XI Codierungstheorie

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XI Codierungstheorie

Inhaltsverzeichnis

47 Lineare Codes 1

47.1 Einf¨uhrung . . . 1

47.2 Lineare (bin¨are) Codes . . . 2

47.3 Bin¨are Hamming Codes als Beispiele f¨ur lineare Codes . . . 6

48 Endliche K¨orper 8 48.1 Ringe und Ideale . . . 8

48.2 Restklassenringe . . . 10

49 Zyklische Codes 17 49.1 Ein Codierer f¨ur zyklische Codes . . . 20

49.2 Der Minimalabstand zyklischer Codes . . . 21

49.3 Unvollst¨andiges Decodieren von zyklischen Codes . . . 23

49.4 Reed-Solomon Codes . . . 25

49.5 Codes bei CD-Spielern . . . 27

47 Lineare Codes

47.1 Einf¨ uhrung

Definition 47.1 (i) Ein Code C der L¨ange N ¨uber dem (endlichen) Alphabet A ist eine Teilmenge von A^N.

(ii) Die Informationsrate von C ist

r(C) := 1

N log_|A|(|C|) = log(|C|) log(|A^N|). (iii) Sind x, y ∈A^N, so heißt

d(x, y) :=|{i∈ {1, . . . , N} |xi 6=yi}|

der Hamming-Abstand von x und y.

d(C) := min{d(x, y)|x6=y∈C}

heißt der Minimalabstand von C.

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Bemerkung: (i) F¨ur den Hamming-Abstand gilt die Dreiecksungleichung:

d(x, y) +d(y, z)≥d(x, z) f¨ur alle x, y, z∈A^N (ii) r(C) = log_|A|^N(|C|) =: r erf¨ullt also|C|= (|A^N|)^r.

Beispiel: SeiA={a, b, . . . , z},N = 3 undC :={(aaa),(bbb), . . . ,(zzz)}. Dann ist r(C) = ¹₃log₂₆(26) = ¹₃ und d(C) = 3. Der Decodierer kann 1 ¨Ubertragungsfehler korrigieren und 2 Fehler erkennen.

Definition 47.2 Sei C ⊆ A^N ein Code. Ein minimal distance decoder MDD ist eine Funktion f :A^N →C mit

d(f(a), a) = min{d(c, a)|c∈C} f¨ur alle a∈A^N. Satz 47.3 Sei C ⊆A^N ein Code, d:=d(C), f ein MDD f¨ur C.

(i) F¨ur e < ^d₂ kann der MDD e Ubertragungsfehler korrigieren.¨

(ii) Ist die Anzahl e der ¨Ubertragungsfehler e < d. so erkennt MDD, daß die Ubertragung fehlerhaft ist (decodiert aber nicht notwendig zum richtigen Code-¨ wort).

Ist also a ∈ A^N das empfangene Wort beim Senden von c ∈ C und sind beim Ubertragen¨ d(a, c) = e Fehler aufgetreten, so gilt: Ist e < ^d₂, so ist f(a) = c. Ist e < d, so ist a=c oder a 6∈C.

Ziel der Codierungstheorie Finde CodesC mit großem Minimalabstandd(C) und großer Informationsrate r(C).

Definition 47.4 Zwei Codes C, C⁰ heißen¨aquivalent, falls es eine Umordnungσ von {1, . . . , N} gibt, mit C⁰ ={(cσ(1), cσ(2), . . . , cσ(N))|(c1, . . . , cN)∈C}.

47.2 Lineare (bin¨ are) Codes

A = {0,1} mit 1 + 1 = 0. Dann ist A ein K¨orper und wird auch mit A = F2

bezeichnet. A ist ein Beispiel eines endlichen Körpers. Wir werden später sehen, daß es zu jeder Primzahlpotenz q = p^s genau einen endlichen Körper mit q Elementen gibt. Dieser wird mit Fq bezeichnet.

Definition 47.5 SeiAein endlicher Körper undA^N ={(a1, . . . , aN)|a1, . . . , aN ∈ A} der Standardvektorraum der Dimension N über A. Eine Teilmenge C ⊆ A^N heißt linearer Code, falls C ein Untervektorraum von A^N ist (C ≤ A^N). Ist A=F2, so nennen wir C einenlinearen binären Code. IstC ≤A^N und(b1, . . . , bk) eine A-Basis von C, (die bi sind Zeilen) so heißt die Matrix B ∈ A^k×N, deren i-te Zeile gerade bi ist, eine Erzeugermatrix von C.

