Lineare Algebra 2 7. Übungsblatt

Lineare Algebra 2 7. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Prof. Dr. A. Kollross 25.–27. Mai 2010

K. Schwieger, T. Felber

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Minitest)

(a) Welche der folgenden Matrizen sind orthogonale Matrizen?

(1),

p2 2

1 −1

1 1

,

p2 2

−1 1

1 −1

,

1 −5

5 1

,

‚ ₅

13 12

−12 13 13

5 13

Π,







1 0

0 1

0 0





,

p2 2











1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 −1 0

1 0 0 −1











(b) Bestimmen Sie alle reellen, oberenn×n-Dreiecksmatrizen, die orthogonal sind.

Aufgabe G2

SeienV,Wzwei euklidische Vektorräume mit Skalarprodukt〈 ·,· 〉Vbzw.〈 ·,· 〉W. Zeigen Sie, dass auf dem direkten Produkt V×W ein Skalarprodukt gegeben ist durch

(^v1,w₁),(^v2,w₂):=_v

1,v₂

V+w₁,w₂

W.

Aufgabe G3

Betrachten SieR⁵mit dem Standardskalarprodukt. Bestimmen Sie einen Basis des OrthogonalraumesU^⊥zu dem linearen TeilraumU, der von den folgenden Vektoren aufgespannt wird:

(1, 2, 3, 0, 0)^T, (0, 0, 0, 0, 1)^T, (1, 0, 2, 0, 1)^T, (0, 4, 2, 0, 0)^T. Lösung: Bezeichne mitv₁, . . . ,v₄die Vektoren in der Aufgabenstellung. Dann gilt

U^⊥={^v1, . . . ,v₄}^⊥={^v1}^⊥∩ · · · ∩ {^v4}^⊥. Wir müssen also das GleichungsssystemAx=0mit der Matrix

A=









 v₁^T v₂^T v₃^T v₄^T











=











1 2 3 0 0

0 0 0 0 1

1 0 2 0 1

0 4 1 0 0











lösen. Die Lösungsmenge U^⊥ besteht aus allen Linearkombinationen der Vektoren x₁ := (4, 1,−2, 0, 0)^T und x₂ :=

(0, 0, 0, 1, 0)^T. Aufgabe G4

Betrachten SieRⁿmit dem Standardskalarprodukt. Zeigen Sie:

(a) Jedes Orthonormalsystem inRⁿlässt sich zu einer Orthonormalbasis vonRⁿergänzen.

1

(b) SeiU⊆Rⁿein linearer Teilraum undπ:V →V die orthogonale Projektion aufU. Dann gibt es eine Orthonormal- basisBvonRⁿ, so dass die Matrix vonπbzgl.Bdie folgende Gestalt hat:

[π]^B_B=





















 1

...

1 0

...

0





















 .

(c) Zu je zwei Einheitsvektorenv,w∈Rⁿgibt es eine orthogonale MatrixQ∈O_n(R)mitQv =w.¹ Hinweis: Betrachten Sie zuerst den Spezialfallv =e₁.

Lösung:

(a) Jedes Orthonormalsystem besteht aus linear unabhängigen Vektoren. Diese lassen sich zu einer Basis ergänzen.

Mittels des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren lässt sich diese Basis dann in eine Orthonormal- basis überführen. Da beim Gram-Schmidt-Verfahren bereits orthogonale Vektoren unverändert bleiben, ist die so erhaltene Orthonormalbasis eine Erweiterung des Orthonormalsystems.

(b) Wir wählen eine eine ONBv₁, . . . ,v_kvonUund eine ONBw₁, . . . ,w_{`</sub>vonU<sup>⊥</sup>. WegenV =U⊕U<sup>⊥</sup>und weil Vektoren ausU undU<sup>⊥</sup>stets orthogonal zueinander stehen, ist dannB:= (v<sub>1</sub>, . . . ,v<sub>k</sub>,w<sub>1</sub>, . . . ,w<sub>`})eine ONB vonV. Für die orthogonale ProjektionπaufU giltπ(v_i) =v_i undπ(w_j) =0für jedesi,j. Somit hat die Matrix vonπbzgl. der BasisBdie gewünschte Gestalt.

