Dimension n des Integrationsbereiches B ≡ Dimension des Definitionsbereiches D.

9. Die Integralrechnung II

9.1. Mehrdimensionale Bereichsintegrale

Dimension n des Integrationsbereiches B ≡ Dimension des Definitionsbereiches D.

(i) n = 1: Einfachintegrale (Int-B = Gerade x

; dB = dx

)

∫

∫ ⁼

=

End1

Anf 1 1

x

x 1 1

1 x

B

) x ( f . dx )

x ( f . dB

Geom. Bedeutung: Maßzahl der Fläche F zwischen der Strecke (x

- x

), der Kurve f(x

) und den Achsen senkrecht auf x

.

(ii) n = 2: Doppelintegrale (Int-B = Fläche F; dB = dF = dx

.dx

)

∫

∫

∫∫ ⁼

=

End1

Anf 1 End2

Anf 2

x

x 1 1 2

x

x 2

F B

2

1

, x ) dx . dx . f ( x , x ) x

( f .

dB

Geom. Bedeutung: (a) Volumenmaßzahl V des Zylinders mit der Basisfläche F, der Deckfläche f(x

,x

) und der Achse senkrecht auf F.

(b) Für f(x

,x

) ≡ 1: Maßzahl der Fläche F.

(iii) n = 3: Dreifachintegrale (Int-B = Volumen V; dB = dV = dx

.dx

.dx

)

∫

∫

∫

∫∫∫ ⁼

=

End1

1Anf End2

2Anf End3

3Anf

x

x 1 1 2 3

x

x 2

x

x 3

V B

3 2

1

, x , x ) dx . dx . dx . f ( x , x , x ) x

( f . dB

Geom. Bedeutung: (a) Im Allgemeinen keine;

(b) Für f(x

,x

,x

) ≡ 1: Maßzahl des Volumens V.

(iv) n > 3: Mehrfachintegrale (Int-B = n-dimen. Gebilde V

; dB = dV

= dx

. ... . dx

)

(5)

.) x ,..., x ( f . dx ...

. dx ) x ,..., x ( f.

dB ...

n 1

x x

n 1 1 n

B Int

n

1

∫ ∫

∫ ∫ ⁼

−

Geom. Bedeutung: (a) Prinzipiell keine möglich, da menschliche Vorstellung auf 3 Dimen- sionen beschränkt.

(b) Wir können aber "pseudo-geometrische" Bedeutungen für f(x

,...,x

)

≡ 1 als Maßzahl des n-dimensionalen Volumens von B geben. Dies geschieht jedoch rein formal, ohne jegliche Vorstellungsmöglichkeit analog zur formalen Ausweitung der Geometrie in den n- dimensionalen Raum R

, wie wir es bei den Vektoren kennen gelernt haben.

Beispiele: ______________________________________________________________

a) Integral der Funktion f(x,y) = (1 + 2xy) über den Bereich, der durch die Funktionen y= x und y= x² begrenzt wird: Bei der ersten Integration sind die Grenzen durch die Kurvenglei- chungen gegeben. Bei der zweiten sind die Grenzen explizite Zahlen.

---

b) Integral der Funktion f(x,y) = xy² über den ersten Quadranten eines Kreises mit Radius r

um den Ursprung (x² + y² = r²): Bei der ersten Integration sind die Grenzen durch die Kur-

vengleichung gegeben. Bei der zweiten sind die Grenzen explizite Zahlen.

---

c) Fläche des Bereiches, der durch die Funktionen y= x² und y= 2 + x begrenzt wird:

_________________________________________________________________

9.2. Anwendungen von Bereichsintegralen

9.2-1 Masse m eines Körpers:

m = ∫∫∫ ρ . dV = ∫∫∫ ^{ρ . dx}

^{. dx}

^{. dx}

9.2-2 Schwerpunkt S eines Körpers:

Koordinate x

= ∫∫∫ x

. ρ . dV ^{/m =} ∫∫∫ ^x

^{. ρ . dx}

^{. dx}

^{. dx}

^/m.

