Aufgabe 41: Entwicklen Sie die Funktion

(1)

Ubungen zur Ingenieur-Mathematik III ¨ WS 2017/2018

Blatt 11 21.12.2017

Aufgabe 41: Entwicklen Sie die Funktion

f (x, y, z) = − p

1 − x

²

+ y

²

+ z

²

nach Taylor an der Stelle (0, 0, 0) bis einschließlich Terme zweiter Ord- nung.

L¨ osung:

• f (0, 0, 0) = −1

• grad f (x, y, z) = √

¹

1−x²+y²+z²



 x

−y

−z



 ⇒ grad f (0, 0, 0) =



 0 0 0





• D

²

f(x, y, z) =

_(1−x₂_+y¹₂_+z₂₎_3/2





1 + y

²

+ z

²

−xy −xz

−xy x

²

− 1 − z

²

yz

−xz yz x

²

− y

²

− 1





⇒ D

²

f (0, 0, 0) =





1 0 0

0 −1 0

0 0 −1





• f (ξ, η, ζ) = −1 +

¹₂

(ξ

²

− η

²

− ζ

²

) + O((ξ

²

+ η

²

+ ζ

²

)

^3/2

) Aufgabe 42: Entwicklen Sie die Funktion

f : R

ⁿ

→ R; x 7→ e

^−kx−x⁰^k²

nach Taylor an der Stelle x = x

₀

bis einschließlich Terme zweiter Ord- nung.

L¨ osung:

• Zun¨ achst sehen wir f (x

0

) = e

^−kx⁰^−x⁰^k²

= e

⁰

= 1

• Berechnung des Gradienten: grad f(x) = −2e

^−kx−x⁰^k²

(x − x

₀

) ⇒ grad f (x

₀

) = 0

• Berechnung der zweiten Ableitungen: D

²

f (x) = −2e

^−kx−x⁰^k²

· 1 + 4e

^−kx−x⁰^k²

(x − x

₀

)(x − x

₀

)

^T

⇒ D

²

f (x

₀

) = −2 · 1

• Somit gilt

f (x

0

+ ξ) = 1 + 1

2 (x

0

+ ξ − x

0

)

^T

(−2 1 )(x

0

+ ξ − x

0

) + O(kξk

³

)

= 1 − (ξ)

^T

( 1 )(ξ) + O(kξk

³

)

= 1 − kξk

²

+ O(kξk

³

)

Aufgabe 43: Sei a ∈ R

ⁿ

gegeben. Entwicklen Sie die Funktion f(x) = kx − ak nach

Taylor an der Stelle x

₀

bis einschließlich Terme zweiter Ordnung.

(2)

L¨ osung:

f(x) = kx − ak = (x

₁

− a

₁

)

²

+ (x

₂

− a

₂

)

²

+ . . . + (x

_n

− a

_n

)

²

¹₂

setze x = x

₀

+ h, h ∈ R

ⁿ

f (x

₀

+ h) = f(x

₀

) + grad f(x

₀

) · h + 1

2 D

²

f (x

₀

)h · h + O(khk

³

)

grad f(x) = ∂

∂x

₁

f(x), ∂

∂x

₂

f(x), . . . , ∂

∂x

_n

f (x)

T

= 1

2 · 1

kx − ak · 2(x

₁

− a

₁

), . . . , 1 2 · 1

kx − ak · 2(x

_n

− a

_n

)

T

=

x

₁

− a

₁

kx − ak , . . . , x

_n

− a

_n

kx − ak

T

= 1

kx − ak (x − a)

H(x) =







∂²

∂x²₁

f (x)

_∂x^∂²

1∂x2

f(x) . . .

_∂x^∂²

1∂xn

f(x) .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . .

_∂x^∂²2

n

f(x)







∂

²

∂x

²_i

f (x) = ∂

∂x

_i

(x

_i

− a

_i

) f (x)

= 1

f (x) − (x

_i

− a

_i

)(x

_i

− a

_i

) f

³

(x)

= 1

kx − ak − 1

kx − ak

³

(x

_i

− a

_i

)

²

∂

²

∂x

²_i

f (x) = 1

f (x) − 1

f(x)

³

(x

_i

− a

_i

)

²

i 6= j : ∂

²

∂x

_i

∂x

_j

f (x) = ∂

∂x

_j

(x

_i

− a

_i

) f(x)

= − 1

f

³

(x) (x

i

− a

i

)(x

j

− a

j

)

= − (x

_i

− a

_i

)(x

_j

− a

_j

) kx − ak

³

⇒ H(x) = 1 kx − ak

1 − (x − a) kx − ak

(x − a)

^T

kx − ak

Insgesamt ergibt sich

f (x

₀

+ h) = kx

₀

− ak + (x

₀

− a)

kx

₀

− ak · h + 1 2kx

₀

− ak

1 − (x − a) kx − ak

(x − a)

^T

kx − ak

h · h + O(khk

³

) Zus¨ atzliche Erl¨ auterung: (Nicht Teil der L¨ osung!)

