeweils mit stetigen Einbettungen.

31. Beweise die folgenden Aussagen:

a) IstΩ⊆R^d offen und α∈N^d

0 so ist∂^α:E(Ω)→E(Ω)stetig.

b) ∂^α: C^∞_c (K)→C^∞_c (K)ist (linear und) stetig für jedesα∈N^d

0 und K⊆R^d kompakt.

c) IstΩ⊆R^d offen und α∈N^d

0 so ist∂^α:D(Ω)→D(Ω)stetig (und linear).

d) τx:E(R^d)→E(R^d)ist stetig, und ebenso die Spiegelung.

e) τx:D(R^d)→D(R^d) ist stetig, und ebenso die Spiegelung.

32. IstX ein lokalonvexer Raum undT :X →Y linear und stetig, so definiert für jedes lineare Funktional y^∗ : Y → C die Formel y^∗◦T ein stetiges lineares Funktional auf X.

Die Abbildung y^∗7→y^∗◦T ist linear (und heißt die Adjungierte von T, bezeichnet durch T^∗). Beweise diese Aussagen! Bestimme die Adjungierten der Operatoren in Aufgaben 31.c) und 31.e).

33. Beweise: Istf∈C¹(Ω), so gilt für jedesj = 1, . . . , ddie Gleichheit∂jT_f =T_∂f.

34. Sei T ∈ D^′(Ω). Beweise, dass für i, j = 1, . . . , d die Gleichheit ∂_j∂_iT = ∂_i∂_jT gilt (eine Tatsache die für klassischen Ableitungen nicht immer stimmt)!

35. (Leibniz-Formel)Seif ∈C^∞(Ω)und T ∈D^′(Ω). Zeige, dass fürj = 1, . . . , d

∂j(f T) =∂jf·T +f·∂jT gilt. Allgemeiner beweise, dass fürα∋N^d₀ gilt:

∂^α(f T) = X

β≤α

µα β

¶

∂^βf·∂^α−βT,

wobei¡α β

¢:=¡α₁ β₁

¢·¡α₂ β₂

¢· · ·¡αd

βd

¢, und wobei “β≤α” bedeutet: βj ≤αjfür allej = 1, . . . , d.

36.

a) Bestimmeid·δ^′

b) Beweise: id·pv–¹_x=T₁, wobei1=Konstante1Funktion.

c) Bestimmeid·µε.

d) Bestimme die Ableitung von TH, wobeiH(x) =die Heaviside-Funktion.

e) Bestimme diek-te Ableitung vonδ.

f) Sei f(x) = log|x| ·sign(x). Bestimme die Ableitung vonTf. g) Sei f(x) =|x|. Bestimme die Ableitung vonTf.

37. Beweise, dassδ^′, µε, pv–¹_x keine reguläre Distributionen sind!

Distributionen, WS09/10 Bálint Farkas

3. Dezember 2009

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

38. Betrachte T ∈ D^′(R), und sei id : R → R die Identität. Zeige, dass id·T = 0 impliziert, dass für ein λ∈C die GleichheitT =λ·δgilt.

Hinweise:

a) Sei ϕ∈D(R). Zeige, dassϕ(x) =ϕ(0) +xR1

0 ϕ^′(tx)dtgilt für alle x∈R.

b) Zeige, dass es gibt ein ψ ∈ D(R) mit ψ = 1 auf einer Umgebung von 0, so dass für jede Testfunktion ϕ die Gleichheit ϕ = ϕ(0)ψ+ id·η mit einer geeigneten Wahl von η∈D(R)gilt.

39. SeiA:R^d→R^d linear. DefiniereM :D(Ω)→D(Ω)durchM ϕ=ϕ◦A. Zeige, dass M stetig ist. Was istM^∗δ? Was ist∂j(τaM^∗δ)?

†40. SeiT ∈D(R)mitidⁿ·T = 0. Beweise, dassTis Linearkombination vonδ, . . . , δ⁽ⁿ⁻¹⁾.

41. Versuche es zu begründen warumδ·δ nicht (als Distribution) definiert werden kann!