Beispiel: ______________________________________________________________

Fortführung des Beispiels c): Berechnung des Schwerpunkts des Bereiches, der durch die Funktionen y= x² und y= 2 + x begrenzt wird.

Es war:

________________________________________________________________________

9.2- 3 Trägheitsmoment (Drehmasse) Θ: Maß für die Trägheit eines rotierenden Körpers.

a) Bei diskreter Masseverteilung: Θ = Σ (m.r²) b) Bei kontinuierlicher Masseverteilung:

Θ = ∫ ^{r ². dm ;} = ∫∫∫ ^{r ². ρ . dV =} ∫∫∫ ^{r ². ρ . dx}

^{. dx}

^{. dx}

Für Θ

(bzgl. x

-Achse): r² = x

² + x

² Für Θ

(bzgl. x

-Achse): r² = x

² + x

² Für Θ

(bzgl. x

-Achse): r² = x

² + x

²

Bemerkung: Moment heißt das Produkt zweier physikalischer Größen, von denen eine die Dimension einer Länge hat:

Kraftmoment (Drehmoment): K x l.

Impulsmoment (Drehimpuls): p x l.

Moment der Geschw.: v x l.

Elektrisches Moment (Dipolm.): Q . l. (Q el. Ladung).

Magnetisches Moment (Dipolm.): p . l. (p magn. Polstärke).

9.3. Variablen-Transformation

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫∫∫ ^{= = ∂ ∂}

−B z y x w v u

Int

).

w , v , u ( g .

| ) w , v , u ( / ) z , y , x (

| . du . dv . dw )

z , y , x ( f.

dx . dy . dz ) z , y , x ( f . dB

wobei die Funktion g(u,v,w) := f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)),

und die Jacobi-Determinante D

= nichts anderes

als eine konkrete Funktion in den neuen Variablen ist: D

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

∂

∂

w v u

w v u

w v u

z z z

y y y

x x x det

| ) w , v , u ( / ) z , y , x (

|

J

= D

(u,v,w).

9.3-1 Übergang von kartesischen Koordinaten (x, y) in ebene Polarkoordinaten (r, ϑ).

(i) u = r, v = ϑ;

(ii) x = r. cos ϑ; y = r. sin ϑ;

(iii) Jacobi-Determinante D

= |∂(x,y)/ ∂(r, ϑ)| = r;

(iv) Bereichselement dB ist hier das Flächenelement dF = dx. dy = dϑ. dr. r.

Beispiele: ______________________________________________________________

Gesucht ist die Fläche eines Kreises mit dem Radius a:

a) In kartesischen Koordinaten: x² + y² = a² => y = (a² - x²)

x

= -a; x

= a; y

= -(a² - x²)

; y

= (a² - x²)

.

b) In ebenen Polarkoordinaten: r

= 0; r

= a; ϑ

= 0; ϑ

= 2π.

_____________________________________________________________________

9.3-2 Übergang von kartesischen Koordinaten (x, y, z) in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) (sphärische Polarkoordinaten).

Die Kugelkoordinaten bestehen aus den ebenen Polarkoordinaten plus einem zweiten Win- kel, ϕ, der die Auslenkung aus der xy-Ebene - also die Höhe des Punktes C markiert. Daher ist entweder (ϕ = -π/2...π/2) oder (ϕ = 0...π), je nachdem wie wir zählen wollen.

(i) u = r; v = ϑ; w = ϕ;

(ii) x = r. cos ϑ. sin ϕ; y = r. sin ϑ. sin ϕ; z = r. cos ϕ;

(iii) Jacobi-Determinante D

= |∂(x,y,z)/ ∂(r,ϑ, ϕ)| = r² sin ϕ;

(iv) Bereichselement dB ist hier das Volumselement dV = dx. dy. dz = dϕ. dϑ. dr. r² sin ϕ.

