Lineare Algebra I 11. Übungsblatt

Lineare Algebra I 11. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2010/2011

Prof. Dr. Kollross 21. Januar 2011

Dr. Le Roux

Dipl.-Math. Susanne Kürsten

Gruppenübung

Aufgabe G1

Bestimmen Sie den Rang der Matrix

A=







2 0 3 5

1 3 −1 2

3 3 2 8





.

IstAinvertierbar?

Aufgabe G2

SeiA∈R^n×m. Zeigen Sie, dassr ank(A)≤min{n,m}gilt.

Aufgabe G3

SeiA= (a_i,j)_0≤i≤m,0≤j≤neine Matrix ausMm,n. Die transponierte Matrix vonAistA^T= (a_j,i)_0≤i≤m,0≤j≤n. (a) Zeigen Sie, dassr ank(A) =r ank(A^T)gilt.

(b) Zeigen Sie, dass(AB)^T=B^TA^Tgilt.

Aufgabe G4

(a) SeienU,V,W drei endlichdimensional Vektorräume und seienφ,ψlineare Abbildungen mitU →^ψ V →^φ W. Zeigen Sie, dass

rank(φ◦ψ) = rank(ψ)−dim(Kerφ∩imψ).

(b) Zeigen Sie, dassr ank(A) =r ank(A^TA)für alle reellen MatrizenAgilt.

Hausübung

Aufgabe H1

SeienKein Körper undA∈ Mm,n(K).

Zeigen Sie, dassrankA=1 ⇐⇒ A=x·y^T wobeix∈K^m\{0}und y∈Kⁿ\{0}sind zwei Vektoren.

Aufgabe H2

SeienKein Körper undA∈M_m,n(K)undB∈ Mn,k(K). Zeigen Sie, dass (a) rank(AB)≤min{rankA, rankB}.

(b) rank(AB)≥rankA+rankB−n.

Aufgabe H3

(a) Geben Sie MatrizenA,B∈ M3(R)an mitr ank(A) =r ank(B) =2undr ank(AB) =1 (b) Gibt esA,B∈ M4(R)mitr ank(A) =r ank(B) =3undr ank(AB) =1?

1