UNIVERSITAT LEIPZIG

Prof.Dr.R.Verh,M.Teuhler,A.Knospe

. .

Inst. f. Theoretische Physik

UNIVERSITAT LEIPZIG

Wintersemester 2008/09

Musterlösungen zuÜbungen zurAllgemeinen Relativitätstheorie

Aufgabenblatt 9

Aufgabe 24

DieFRW-Metrik istin allgemeinerFormgegeben durh

ds ² = − dt ² + a(t) ² dr ²

1 − kr ² + r ² dϑ ² + sin ² ϑ dϕ ²

(1)

Wobei

k ∈ {− 1, 0, 1 }

Tetradenindexbewegungenerfolgenmit

η AB

e ^T = dt

e ^R = a(t)

√ 1 − kr ² dr

e ^Θ = a(t)r dϑ

e ^Φ = ar sin ϑ dϕ

(Wobei

e ^A = e ^A a dx ^a

g ab = η AB e ^A a e ^B b , g ^ab e ^A a e ^B b = η ^AB

η AB = diag( − 1, +1, +1, +1)

Wirführen dieZusammenhangsformein,deniertdurh:

ω aBC = e B b

∇ ^a e C b

(

e B b

sinddiezu

e ^A a

e ^A _a e ^a _B = δ ^A _B

ω ^B C = ω a B C dx ^a

DieZusammenhangsformistantisymmetrish:

ω BC = − ω CB

DurhdirektesNahrehnen siehtmanfolgendeBeziehungen (dieStrukturgleihungen):

de ^A = e ^F ∧ ω ^A F

R ^C D = 1

2 e ^C _c e ^d _D R ^c dab dx ^a ∧ dx ^b = dω ^C D + ω ^C F ∧ ω ^F D

Diesewerdennun imweiterenverwendetumdieKrümmungstensorthermeauszurehnen:

de ^T = 0 de ^R = a ˙

√ 1 − kr ² dt ∧ dr = a ˙

a e ^T ∧ e ^R de ^Θ = a ˙

a e ^T ∧ e ^Θ +

√ 1 − kr ²

ar e ^R ∧ e ^Θ de ^Φ = a ˙

a e ^T ∧ e ^Φ +

√ 1 − kr ²

ar e ^R ∧ e ^Φ + cot ϑ

ar e ^Θ ∧ e ^Φ

AusdemVergleihmit(7)lesenwirab(nihtauftauhendeKomponentensindnull):

ω ^R T = a ˙

a e ^R , ω ^Θ T = a ˙

a e ^Θ , ω ^Φ T = a ˙ a e ^Φ ω ^Θ R =

√ 1 − kr ²

ar e ^Θ , ω ^Φ R =

√ 1 − kr ²

ar e ^Φ ω ^Θ R = cot ϑ ar

Nunverwendenwir(8) umdie Krümmungstensortherme auszurehnen. Die Rehnungwirdexemplarish ameinemTerm

durhgeführt(BeahtedieAntisymmetrievon

ω CD

ω ^T R = η ⁰⁰ ω T R = ( − 1)ω T R = ω RT = ω ^R T

R ^R T = dω ^R T + ω ^R Φ ∧ ω ^Φ T + ω ^R Θ ∧ ω ^Θ T

= a ¨

a − a ˙ ² a ²

dt ∧ e ^R + a ˙

a de ^R + 0 + 0

= a ¨

a − a ˙ ² a ²

e ^T ∧ e ^R + a ˙ ²

a ² e ^T ∧ e ^R

= a ¨

a e ^T ∧ e ^R

MitähnlihenRehnungenndenwir:

R ^Θ T = a ¨

a e ^T ∧ e ^Θ , R ^Φ T = ¨ a

a e ^T ∧ e ^Φ R ^Θ R =

a ˙ ² a ² + k

a ²

e ^Θ ∧ e ^R R ^Φ R = a ˙ ²

a ² + k a ²

e ^Φ ∧ e ^R R ^Φ Θ = a ˙ ²

a ² + k a ²

e ^Φ ∧ e ^Θ

DarausfolgernwirdieTetradenKomponentenvon

R ^c dab , R ^C DAB = e ^C c e D d e A a e B b R ^c dab

R ^T RT R = R ^T ΦT Φ = R ^T ΘT Θ = ¨ a a R ^Φ RΦR = R ^Θ RΘR = R ^Φ ΘΦΘ = a ˙ ²

a ² + k a ²

DamitkönnenwirjetztdieRii-TetradenKomponentenundden(Tetraden-)Einstein-Tensorberehnen:

R T T = R ^R T RT + R ^Θ T ΘT + R ^Φ T ΦT = − 3 ¨ a a R RR = R ΦΦ = R ΘΘ = ¨ a

a + 2

a ˙ ² + k a ²

R = 6 a ¨

a + a ˙ ² + k a ²

DamitfolgtfürdenEinsteintensor:

G AB = e A a e B b

R ab − 1

2 g ab R

=

R AB − 1 2 η AB R

G T T = 3

a ˙ ² + k a ²

G RR = G ΘΘ = G ΦΦ = − 2 ¨ a a −

a ˙ ² + k a ²

AufderrehtenSeiteder(modizierten)EinsteingleihunghabenwirdenEnergieimpulstensoreineridealenFlüssigkeit(in

Tetradenform):

T AB = e A a

e B b ((ρ + P )e ^T a e ^T b + P g ab ) = (ρ + P )δ ^T _A δ _B ^T + P η AB

G T T + Λη T T = 3

a ˙ ² + k a ²

− Λ = 8πρ = 8πT T T

G RR + Λη RR = − 2 ¨ a a −

a ˙ ² + k a ²

+ Λ = 8πP = 8πT RR

Aufgabe 25(Vorzeihenfehlerinder Aufgabenstellungsindzuüberlesen)

a)

u ^b

u ^b = δ 0 ^β

∂

∂x

≡ ∂t ^∂

^b

)

∇ ^a u b = − Γ ⁰ αβ (dx ^α ⊗ dx ^β ) = − 1

2 g ^0δ (∂ α g βδ + ∂ β g δα − ∂ δ g αβ )(dx ^α ⊗ dx ^β ) = 1

2 ∂ 0 g αβ (dx ^α ⊗ dx ^β ) = − aaϕ ˙ ab

b)

k ^a

(k ⁰ ) ² − a ² ϕ ab k ^a k ^b = 0

ω = k ^b u b = k ⁰ dω

dλ = k ^a ∇ ^a (k ^b u b ) = (k ^a ∇ ^a k ^b )

| {z }

=0

u b + k ^a k ^b ∇ ^a u b = − aaϕ ˙ ab k ^a k ^b = − a ˙

a (k ⁰ ) ² = − a ˙

a ω ²

)

dω dλ = − a ˙

a ω ² = − d

dt ln a

ω ² = − dt

dλ − 1

| {z }

=ω

d dλ ln a

ω ² = − d

dλ ln a

ω

⇒ d

dλ (ln a + ln ω) = 0 ⇔ ω 2

ω 1

= a(t 1 )

a(t 2 )