9.4. Linien- (Kurven-) Integrale

o Dimension des Integrationsbereiches B = 1;

Dimension des Definitionsbereiches D > 1.

o Der Integrationsbereich von Kurvenintegralen ist ein Kurvenstück: Im R

(Ebene) ein Stück einer ebenen Kurve, im R

(3-dimensionaler Raum) ein Stück einer Raumkurve und in noch höher dimensionalen Räumen eine n-dimensionales Kurvenstück.

o Der Definitionsbereich muss hingegen immer höher-dimensional sein (n>1).

9.4-1. Kurven. Eine Kurve C ist eine Punktmenge {X(t) | t є I⊆R; t unabhängige Vari- able, I Intervall} im n-dimensionalen Raumes R

. Sämtliche Koordinaten x

(i = 1, 2, ..., n) der Kurvenpunkte X(t) sind dabei Funktionen von einer einzigen unabhängigen Variablen t, die gerne auch „Parameter t“ genannt wird (X(t): (x

(t), x

(t), ...)). Die Zahlenwerte des Kurvenpa- rameters t müssen Elemente eines reellen Zahlenintervalls sein (t є I⊆R).

Eine Kurve ist also ein Gebilde mit einem einzigen Freiheitsgrad, also mit nur einer unabhängigen Variablen („Parameter“) t, unabhängig davon, wie hoch die Dimension n des Raumes ist, in dem sie definiert ist. Kurven sind also 1-dimensionale Gebilde, die aber einen höher-dimensionalen Raum (n >1) benötigen, in dem sie sich ausbreiten können.

In der Terminologie der Vektorrechnung sind die Koordinatenfunktionen x

(t) die Kom- ponenten der Ortsvektoren x(x

(t), ...) der Kurvenpunkte X. Selbstverständlich können wir auch eine der Koordinaten x

selbst als Kurvenparameter t benützen. Bei t = x

gilt für die Kurve C: X(x

) = x(x

, x

(x

), ...), bei t = x

gilt für C: X(x

) = x(x

(x

), x

, x

(x

), ...), ...

o Bogenlänge s und Linienelement ds. Die Länge eines Kurvenstücks C wird „Bo- genlänge s“ („Kurvenlänge s“) genannt, und die infinitesimale Kurvenlänge ds heißt "Linien- element“ („Bogenelement“). Die Bogenlänge s wird oft auch als „natürlicher“ Parameter be- zeichnet.

(1) Linienelement: ds = dx

( s )² + dx

( s )² + ...

(2) Bei Verwendung des Parameters t:

...

)² t ( x )² t ( x . dt ...

² dt )².

t ( x

² dt )².

t ( x

ds = &

+ &

+ = &

+ &

+

(3) Bei Verwendung der Ortsvektoren x(x

(t), x

(t), ...):

(t) . dt

ds = x &

(4) Bei Verwendung der Koordinate x

als Parameter (t = x

):

...

)² x ( ' x 1 . dx ...

² dx )².

x ( ' x

² dx

ds =

+

+ =

+

+

9.4-2. Kurvenintegrale 1. Art. Diese sind verallgemeinerte bestimmte Integrale mit ei- nem Integrationsweg entlang eines stetigen Kurvenstücks s⊆C, auf dem eine (beschränkte) Funktion f(x

, x

, ...) definiert ist. Das bedeutet, dass jedem Punkt (x

, x

, ...) ein zusätzlicher Zahlenwert zugeordnet wird, nämlich der Funktionswert f(x

, x

, ...). Es handelt sich also um ein kurvenförmiges Skalarfeld f(x

, x

, ...) = f(x

(t), x

(t), ...).

