Besitzt ein Vektorraum V eine endliche BasisB ={b1

Basis

Eine Teilmenge B eines Vektorraumes V ist eine Basis vonV, wenn die Vektoren inB linear unabh¨angig sind und sich jeder Vektorv ∈V eindeutig als Linearkombination

v =X

k

c_kb_k, b_k ∈B,

darstellen l¨asst. Die Koeffizientenck werden als Koordinaten von v bez¨glich der BasisB bezeichnet:

v ↔v_B = (c₁,c₂, . . .)^t.

Besitzt ein Vektorraum V eine endliche BasisB ={b₁, . . . ,bn}, so ist die Anzahl der Basisvektoren eindeutig bestimmt und wird die Dimension von V genannt:

n = dimV.

Man setzt dimV = 0 f¨ur V ={0}und dimV =∞f¨ur einen Vektorraum ohne endliche Basis.

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F¨urV =Rⁿ oder V =Cⁿ besteht eine Basis ausn Vektorenbk, und die Matrix B = (b1, . . . ,bn) mit den Spaltenb_k ist invertierbar, d.h.

detB 6= 0.

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Beweis

Eindeutigkeit der Dimension im endlichen Fall hinreichend zu zeigen:

Hat ein Vektorraum eine n-elementige Basis b1, . . . ,bn,

so sind n+ 1 Vektorenv₁, . . . ,v_n+1 (und damit auch mehr als n+ 1 Vektoren) linear abh¨angig.

( =⇒ Widerspruch zur linearen Unabh¨angigkeit bei Basen mit unterschiedlich vielen Vektoren)

Beweis durch Induktion:

(n−1)→n: betrachte Basisdarstellung der Vektoren v_k: v_k =

n

X

`=1

γ_{k,`</sub>b<sub>`}, k = 1, . . . ,n+ 1 trivialer Fall:

γ_n+1,1 =· · ·=γ_n+1,n= 0

=⇒ vn+1= 0 =⇒ lineare Abh¨angigkeit der Vektorenv_k

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andernfalls, nach geeigneter Nummerierung,γn+1,n6= 0

definiere Vektoren v_k⁰,k = 1, . . . ,n, die sich als Linearkombination der n−1 Vektoren b₁, . . . ,bn−1 darstellen lassen:

v_k⁰ = v_k− γ_k,n γn+1,n

v_n+1

= (γk,1b1+· · ·+γk,nbn)− γ_k,n γn+1,n

(γn+1,1b1+· · ·+γn+1,nbn) Koeffizient von bn= 0 =⇒

v₁⁰, . . . ,v_n⁰ ∈V⁰ = span{b₁, . . . ,bn−1}

Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die Basis {b₁, . . . ,bn−1}von V⁰

=⇒ ∃ nichttriviale Linearkombination

λ1v₁⁰ +· · ·+λnv_n⁰ = 0 Einsetzen der Definition von v_k⁰

Linearkombination der vk, also die behauptete lineare Abh¨angigkeit

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