(3)

Bemerkung 47.6 Ist C ≤A^N ein linearer Code der Dimension k, so ist |C|=

|A|^k und r(C) = _N^k die Informationsrate von C. C heißt dann auch ein [N, k]- Code oder auch [N, k, d]-Code, falls d=d(C).

Bemerkung IstA ein K¨orper, x, y, z∈A^N, so giltd(x, y) =d(x+z, y+z).

Satz 47.7 F¨ur den Minimalabstand eines linearen CodesC gilt:d(C) = min{d(c,0)| c∈ C}, wo 0 ∈ C der Nullvektor ist. F¨ur c ∈ C heißt d(c,0) =: w(c) auch das Gewicht von c.

Beweis.d(c, c⁰) =|{i|ci 6=c⁰_i}|=|{i |ci−c⁰_i 6= 0}|=d(c−c⁰,0) =w(c−c⁰). Ist C ein linearer Code, so gilt c−c⁰ ∈C fallsc, c⁰ ∈C. ¤ Beispiel Der erweiterte Hamming Code e8

Erzeugermatrix:

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0

Code:

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e8 ist ein [8,4,4]-Code. r(e8) = ⁴₈,d(e8) = 4.

Im Vergleich dazu hat der Wiederholungscode mit Erzeugermatrix







1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1







(4)

auch Informationsrate ¹₂ aber kleineren Minimalabstand 2.

Bemerkung: Jeder lineare Code C ≤ A^N ist ¨aquivalent zu einem Code mit Er- zeugermatrix der Form (Ik|PN−k).

Definition 47.8 Sei A ein K¨orper.

(a) F¨ur x, y ∈A^N sei (x, y) :=PN

i=1xiyj ∈A das Skalarprodukt zwischen x und y.

(b) Ist C ≤A^N ein linearer Code, so definieren wir

C^⊥ :={x∈A^N |(x, c) = 0 f¨ur alle c∈C}

den dualen Code zuC.

(c) C heißt selbstdual, falls C =C^⊥.

Bemerkung 47.9 (i) Das Skalarprodukt ist symmetrisch, d.h. f¨ur allex, y ∈A^N ist (x, y) = (y, x).

(ii) F¨ur a1, a2 ∈A und x, y1, y2 ∈ A^N ist (x, a1y1+a2y2) = a1(x, y1) +a2(x, y2) d.h. das Skalarprodukt ist linear.

(iii) Für x ∈ A^N gilt: x ∈ C^⊥ ⇔ (x, bi) = 0 für alle 1 ≤ i ≤ k für eine Basis (b1, . . . , bk) von C.

(iv) C^⊥≤A^N ist ein linearer Teilraum.

(v) F¨ur C ≤A^N gilt (C^⊥)^⊥ =C.

Beweis. (i) Klar aus der Definition. (ii) Nachrechnen, folgt aus dem Distributiv- gesetz.

(iii) ⇒ ist klar, da bi ∈ C. ⇐ Sei (x, bi) = 0 f¨ur alle i. Zu c ∈ C gibt es a1, . . . , ak ∈A, mit c=Pk

i=1aibi. Dann ist (x, c) = Pk

i=1ai(x, bi) = 0.

(iv) Zu zeigen ist, daß f¨ur a1, a2 ∈ A und x1, x2 ∈ C^⊥ die Linearkombination a₁x₁+a₂x₂ ∈C^⊥liegt. Seic∈C. Dann ist (a₁x₁+a₂x₂, c) = a₁(x₁, c)+a₂(x₂, c) = 0.

(v) Klar ist C ⊆ (C^⊥)^⊥. Die Gleichheit folgt, da beide Teilr¨aume gem¨aß dem

n¨achsten Satz die gleiche Dimension haben. ¤

Beispiel: F¨ur C=e8 gilt C^⊥ =C.

Satz 47.10 Sei C ≤A^N ein linearer Code der Dimension dim(C) = k.

(i) dim(C^⊥) = N −k.

(ii) Ist (Ik|PN−k) eine Erzeugermatrix von C, so ist (−P_N^tr_−k|IN−k) eine Erzeu- germatrix vonC^⊥.

Beispiel: A=F2,N = 6, k = 2, Erzeugermatrix von C:

µ 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1

¶ .

(5)

Dann ist dim(C^⊥) = 6−2 = 4 und eine Erzeugermatrix von C^⊥ ist:







0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1







Bemerkung IstB eine Erzeugermatrix von C^⊥, so gilt f¨ur allex∈A^N: x∈C ⇔x·B^tr = 0

Eine MatrixH ∈A^N^×N−kmit der Eigenschaft, daßx∈C ⇔x·H= 0 für alle x∈ A^N heißt Prüfmatrix oderKontrollmatrix für den CodeC.

