Zeigen Sie, dass es f¨ur jedes LGS2×2 P·x=y genau eine L¨osung gibt, n¨amlich x= ad−bc1 h d −b −c a i ·y

J. Wengenroth SS 2009 14.05.2009

Elemente der Analysis II Ubungsblatt 3¨

U 11¨

Seif :Rⁿ→ R^m eine Abbildung mit f(x+y) =f(x) +f(y) f¨ur allex, y ∈Rⁿ. Dann gilt f(ax) =af(x) f¨ur alle rationalen Zahlen a= ^p_q.

U 12¨

Finden Sie alle L¨osungen des LGS4×3 P·x=y

f¨urP =

" 1 1 −1

−1 0 1

0 1 2

1 −1 1

#

und y=

" 0 02 2

# .

U 13¨

Seien P ∈ R^m×n und y ∈ R^m, so dass das LGSm×n P ·x =y genau eine L¨osung besitzt.

Zeigen Sie, dass es f¨ur jedes z∈R^m h¨ochstens eine L¨osung des LGSm×nP ·x=z gibt.

U 14¨

SeiP =h a b c d

i

∈R^2×2 mitad6=bc. Zeigen Sie, dass es f¨ur jedes LGS2×2 P·x=y genau eine L¨osung gibt, n¨amlich x= _ad−bc¹ h

d −b

−c a i

·y.

U 15¨

SeiP ∈R^m×neine Matrix mit den Zeilenp¹, p², . . . , p^m. Wir definierenN(P) =

sm

P

j=1

kp^jk². Zeigen Sie

(a) N(P+Q)≤N(P) +N(Q) (wobei M+Qkomponentenweise erkl¨art ist).

(b) kP·xk ≤N(P)kxkf¨ur alle x∈Rⁿ (hier hilft die Cauchy-Schwarz-Ungleichung).