a) Zeigen Sie, dass U :={A∈V :A=AT} ein Unterraum vonV ist und bestimmen Sie eine Basis sowie die Dimension vonU

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2010/2011 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra 1¨ Blatt 10

Aufgabe 10.1. (4 Punkte)

Sei K ein K¨orper, n ∈ N⁺ und V = K^n×n. Zu einer Matrix A = (aⁱ_j) ∈ V sei A^T = (˜aⁱ_j) ∈ V die Transponierte der MatrixA, deren Eintr¨age durch ˜aⁱ_j:=a^j_i f¨uri, j∈N, 1≤i, j≤ngegeben sind.

a) Zeigen Sie, dass

U :={A∈V :A=A^T}

ein Unterraum vonV ist und bestimmen Sie eine Basis sowie die Dimension vonU. Wir bezeichnen die Elemente vonU auch alssymmetrische Matrizen und schreiben Sym(n, K) :=U.

b) Mit charKbezeichnen wir die Charakteristik vonK. Sei ab jetzt charK�= 2. Zeigen Sie, dass W :={A∈V :A=−A^T}

ein Unterraum vonV ist und bestimmen Sie eine Basis sowie die Dimension vonW. Wir bezeichnen die Elemente vonW auch alsantisymmetrische Matrizen und schreiben Alt(n, K) :=W.

c) Zeigen Sie nun, dassV =U⊕W gilt.

d) Markieren Sie oben alle Stellen, an denen Sie charK�= 2 verwendet haben.

Aufgabe 10.2. (4 Punkte)

SeiK ein K¨orper,n∈N⁺ undV =K^n×n. SeiA∈V.

a) Geben Sie eine explizite Zerlegung von A in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil an, d. h. geben Sie eine symmetrische Matrix As ∈ V und eine antisymmetrische Matrix Aa ∈ V mit A=As+Aa an. Ist diese Zerlegung eindeutig?

b) Geben Sie eine explizite Zerlegung vonAin einen spurfreien Anteil und einen Anteil mit derselben Spur wieAan, d. h. geben Sie zwei MatrizenB, C ∈V mit tr(B) = 0, tr(C) = tr(A) undA=B+C an. Ist diese Zerlegung eindeutig?

Aufgabe 10.3. (4 Punkte)

SeiK ein K¨orper,n∈N⁺ undV =K^n×n.

a) Zeigen Sie, dass GL(n, K) :={A∈V : Aist regul¨ar} eine Gruppe bez¨uglich der Matrix-Multiplikation ist.

b) Zeigen Sie, dassO(n, K) :={A∈GL(n, K) :A⁻¹=A^T}eine Untergruppe vonGL(n, K) ist. F¨urK=R bezeichnet man diese Gruppe als Gruppe derorthogonalen Matrizen.

c) Sei nun K =C. F¨ur eine MatrixA = (aⁱ_j)∈C^n×n sei die Matrix ¯Adurch ¯A=� aⁱ_j�

∈ C^n×n definiert, wobei ¯z die zuz∈Ckonjugierte Zahl bezeichnet. Zeigen Sie, dass U(n) :={A∈GL(n,C) :A⁻¹= ¯A^T} eine Untergruppe vonGL(n,C) ist. Diese Gruppe bezeichnet man als Gruppe derunit¨aren Matrizen.

Aufgabe 10.4. (4 Punkte)

Sei K ein K¨orper, n ∈ N⁺, V = K^n×n und A ∈ V \ {0}. Zeigen Sie, dass die folgenden Bedingungen

¨aquivalent sind:

(i) rangA < n.

(ii) Aist ein Links-Nullteiler inV, d. h. es gibt einB ∈V mitB�= 0 undA·B = 0.

(iii) Aist ein Rechts-Nullteiler inV, d. h. es gibt einB∈V mitB�= 0 undB·A= 0.

Abgabe:Bis Dienstag, 11.01.2010, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.