MDD für lineare Codes Sei C ≤ A^N ein linearer Code und H ∈ A^N×(N^−k) eine Prüfmatrix für C. Wird das Codewort c ∈ C gesendet und fügt der Kanal den Fehlervektorehinzu, so wird der Vektorc+eempfangen. Gilt (c+e)H = 0 (z.B.

bei e = 0), so ist c+e ∈ C und jeder MDD f wird c+e zu f(c+e) = c+e decodieren. I.a. ist aber (c+e)H =cH+eH = 0+eH =v ∈A^N^−k. Bestimmt man nun f¨ur jedes v ∈ A^N^−k einen Vektor a :=av ∈ A^N m¨oglichst kleinem Gewichts (der vermutliche Fehlervektor), mitaH =v so kann man jedes empfangene Wort x∈A^N mit xA=v zu einem Codewort c=x−a decodieren mitd(c, x) =w(a).

Bemerkung 47.11 Sei C ≤ A^N ein linearer Code und H ∈ A^N^×(N^−k) eine Pr¨ufmatrix f¨urC.

(i) F¨ur x∈A^N heißtxH ∈A^N−k das Syndrom von x.

(ii) Ista∈A^N mitaH =s, so ist die Menge aller Vektorenx∈A^N mit demselben Syndrom gleich

H⁻¹(s) := {x∈A^N |xH =s}={a+c|c∈C}.

(iii) F¨urs ∈S heißtas ∈H⁻¹(s)einminimaler Vertreter, fallsw(as) = min{w(x)| x∈H⁻¹(s)}.

(iv) Es gilt A^N =∪^.s∈S H⁻¹(s).

(v) Wählt man für jedess ∈S einen minimalen Vertreter as, so ist die Funktion f :A^N →C definiert durch f(a) :=a−as, falls aH =s ist, ein MDD für C.

Beispiel: C≤F⁶₂, Erzeugermatrix Gund Pr¨ufmatrix H:

G:=







1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1







, H :=





 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1







Die Menge der Syndrome istF²2und eine Menge minimaler VertreterV ist gegeben als:

V ={a00= (0,0,0,0,0,0), a10 = (0,1,0,0,0,0), a01 = (0,0,1,0,0,0), a11= (1,0,0,0,0,0)}.

(6)

47.3 Bin¨ are Hamming Codes als Beispiele f¨ ur lineare Co- des

Definition 47.12 Sei N = 2^r−1 f¨ur ein r∈ N. Sei H ∈F^N₂ ^×r eine Matrix, in deren Zeilen gerade alle Vektorenxi 6= 0 von F^r₂ stehen:

H =





 x1

x2

...

xN







Der CodeC mit Pr¨ufmatrix H heißt Hamming Code der L¨ange N. Beispiel: r= 2⇒N = 3 und

H =



 0 1 1 0 1 1





Der Hamming-Code hat Dimension 1 und ErzeugermatrixG= (1,1,1).

r= 3⇒N = 7 und

H =







0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1







Der Hamming Code hat Dimension 4 = 7-3 und Erzeugermatrix

G=







1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1







Satz 47.13 Ist N = 2^r−1, so gibt es bis auf ¨Aquivalenz genau einen Hamming CodeC =HN =HN(2) der L¨angeN. Dieser ist von Dimension dim(C) =N−r und hat Minimalabstand d(C) = 3.

Beweis. Eindeutigkeit: Umordnen der Zeilen der Pr¨ufmatrix H von C liefert zu C ¨aquivalenten Code. dim(C) =N −Rang(H) =N −r. Zum Minimalabstand:

Sei wie oben die i-te Zeile von H mit xi bezeichnet. Ein Wort c = (c1, . . . , cN) liegt genau dann inC, fallsc1x1+. . .+cNxN = 0. Ist nunc6= 0, so istw(c)≥3,

da je 2 Vektorenxi linear unabh¨angig sind. ¤

(7)

Bemerkung 47.14 Ist C =HN(2) der Hamming Code der L¨ange N = 2^r−1, so ist S = F^r₂ die Menge der Syndrome von C gerade die Menge der Zeilen der Pr¨ufmatrix H zusammen mit dem Nullvektor. Ist xi ∈ S − {0} die i-te Zeile von H, so ist der eindeutig bestimmte minimale Vertreter zu xi gerade der i-te Einheitsvektor ei = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) (1 an der i-ten Stelle).