Das Kurvenintegral (1. Art) über diese Funktion f(x

, x

, ...) entlang des Kurvenstücks C ist definiert durch (l Bogenlänge von C):

∫

∫ ⁼

0

2 1 C

2

1

, x , ...). ds f ( x ( s ), x ( s ), ...). ds x

( f

Der Wert des Kurvenintegrals 1. Art ist unabhängig von der Laufrichtung.

Geom. Bedeutung: (a) Im Allgemeinen keine;

(b) Für f(x

, ...) ≡ 1: Bogenlänge l des Kurvenstücks C.

Bogenlänge ist ja per def. die Summe aller Linienelemente entlang der Kurve. Daher muss f(x

, ...) ≡ 1 sein.

o Berechnungstechniken der Kurvenintegrale 1. Art.:

(1) Mit Hilfe der Bogenlänge s (l Länge des Kurvenstücks C):

(i) x

= x

(s); x

= x

(s); ...

(ii) Linienelement ds

(iii) ∫ ⁼ ∫

C

l

0

2 1 2

1

, x , ...). ds f ( x ( s ), x ( s ), ...). ds x

( f

(2) Bei Verwendung des Parameters t:

(i) x

= x

(t); x

= x

(t); ...

(ii) ds = x &

( t )². dt ² + x &

( t )². dt ² + ... = dt . x &

( t )² + x &

( t )² + ...

(iii) f(x , x ,...) .ds f(x ( t ), x ( t ),...). x ( t )² x ( t )² ... . dt

) nd ( E

) nf ( A

t

t

2 1

2 1 C

2

1

∫

∫ ^{= & + & + .}

(3) Bei Verwendung der Ortsvektoren x(x

(t), x

(t), ...):

(i) x(x

(t), x

(t), ...) (ii) ds = dt . x & (t)

(iii) f(x , x ,...) .ds f(x ( t ), x ( t ),...). (t) . dt

) nd ( E

) nf ( A

t

t

2 1 C

2

1

∫

∫ ^{= x &}

(4) Bei Verwendung der Koordinate x = x

als Parameter (t = x):

(i) x

= x; x

= x

(x); ...

(ii) ds = dx

² + x

( x )'². dx ² + ... = dx . 1 + x

( x )'² + ...

(iii) f(x , x ,...) .ds f(x , x ( x ),...). 1 x ( x )'² ... . d x

) nd ( E

) nf ( A

x

x

2 2

C

2

1

∫

∫ ^{= + + .}

(5) Im R

gilt bei Verwendung ebener Polarkoordinaten:

(i) x = r.cos ϑ => dx = dr.cos ϑ - r.dϑ.sin ϑ y = r.sin ϑ => dy = dr.sin ϑ + r.dϑ.cos ϑ

(ii) ds = dx ² + y ( x )'². dx ² = dx ² + dy ² = dr ² + r ². d ϑ ² = 1 + r ².( d ϑ / dr )² . dr (iii) f(x , x ) .ds f(x ( r ), y ( r )). 1 r ².( d / dr )² . d r

rEnd

0 C

2

1

∫

∫ ^{= + ϑ}

Beispiele: ______________________________________________________________

a) Geg.: Funktion: f(x

, x

) = x

.

Ges.: Kurvenintegral für den Viertelkreis mit dem Radius r um den Nullpunkt.

Lösung:

(i) Parameterdarstellung der Kurve: x

(t) = r.cos t; x

(t) = r.sin t; 0 ≤ t ≤ π/2;

(ii) Linienelement: ds = dt . x &

( t )² + x &

( t )² = (r². sin² t + r². cos² t)

. dt = r. dt.

(iii) Kurvenintegral: ∫ ds.f(x

, x

,...) ⁼ ∫ dt . x ^&

( t )² ⁺ x ^&

( t )² . x

( t ) ⁼

π/2

= ∫dt.r. x

(t)] = ∫dt.[r. r. sin t] = r². (-cos t)| = r².

