2.3 Basis und Dimension

2.1 Grundlegende Definitionen

Definition 2.1. Es sei K =R oder K =C. Ein K-Vektorraum ist eine Menge V mit einer Vektoraddition ⊕:V ×V →V, einer skalaren Multiplikation :K×V →V und einem Nullvektor 0∈V, so dass die folgenden Rechenregeln gelten:

V1 (u⊕v)⊕w=u⊕(v⊕w) (Assoziativit¨at)

V2 u⊕v =v ⊕u (Kommutativit¨at)

V3 v⊕0=v (Neutrales Element)

V4 ∀v ∈V ∃v⁰ ∈V mit v ⊕v⁰ =0 (inverse Elementev⁰ =−v) V5 (λ+µ)v =λv⊕µv (Distributivgesetz I) V6 λ(v⊕w) =λv⊕λw (Distributivgesetz II)

V7 (λ·µ)v =λ(µv)

V8 1v =v

Beispiel 2.2.

2 Vektorraum, Basis und Dimension

Satz 2.3. (i) In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor.

(ii) F¨ur jeden Vektor v ∈V ist 0v =0.

(iii) F¨ur jeden Vektor v ∈V ist (−1)v =−v.

(iv) Zu jedem Element v des Vektorraums gibt es genau ein inverses Element v⁰ =−v.

Beweis.

Definition 2.4. Eine TeilmengeU ⊂V eines VektorraumsV, die selbst ein Vektorraum ist, heißt Untervektorraum von V.

Beispiel 2.5.

Bemerkung 2.6. (i) Anstatt ⊕ und schreibt man meistens + und ·. Die Unter- scheidung zu Addition und Multiplikation in K ergibt sich dann aus dem Zusam- menhang.

(ii) Achtung: Vektoren kann man im Allgemeinen nicht multiplizieren und dividieren!

2.2 Lineare H¨ ulle und Erzeugendensystem

Definition 2.7. Es sei V ein Vektorraum, r ∈N, und f¨uri= 1,2, . . . , r seien Vektoren v_i ∈V und Zahlen λ_i ∈K gegeben. Die endliche Summe

r

X

i=1

λ_iv_i =λ₁v₁+λ₂v₂+. . . λ_rv_r heißt Linearkombination der Vektoren v_i.

Die Menge

L({v₁, v₂, . . . , v_r}) = ( _n

X

i=1

λ_iv_i

λ_i ∈K )

heißt lineare H¨ulle von {v1, v2, . . . , vr}. F¨ur eine (evtl. unendlich große) TeilmengeM ⊂ V ist die Lineare H¨ulle L(M) die Menge aller endlichen Linearkombinationen aus Vek- toren in M.

Beispiel 2.8.

Satz 2.9. (i) Eine Teilmenge U ⊂ V ist ein Untervektorraum von V genau dann, wenn

U1 U 6=∅,

U2 f¨ur alle u, v ∈U auch deren Summe in U liegt, u+v ∈U und

U3 wenn sie zu jedem v ∈U auch beliebige Vielfache λv (λ∈K) enth¨alt.

(ii) F¨ur jede Teilmenge M ⊂V ist L(M) ein Untervektorraum vonV.

2 Vektorraum, Basis und Dimension Beweis.

Definition 2.10. Eine Teilmenge U ⊂V heißt Erzeugendensystem von V, wenn L(U) =V.

Beispiel 2.11.

2.3 Basis und Dimension

Definition 2.12. Eine Menge B ⊂ V heißt linear unabh¨angig wenn f¨ur jede Linear- kombination von Vektoren b₁, b₂, . . . , b_r aus B gilt: Ist

λ₁b₁+λ₂b₂+. . . λ_rb_r = 0,

so m¨ussen alle λ₁ = λ₂ = · · · = λ_r = 0 Null sein. ¨Aquivalent dazu darf kein Vektor in B die Linearkombination der restlichen Vektoren sein. Eine Menge von Vektoren heißt linear abh¨angig, wenn sie nicht linear unabh¨angig ist.

Beispiel 2.13.

Definition 2.14. Eine MengeB ⊂V heißtBasis von V wennB linear unabh¨angig und ein Erzeugendensystem von V ist.

Beispiel 2.15.

Satz 2.16. Ist B = (b₁, b₂, . . . , b_n) eine geordnete Basis von V, so gibt es f¨ur jeden Vektor v ∈V genau einen Tupel (λ₁, λ₂, . . . , λ_n)∈Kⁿ von Zahlen in K, so dass

v =λ₁b₁+λ₂b₂+. . . λ_nv_n.

Die Zahlen λ_i heißen Koordinaten von v in der BasisB und man schreibt v_B = (λ₁, λ₂, . . . , λ_n).

Beispiel 2.17.

Satz 2.18. Es sei B ={b₁, b₂, . . . , b_n} eine Basis eines Vektorraums V.

(i) Man kann ein Basiselement b_j ∈B austauschen durch eine Linearkombination c=λ1b1+λ2b2+· · ·+λnbn,

wobei λ_j 6= 0 sein muss. Die Menge B ={b₁, b₂, . . . , bj−1, c, b_j+1, . . . , b_n} ist dann wieder eine Basis von V.

(ii) Ist C = {c₁, c₂, . . . , c_m} eine weitere Basis von V, so gilt n = m (die Anzahl der Basiselemente ist immer die gleiche).

2 Vektorraum, Basis und Dimension Beispiel 2.19.

Definition 2.20. FallsV eine endliche Basis besitzt, so ist die Zahlnan Basiselementen aus Satz 2.18(ii) die Dimension von V. Ansonsten ist die Dimension von V unendlich.

Man schreibt

dim(V) = n bzw. dim(V) =∞.

Beispiel 2.21.