1. Man leite folgende Integrale her (a) ∫

(1)

Ubungsblatt 10 - Diﬀerenzial- und Integralrechnung - WS 2015/16 ¨ (Grabenwarter, Knebl, Mian, P¨ otz, Ranftl, Weissitsch)

1. Man leite folgende Integrale her (a) ∫

x ² e ^−x

³

dx (b) ∫ _dx

√ a

²

+x

²

(Subst. x = a sinh z) (c) ∫ _dx

√ x − 1 − √

x − 2 (d) ∫

x √

1 + xdx

2. Man l¨ ose mittels partieller Integration (a) ∫

x arctan x dx (b) ∫

sin ² x dx (c) ∫

x ² cos x dx

3. Man l¨ ose mittels einer geeigneten Substituion (a) ∫ _cos ^√ _x

√ x dx (b) ∫ _cos _x

1+sin x dx (c) ∫ _dx

√ 2ax − x

²

(d) ∫ _e

x

1+e

^2x

dx

4. Man l¨ ose mittels Partialbruchzerlegung (a) ∫ _3x

3

− 2x+5

x

²

− 4x+3 dx (b) ∫ _3x

2

− 4x − 19 (x+1)(x − 2)(x+3) dx

5. Man bestimme die Bogenl¨ ange der Kurven (a) y = (x − 1)

³²

+ 2 , 1 ≤ x ≤ 2

(b) x(t) = e ^t cos t , y(t) = e ^t sin t , 0 ≤ t ≤ ^π ₂

(c) r = 1 − cos φ , 0 ≤ φ ≤ π (Verwende 1 − cos φ = 2 sin ² ^φ ₂ )

6. Man untersuche die uneigentlichen Integrale (a)

∫ 1 0

arcsin √ x

1 − x

²

dx (Beachte dabei dass ( ^f ₂

²

) ^′ = f f ^′ bzw. ∫

f f ^′ dx = ^f ₂

²

+ C)

(b)

∫ ∞ 1

dx x √

x

²

1. Man leite folgende Integrale her (a) ∫

Ubungsblatt 10 - Diﬀerenzial- und Integralrechnung - WS 2015/16 ¨ (Grabenwarter, Knebl, Mian, P¨ otz, Ranftl, Weissitsch)

1. Man leite folgende Integrale her (a) ∫

x 2 e −x

dx (b) ∫ dx

√ a

+x

(Subst. x = a sinh z) (c) ∫ dx

√ x − 1 − √

x − 2 (d) ∫

x √

1 + xdx

2. Man l¨ ose mittels partieller Integration (a) ∫

x arctan x dx (b) ∫

sin 2 x dx (c) ∫

x 2 cos x dx

3. Man l¨ ose mittels einer geeigneten Substituion (a) ∫ cos √ x

√ x dx (b) ∫ cos x

1+sin x dx (c) ∫ dx

√ 2ax − x

(d) ∫ e

1+e

dx

4. Man l¨ ose mittels Partialbruchzerlegung (a) ∫ 3x

− 2x+5

x

− 4x+3 dx (b) ∫ 3x

− 4x − 19 (x+1)(x − 2)(x+3) dx

5. Man bestimme die Bogenl¨ ange der Kurven (a) y = (x − 1)

+ 2 , 1 ≤ x ≤ 2

(b) x(t) = e t cos t , y(t) = e t sin t , 0 ≤ t ≤ π 2

(c) r = 1 − cos φ , 0 ≤ φ ≤ π (Verwende 1 − cos φ = 2 sin 2 φ 2 )

6. Man untersuche die uneigentlichen Integrale (a)

∫ 1 0

arcsin √ x

1 − x

dx (Beachte dabei dass ( f 2

) ′ = f f ′ bzw. ∫

f f ′ dx = f 2

+ C)

(b)

∫ ∞ 1

dx x √

x

+1 (Verwende die Substitution u = √

x 2 + 1 bzw. u 2 = x 2 + 1)

x ² e ^−x

dx (b) ∫ _dx

(Subst. x = a sinh z) (c) ∫ _dx

sin ² x dx (c) ∫

x ² cos x dx

3. Man l¨ ose mittels einer geeigneten Substituion (a) ∫ _cos ^√ _x

√ x dx (b) ∫ _cos _x

1+sin x dx (c) ∫ _dx

(d) ∫ _e

4. Man l¨ ose mittels Partialbruchzerlegung (a) ∫ _3x

− 4x+3 dx (b) ∫ _3x

(b) x(t) = e ^t cos t , y(t) = e ^t sin t , 0 ≤ t ≤ ^π ₂

(c) r = 1 − cos φ , 0 ≤ φ ≤ π (Verwende 1 − cos φ = 2 sin ² ^φ ₂ )

dx (Beachte dabei dass ( ^f ₂

) ^′ = f f ^′ bzw. ∫

f f ^′ dx = ^f ₂

x ² + 1 bzw. u ² = x ² + 1)