Abgab e bis F reitag, 2 0.05.16, 12 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2016 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Funktionalanalysis Blatt V vom 13.05.16
Aufgabe V.1 (4 Punkte)
Seien X ein normierter Vektorraum, D ein dichter Untervektorraum von X und Y ein Banachraum. Zeigen Sie, dass für T ∈ L(D, Y) eine eindeutige stetige Fortsetzung Tb∈ L(X, Y) existiert, d.h. ein stetiger Operator mitTb|D =T. Dieser erfülltkTkb =kTk.
Aufgabe V.2 (3+3 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen linear und stetig sind. Berechnen Sie außerdem deren Norm.
(i) Tϕ:C([0,1])→C([0,1]), Tϕf =ϕ·f, wobeiϕ∈C([0,1]) vorgegeben sei.
(ii) T : C([0,1]) → R, mit αi ∈ R und paarweise verschiedenen xi ∈ [0,1], i= 1, ...m, definiert durch
T f =
m
X
i=1
αif(xi).
b) Sei jetzt ϕ∈Lq([0,1])für q ∈[1,∞]. Seip∈[1,∞]. Die AbbildungTϕ sei gegeben durch
Tϕf =ϕ·f, f ∈Lp([0,1]).
Bestimmen Sie alle q ∈[1,∞], so dass Tϕ ein linearer und stetiger Operator mit Bild inLp([0,1])ist.
Aufgabe V.3 (4 Punkte)
SeiX ein Banachraum, sowieT :X→Rlinear. Beweisen Sie, dassT genau dann stetig ist, wenn der Nullraum von T abgeschlossen ist.
Erinnerung: DerNullraum von T ist wie folgt definiert:
N(T) ={x∈X|T x= 0}.
Aufgabe V.4 (3+3 Punkte) SeiL:=n
f ∈C([a, b])|R(a+b)/2
a f(x) dx=Rb
(a+b)/2f(x) dxo .
a) Zeigen Sie, dass Lein abgeschlossener Untervektorraum vonC([a, b])ist und finden Sie einT ∈C([a, b])0 derart, dass L der Nullraum vonT ist.
b) Beweisen Sie, dass jedes Funktional T ∈C([a, b])0, dasL=N(T)erfüllt, auch die folgende Eigenschaft hat:T(f)6=kTk für alle f ∈C([a, b])mit kfk∞≤1.
