Lineare Algebra 11. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik
M. Schneider 21.06.2012
Konstantin Pertschik, Daniel Körnlein
Gruppenübung
Aufgabe G40 (Rang)
Es seienAundBreellen×n-Matrizen. Zeigen Sie dass
rankAB≤rankB
gilt.
Aufgabe G41 (Rang von Matrizen und Lösungen von Gleichungssystemen) Gegeben seien die drei Matrizen
A:=
1 2 0 3
, B:=
1 2 3 5 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
undC:=
1 3 −1 0 2 −5
0 0 1
.
(a) Bestimmen Sie den Rang der MatrizenA,BundCund die Dimension des Kerns der zu diesen Matrizen gehörigen linearen AbbildungenϕA,ϕBundϕC.
(b) Es seiDeine reellem×n-Matrix undU:=kerϕD={~x∈Rn|D~x=~0}der Kern der zugehörigen linearen Abbildung.
Zeigen Sie dass für jeden Vektor~b∈Rm die Lösungsmenge des GleichungssystemsD~x=~bentweder leer ist oder die Gestalt~a+U mit einem~a∈Rnhat.
(c) Wir betrachten die linearen GleichungssystemeA~x=~a,B~x=~bundC~x=~c. Ein solches lineares Gleichungssystem ist unlösbar oder es hat genau eine Lösung oder die Lösungsmenge ist eine Gerade, oder eine Ebene, oder ein dreidimensionales Gebilde, . . .
Welche Fälle sind in obigen Gleichungssystemen jeweils möglich? Gib in den Fällen, die möglich sind, jeweils eine rechte Seite an, für die dieser Fall eintritt. Begründe in den übrigen Fällen, warum er jeweils nicht eintreten kann.
Aufgabe G42 (Matrizen und lineare Abbildungen) Betrachten Sie die Matrizen
A1=
1 1 0 3 0 1 2 0 1 0 2 3
, A2=
1 1 1 1 3 2 0 2 2 3 3 3
, A3=
1 2 3 4 0 2 0 4 1 0 3 0
und A4=
1 2 3 0 2 2 0 0 3
.
Sind die zugehörigen linearen Abbildungen injektiv, surjektiv bzw. bijektiv? Zeigen Sie ihre Behauptungen.
Hausübung
Aufgabe H32 (Bewegungen imR2) (5 Punkte)
Als Bewegung imR2werden Spiegelungen, Drehungen und beliebige Zusammensetzungen von Spiegelungen und Dre- hungen bezeichnet. Drehungen um den Koordinatenursprung inR2und Spiegelungen an einer Gerade durch den Koor- dinatenursprung sind lineare Abbildungen.
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(a) Betrachten Sie die Abbildung
ϕ:R2→R2, x1
x2
7→
−x2 x1
Geben Sie eine MatrixAan, sodassϕ=ϕAdie Multiplikation mitAist. Stellen Sie einige Vektoren ausR2und ihre Bilder unterϕgraphisch dar. Welche Bewegung imR2wird durch diese Abbildung beschrieben?
(b) Es seiα∈[0, 2π). Betrachten Sie die Abbildung ϕα:R2→R2,
x1 x2
7→
x1cosα−x2sinα x1sinα+x2cosα
Geben Sie eine MatrixAαan, sodassϕα=ϕAαdie Multiplikation mitAαist. Stellen Sie einige Vektoren ausR2und ihre Bilder unterϕgraphisch dar. Welche Bewegung imR2wird durch diese Abbildung beschrieben?
(c) Es seiχ1die Abbildung, welche die Spiegelung an derx1-Achse beschreibt. Geben Sie eine explizite Abbildungs- vorschrift fürχ1an (in der Form, wie sie in den Aufgabenteilen (a) und (b) gegeben ist). Bestimmen Sie weiterhin eine MatrixB1mitχ1=ϕB1.
(d) Es seiχ2die Abbildung, welche die Spiegelung an Geradex1=x2beschreibt. Geben Sie eine explizite Abbildungs- vorschrift fürχ2an. Bestimmen Sie weiterhin eine MatrixB2mitχ2=ϕB2.
(e) Berechenen Sieϕπ
2◦χ1auf zwei Arten:
(1) Setzen Sie die expliziten Abbildungsvorschriften ineinander ein
(2) Multiplizieren Sie die zu den Abbildungen gehörigen Matrizen in der richtigen Reihenfolge. Die zu der entste- henden Matrix gehörige Abbildung ist dann die gesuchte Zusammensetzung.
Ergeben beide Wege wirklich dasselbe Ergebnis? Welche der Abbildungen aus den vorherigen Aufgaben ist diese Zusammensetzung?
Aufgabe H33 (Duale Räume)
Es seiV ein endlichdimensionalerK-Vektorraum undW⊂V ein Untervektorraum. Außerdem sei q:V →V/W, v~7→v~+W
die natürliche Abbildung in den Quotientenraum. Wir betrachten die dualen Räume
V∗=Hom(V,K)und(V/W)∗=Hom(V/W,K).
(Der duale Raum zu einem Vektorraum ist immer die Menge aller linearen Abbildungen von dem Vektorraum nachK. Dies ist wieder ein Vektorraum.) Gegeben sei weiterhin die Abbildung
q∗:(V/W)∗→V∗, l7→l◦q.
Man beachte: in dieser Schreibweise istleine Abbildung vonV/WnachK. (a) Zeigen Sie, dass die Abbildungq∗wohldefiniert ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildungq∗eineK-lineare Abbildung ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Abbildungq∗injektiv ist.
(d) Aus den bisherigen Aufgabenteilen folgt, dassimq∗=q∗((V/W)∗)ein Untervektorraum vonV∗ ist. D.h. der Vek- torraumV∗/q∗((V/W)∗)ist definiert.
Im Spezialfall vonV=Kngilt
dimV∗=dimV.
Diese Aussage ist für alle endlichdimensionalen Vektorräume richtig.
Wie groß ist die Dimension vonV∗/q∗((V/W)∗)?
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