(c) Seiw∈Rⁿ. Dann können wirwzu einer ONBw₁:=w,w₂, . . . ,w_nergänzen. Die MatrixQ:= (w₁|. . .|w_n)ist dann orthogonal mitQe₁= w. Wir haben also gezeigt, dass es für jeden Vektorw ∈Rⁿ eine orthogonale Matrix mit Qe₁=wgibt.

Seien nunv,w∈Rⁿ. Dann gibt es nach dem Gezeigten orthogonale MatrizenQ_v,Qw ∈O_n(R)mitQ_ve₁=^v und Q_we₁=w. Die MatrixQ:=Q_wQ⁻¹_v ist dann auch orthogonal mit

Qv=Q_wQ⁻¹_v v=Q_we₁=w.

Hausübung

Aufgabe H20

Es seiV ein euklidischer Raumϕ:V →V ein Endomorphismus. Zeigen Sie: Istϕlängentreu, so istϕwinkeltreu, d.h.

für je zwei Vektoren0 6= ^v,w ∈ V ist der Winkel zwischen diesen Vektoren gleich dem zwischen ihren Bildvektoren ϕ(^v),ϕ(w). Gilt auch die Umkehrung dieser Aussage?

Lösung: Aus der Polarisationsformel folgt, dass jede längenerhaltende Abbildung auch das Skalarprodukt und damit die Winkel erhällt. Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Z.B. ist jedes Vielfache der Identitätϕ=λid_V auf einem euklidischen RaumV zwar winkeltreu, jedoch für|λ| 6=1nicht längentreu.

Aufgabe H21 (Spiegelung an einer Hyperebene)

SeiV ein endlich-dimensionaler, euklidischer Vektorraum undv∈V ein Einheitsvektor. Betrachten Sie die lineare Abbil- dung

σv:V →V, x7→x−2〈x,v〉^v.

Zeigen Sie:

(a) Die Abbildungσv ist eine orthogonale Abbildung.

(b) Der vonv aufgespannte TeilraumR^v ist der Eigenraum vonσv zum Eigenwert−1und sein Orthogonalraum der Eigenraum zum Eigenwert1.

Seien nunv,w∈V zwei Einheitsvektoren. BezeichneU den vonv undwaufgespannten linearen Teilraum. Betrachten Sie die linearen Abbildungenσv undσw. Zeigen Sie:

(c) Der TeilraumU istσv-invariant undσw-invariant, d.h. es giltσv(U)⊆Uundσw(U)⊆U.

1 D.h. die GruppeO_n(R)wirkt transitiv auf der EinheitssphäreS:={v∈Rⁿ:kvk=1}.

2

(d) Für allex∈U^⊥giltσv(x) =x=σw(x).

(e) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

i. Die Vektorenv undwsind linear abhängig oder orthogonal zueinander.

ii. Die Abbildungenσv undσwkommutieren, d.h.σv◦σw=σw◦σv.

Lösung:

(a) Die Abbildung ist bijektiv mitσv◦σv=id_V (nachrechnen!). Ausserdem ist sie isometrisch, denn für allex₁,x₂∈V gilt

σv(x₁,σv(x₂)=x₁−2x₁,v

v,x₂−2x₂,v v

= x₁,x₂

−2 x₁,v

x₂,v

−2 x₁,v

v,x₂ +4

x₁,v x₂,v

〈^v,v〉

=x₁,x₂ .

(b) Es giltσv(^v) =^v−2〈^v,v〉^v =−^v, d.h.U =R^v ist kleiner gleich dem Eigenraum zum Eigenwert−1. Für jeden Vektor x∈U^⊥giltσv(x) =x−2〈x,v〉^v =x, d.h.U^⊥ist kleiner gleich dem Eigenraum zum Eigenwert1. Wegen V =U⊕U^⊥müssenU undU^⊥mit dem entspr. Eigenräumen übereinstimmen.

