Leiten Sie durch folgende Schritte die Reihenentwicklung der Arcus- Tangensfunktion arctan(x) her

Prof.Dr. W.Koepf

Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung

Ubungsblatt 12 GESCHICHTE DER ANALYSIS 17.01.2008

Aufgabe 1 (Reihenentwicklung der Arcus-Tangensfunktion) Sie haben in der Vorlesung die bekannte Eulersche Formel

e^ix = cos(x) + i sin(x)

kennen gelernt. Leiten Sie durch folgende Schritte die Reihenentwicklung der Arcus- Tangensfunktion arctan(x) her.

(a) Sei N eine "unendlich groe\ naturliche Zahl, z 2 R und x = ^Nz. Zeige zunachst z

N = 1 2i

e^iz_N¹

e ^iz_N¹

und daraus unter Berucksichtigung von Aufgabe 2.(a) (Ubungsblatt 11) z = 1

2i log(e^iz) log(e ^iz) : (b) Zeigen Sie die Gleichung

z = 1 2i log

1 + i tan(z) 1 i tan(z)

: (c) Verwenden Sie nun die Logarithmusreihe, um die Gleichung

z = tan(z) tan³(z)

3 +tan⁵(z) 5 : : :

herzuleiten. Bestimmen Sie aus der letzten Gleichung die Reihenentwicklung von arctan(x).

(6 Punkte)

Aufgabe 2 (Satz von de Moivre)

Sei n 2 N₀ und x 2 R. Beweisen Sie die de Moivresche Identitat (cos(x) i sin(x))ⁿ= cos(nx) i sin(nx) durch vollstandige Induktion.

(4 Punkte)

Abgabetermin: Donnerstag, 24.01.2008, 14.15 Uhr in der Ubung.