Mit der Bezeichnung g = grad f (x

₀

) erhalten wir f(x

0

+ h) = f (x

0

) + g · h + 1

2kx

₀

− ak khk

²

− (g · h)

²

+ (khk

³

) .

(3)

Dabei ist offenbar kgk = 1, also ist g der Einheitsvektor, der von a in Richtung x

₀

zeigt. Der lineare Term (also die Approximation der ¨ Anderung in erster Ordnung) ist daher die Projektion von h auf die Gerade durch x

₀

und a. Hier spielt also nur der Anteil von h eine Rolle, der auf a zu oder von a weg zeigt, nicht der Anteil

” seitw¨ arts“.

In ¨ ahnlicher Weise erkl¨ art sich der quadratische Term: Mit s

²

= khk

²

− (g · h)

²

ist s der ” Seitw¨ arts-Anteil“ von h (Pythagoras!). Der Term zweiter Ordnung ber¨ ucksichtigt also die ¨ Anderung

” seitw¨ arts“.

Die Skalierung ¨ uberlegt man sich beispielweise folgendermaßen: Mit a = (0, 0)

^T

, x

₀

= (1, 0)

^T

und h = (t, s)

^T

erh¨ alt man f (x

₀

+ h) = 1 + t +

¹₂

s

²

+ O(khk

³

). Zu x

₀

= (L, 0)

^T

erh¨ alt man die skalierte Gleichung

^f(x⁰_L^+h)

= 1 +

_L^t

+

¹₂ _L^s

2

+ O(khk

³

). Multiplikation mit L = kx

0

− ak ergibt schließlich die obige Form.

a g

x

h s

g h

0

Aufgabe 44: Bestimmen Sie f¨ ur die Funktion g(x, y) =

q

r

²

− ( p

x

²

+ y

²

− R)

²

, 0 < r < R,

die Taylor-Entwicklung an der Stelle (R, 0) mit Restglied der Ordnung 3.

Tipp: Finden Sie eine Funktion h(·), so dass g(x, y) = h(d(x, y)) mit d(x, y) = p

x

²

+ y

²

.

L¨ osung: g(x, y) = h(d(x, y)) mit d(x, y) = p

x

²

+ y

²

und h(ρ) = p

r

²

− (ρ − R)

²

⇒ g

_x

(x, y) = h

⁰

(d(x, y)) d

_x

(x, y)

g

_y

(x, y) = h

⁰

(d(x, y)) d

_y

(x, y)

g

xx

(x, y) = h

⁰⁰

(d(x, y)) d

x

(x, y)

²

+ h

⁰

(d(x, y)) d

xx

(x, y )

g

_xy

(x, y) = h

⁰⁰

(d(x, y)) d

_x

(x, y) d

_y

(x, y) + h

⁰

(d(x, y)) d

_xy

(x, y) g

_yy

(x, y) = h

⁰⁰

(d(x, y)) d

_y

(x, y)

²

+ h

⁰

(d(x, y )) d

_yy

(x, y)

mit

d

_x

(x, y) = x d(x, y) d

_y

(x, y) = y

d(x, y)

d

_xx

(x, y) = y

²

d(x, y)

³

d

_xy

(x, y) = − xy

d(x, y)

³

d

_yy

(x, y) = x

²

d(x, y)

³

(4)

und

h

⁰

(ρ) = R − ρ h(ρ)

h

⁰⁰

(ρ) = − r

²

h(ρ)

³

An der Stelle (R, 0):

d(R, 0) = R d

_x

(R, 0) = 1 d

_y

(R, 0) = 0

d

_xx

(R, 0) = d

_xy

(R, 0) = 0 d

_yy

(R, 0) = R

²

R

³

= 1 R und

h(d(R, 0)) = h(R) = r h

⁰

(R) = 0

h

⁰⁰

(R) = − r

²

r

³

= − 1 r Es folgt

g(R, 0) = h(d(R, 0)) = r g

_x

(R, 0) = h

⁰

(R) d

_x

(R, 0) = 0 g

_y

(R, 0) = h

⁰

(R) d

_y

(R, 0) = 0 g

_xx

(R, 0) = − 1

r · 1

²

+ 0 · 0 = − 1 r g

_xy

(x, y) = − 1

r · 1 · 0 + 0 · 0 = 0 g

_yy

(x, y) = − 1

r · 0

²

+ 0 · 1 R = 0 Die Taylor-Entwicklung ist dann

g(x, y) = r − 1

2r (x − R)

²

+ O(k(x − R, y)k

³

)