(c) Es genügt die Behauptung fürσv zu zeigen. Fürσwergibt sich die Behauptung durch Vertauschen der Rollen von v undw. Weiter genügt esσv(^v)∈U undσv(w)∈U zu zeigen, dennσv ist linear und jeder andere Vektor inU ist eine Linearkombination vonv undw.

Für den Vektorv giltσv(v) =−^v∈U (s.o.), für den Vektorwgiltσv(w) =w−2〈w,v〉^v ∈U.

(d) Auch hier genügt es die Aussage fürσv zu zeigen: Sei x ∈U^⊥, also insbesondere〈x,v〉=0=〈x,w〉. Dann gilt σv(x) =x− 〈x,v〉^v =x.

(e) Seien zuerstv,wlinear abhängig oder orthogonal zueinander. Zum einen lässt sich direkt zeigen, dass die Abbil- dungen vertauschen. Man kann die Behauptung jedoch auch aus bereits gezeigtem Herleiten: WegenV =U⊕U^⊥ genügt es die Gleichungσv◦σw =σw◦σv aufU und aufU^⊥einzeln zu zeigen. AufU^⊥haben wir direkt zuvor gezeigt, dassσv undσw beide die Identität sind, insbesondere also vertauschen. AufU müssen wir die Gleichheit auf den zwei Vektorenv,wnachweisen.

Sindv und wlinear abhängig, so haben wir zuvor gezeigt, dassU fürσv,σw der Eigenraum zum Eigenwert−1 ist. Die Abbildungen sind beide also ein Vielfaches der Identität auf diesem Teilraum. Insbesondere vertauschen sie.

Stehenv undworthogonal zueinander, so liegt nach (b) der Vektorwim Fixraum vonσv (und umgekehrt für den v undσw), d.h. es gilt

σv σw(w)=σv(−w) =−w=σv(−w) =σw σv(w)

und analog für den Vektorv. Zusammengefasst haben wir damit die erste Implikation gezeigt.

Wir nehmen nun an, die Abbildungenσv,σwkommutieren. Für allex∈V gilt

(σv◦σw)(x) =x−2〈x,w〉w−2〈x,v〉^v+4〈x,w〉〈w,v〉^v, (σw◦σv)(x) =x−2〈x,v〉^v−2〈x,w〉w+4〈x,v〉〈^v,w〉w.

Speziell fürx=^v folgt dann〈^v,w〉w=〈^v,w〉^2v. Die Vektorenv,wsind also entweder orthogonal, d.h.〈^v,w〉= 0, oder linear abhängig.

Aufgabe H22

Sei V ein euklidischer Vektorraum mit einer abzählbar unendlichen Basis(bn)_n∈N. Zeigen Sie, dass es eine abzählbar unendliche Orthonormalbasis vonV gibt, d.h. es gibt eine Basis(v_n)_n∈NvonV mit¬

v_i,v_j¶

=δ_i,jfür allei,j∈N. Lösung: Wir wenden das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf die Basis(b_n)nan und erhalten induktiv Vektoren

w_n:=b_n−

n−1X

k=1

b_n,w_k w_k,w_kw_k

Nach dem für das Gram-Schmidt-Verfahren Gezeigtem sind die Vektorenv₁, . . . ,v_nmitv_k:=w_k/ w_k

für jedesn∈N eine Orthonormalbasis des von den Vektoren b₁, . . . ,b_n aufgespannten linearen Teilraums. Die Familie aller Vektoren (v_n)_n∈Nist somit ein System normierter, orthogonales Vektoren, die den gleichen Teilraum aufspannen, wie die Vektoren (b_n)_n∈N, also ganzV. D.h. die Vektoren(^vn)_n∈Nbilden eine Orthonormalbasis vonV.

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