0

---

b)

9.4-3. Kurvenintegrale 2. Art. Hier wird mit Hilfe der Projektion des Kurvenstücks C auf eine der Koordinatenachsen x

integriert. Die Kurvenintegrale 2. Art heißen häufig nur

"Kurvenintegrale" - was das Verständnis nicht gerade vereinfacht:

∫

∫

∫ ^{= =}

) nf ( A )

nd ( E ,i

) nf ( A ,i

t

t

i 2

1 x

x

i 2

1 C

i 2

1

, x ,...). dx f ( x , x ,...). dx f ( x ( t ), x ( t ),...). x . dt . x

(

f &

Da der Integrationsweg nunmehr entlang einer Koordinatenachse läuft, wird hier - im Gegen- satz zu den Kurvenintegralen 1. Art - bei Umkehrung des Durchlaufsinns auch das Vorzei- chen des Integrals umgekehrt!

9.4-4. Allgemeines Kurvenintegral (2. Art). Ordnen wir jedem Punkt X(t) einer Kurve C anstelle eines einzelnen Funktionswert f(x

, x

, ...) einen Vektor V = (V

, V

, ...) zu, dessen Komponenten V

Funktionen der Variablen x

(t) sind (V

= V

(x

, x

, ...), dann erhalten wir ein kurvenförmiges Vektorfeld V = (V

(x

x

, ...), V

(x

, x

, ...), ...).

Als allgemeines Kurvenintegral (2. Art) über diese Vektorfunktion V entlang des Kur- venstücks C verstehen wir die Summe aller Kurvenintegrale 2. Art über der Komponenten- funktionen V

(x

, x

, ...) nach den entsprechenden Koordinatenvariablen x

:

∫

∫ ^{+ + =}

^{+ +}

) nf ( A

t

t

2 2 1 1 C

2 2

1 2 1 2

1

1

( x , x ,...). dx V ( x , x ,...). dx ...] [ V . x V .. x ...]. dt . V

[ & &

In Vektorform lautet das allgemeines Kurvenintegral (2. Art) wegen V = (V

(x), V

(x), ...) = V(x) = V(x(t) (da x = x(t)):

∫

∫ ⁼

) nf ( A

t

t C

. dt ).

t ( )).

t ( ( d

).

( x x V x x

V &

Beispiele: _________________________________________________________

a) Berechne das Kurvenintegral

I = ∫ [y. dx + x. dy] längs der Kurve x(t) = t³; y(t) = t² von (0,0) bis (1,1).

-> V

= y; V

= x.

(i) x(t) = t³; dx = 3t².dt, 0 ≤ t ≤ 1;

y(t) = t²; dy = 2t.dt, 0 ≤ t ≤ 1;

1 1 1 1

I = ∫ [y. dx + x. dy] = ∫ [t².3t².dt + t³.2t.dt] = ∫ 5t

.dt = t

| = 1 - 0 = 1.

0 0 0 0

(ii) In der Vektorversion:

x = (x, y) = (x(t), y(t)) = (t³, t²) mit 0 ≤ t ≤ 1 )

t

x & ( = (3t², 2t)

V = (V

, V

) = (y(t), x(t)) = (t², t³)

1 1 1 1

∫V(x,y,z). x & ( t ) .dt = ∫ [3t².t² + 2t.t³].dt = 5∫ t

.dt= t

| = 1.

0 0 0 0

_______________

b) Geg.: Vektor V = (-y, xy) → V

= -y; V

= xy.

Kurve C: Gerade von P

(1,0) → P

(0,1): y = 1-x;

ZB.: Mit Parameter t = x;

=> x = (x, y) = (x(t), y(t)) = (t,1-t) mit 1 ≥ t ≥ 0

=> x & ( t ) = (1, -1); V = (V

, V

) = (t-1, t-t²);

0 0 0 0

∫V(x,y). x & ( t ) .dt = ∫ [(t-1).1 + (t-t²).(-1)].dt =∫ [t²-1].dt= [t

/3-t]| = 0-(-2/3)=2/3.

1 1 1 1

_______________

c) Geg.: Vektor V = (-y, xy) → V

= -y; V

= xy.

Kurve C: Viertelkreis von P

(1,0) → P

(0,1): x²+y² = 1; => y = 1− x ² ^; Mit Parameter t = x;

=> x = (x, y) = (x(t), y(t)) = (t, 1− t ² ^{) mit 1} ≥ t ≥ 0

=> x & ( t ) ^{= (1, -t/} 1− t ² ^{); V = (V}

, V

) = (-1, t). 1− t ² ^;

0 0 0 0

∫V(x,y). x & ( t ) ^{.dt = ∫ [-} 1− t ² .1 + t.(-t)].dt = ∫[- 1 − t ² - t²].dt= [-arc sin t -t

/3]| = 1 1 1 1

= π/4 + 1/3.

_____________________________________________________________________

9.4-5 Konservative Vektorfelder V im R

. Ein Vektorfeld V heißt konservativ, wenn das (allgemeine) Kurvenintegral (2.Art) wegunabhängig ist - d.h., dass das geschlossene Kurvenintegral ("Ringintegral") verschwindet:

. 0 dt ).

t ( )).

t ( ( d

).

(

C

=

= ∫

∫ ^{V x x V x x &}

Jedes Gradientenfeld (V = grad U(x); U(x) Potential) ist konservativ und umgekehrt ist jedes konservative Vektorfeld ein Gradientenfeld (V

= ∂U(x)/ ∂x

). Wie erinnerlich ist notwendig und hinreichend dafür die Schwarz'sche Bedingung der Identität der jeweiligen gemischten Ablei- tungen.

dU = ∂U/∂x

.dx

+ ∂U/∂x

.dx

+∂U/∂x

.dx

= V

.dx

+ V

.dx

+ V

.dx

; dx = ∂x(t)/ ∂t.dt = x & ( t ) ^.dt.

o Potential eines Vektorfeldes V:

(i) U(x) = ∫dU(x) = ∫V(x). dx = ∫[V

.dx

+ V

.dx

+ V

.dx

]= ∫ V ( x ( t )). x & ( t ). dt (ii) Oder Ansatzmethode:

U(x) = ∫V

.dx

+ C

(x

, x

) = ∫V

.dx

+ C

(x

, x

) = ∫V

.dx

+ C

(x

, x

)

Beispiel: ______________________________________________________________

V(x, y) = (xy², x²y+2) -> V

= xy²; V

= x²y+2.

V(x, y) = grad U(x,y) = (∂U/∂x, ∂U/∂y) = (V

, V

), falls: ∂V

/∂y = ∂V

/∂x.

(i) ∂V

/∂y =2xy = ∂V

/∂x => V(x, y) ist ein Gradientenfeld.

(ii) V

= ∂U/∂x = xy²

=> U(x,y) = ∫[V

.dx + c(y) = ∫xy².dx + c(y) = x²y²/2 + c(y) (iii) Bestimmung von c(y):

V

= ∂[x²y²/2 + c(y)]/ ∂y = x²y + dc(y)/dy = x²y + 2 => dc(y)/dy = 2 => dc(y) = 2.dy => c(y) = 2y + C.

(iv) U(x,y) = x²y²/2 + 2y + C.

_____________________________________________________________________

9.5. Flächenintegrale

Dimension des Integrationsbereiches B = 2;

Dimension des Definitionsbereiches D > 2;

Integrationsbereich ist daher eine Fläche A im 3-dim. Raum.

.) dx ,...).

x , x ( f ( dx dA

,...).

x , x ( f

E , 2

A , 2

E , 1

A , 1

x

x

x

x

1 2

1 2

F Int

2

1

∫ ∫

∫∫

=

Geom. Bedeutung: o I.a. keine;

o Für f(x

, x

, x

) ≡ 1: Maßzahl des Flächeninhalts von Int-F.