Definition 47.15 Ein Code C ⊆A^N heißt perfekt, falls es eine Zahl e gibt, so daß zu jedem a∈A^N genau ein c∈C existiert mit d(a, c)≤e.

Beispiel: (i)C =A^N ist ein perfekter Code mite = 0.

(ii) IstA=F2undN ungerade, so ist der WiederholungscodeC ={(0, . . . ,0),(1, . . . ,1)}

ein perfekter Code mit e= ^N−1₂ .

(iii) Der Hamming CodeH7(2) ist ein perfekter Code mit e= 1.

Satz 47.16 Hamming Codes sind perfekte Codes mit e= 1.

Beweis. Sei C der Hamming Code der L¨ange N = 2^r−1 mit Pr¨ufmatrix H und a ∈ F^N₂ . Dann gilt entweder aH = 0 oder aH = xi = eiH ist ein Vektor 6= 0 inF^r2 und damit gleich einer Zeile (der i-ten) von H. D.h. entwedera ∈C, oder a−ei ∈C. Dad(a−ei, a) =w(ei) = 1 ist, gibt es also zu jedema∈F^N₂ ein c∈C mit d(a, c)≤1. Die Eindeutigkeit eines solchen cfolgt, da d(C) = 3 ist. ¤

Es gilt: Satz

IstC ein perfekter bin¨arer linearer Code mite= 1, so istC ein Hamming Code.

Ist C ein perfekter binärer linearer Code mit e >1, so istC ein Wiederholungs- code,C ={(0. . .0),(1. . .1)}oderC ist der binäre Golay CodeG23 der Länge 23 und Dimension 12. Es gilt d(G₂₃) = 7 und G₂₃ ist ein perfekter Code mit e = 3.

Eine Erzeugermatrix f¨urG23 ist (I12, P) mit

P =







1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1







Definition 47.17 Sei A ein K¨orper und C ⊆A^N ein Code. Dann ist der erweiterte Code C˜ ⊆A^N⁺¹ definiert als

C˜ :={(c₁, . . . , cN, c_N+1)|(c₁, . . . , cN)∈C, c_N+1 =−

N

X

i=1

ci}.

(8)

Satz 47.18 SeiC ≤A^N ein linearer Code der Dimensionk. Dann giltdim( ˜C) = k. Ist G eine Erzeugermatrix und H eine Pr¨ufmatrix f¨ur C, so sind

G˜ := (G|g), H˜ :=







1 H ...

1 0 . . . 0 1







Erzeugermatrix bzw. Pr¨ufmatrix von C, wo˜ gk :=−PN i=1Gki. Beispiel: (i) Der erweiterte Hamming Code H^7(2) =e8. (ii) C ≤ F⁵₂, Erzeugermatrix G =

µ 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1

¶

. Der erweiterte Code ist C˜ ⊆ F⁶2 mit Erzeugermatrix ˜G =

µ 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

¶

. Eine Pr¨ufmatrix f¨ur C

istH=







0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1







. Eine Pr¨ufmatrix f¨ur ˜C ist entweder







0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1





 oder

H˜ =







0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1





 .

Bemerkung 47.19 Sei C ≤F^N2 ein linearer bin¨arer Code und C˜ der erweiterte Code. Dann sind die Gewichte w(˜c) ∈ 2Z gerade f¨ur alle ˜c ∈ C. Ist also˜ d(C) ungerade, so ist d( ˜C) =d(C) + 1.

48 Endliche K¨ orper

48.1 Ringe und Ideale

Definition 48.1 Ein Ring (kommutativer Ring mit Einselement) (R,+,·) = R ist eine Menge R mit 2 Verkn¨upfungen +,·, die die folgenden Gesetze erf¨ullen:

Ak x+y=y+x (Kommutativgesetz)

Aa (x+y) +z =x+ (y+z) (Assoziativgesetz) An ∃0∈R, so daß

(i) x+ 0 = x f¨ur alle x ∈ R und (ii) f¨ur alle x ∈ R gibt es ein y ∈ R mit

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x+y= 0

Mk x·y=y·x (Kommutativgesetz)

Ma (x·y)·z =x·(y·z) (Assoziativgesetz) Mn ∃1∈R, so daß x·1 =x f¨ur alle x∈R.

AM x·(y+z) =x·y+x·z.

Beispiele: (i) Jeder Körper (also z.B.R,Q, C, F2) ist ein Ring, wobei in Körpern zusätzlich jedes Element 6= 0 ein multiplikatives Inverses hat.

(ii) Z ist ein Ring. Es gibt in Zaber z.B. kein Element a mit 2a= 1.

(iii) Die Menge der Polynome K[x] ={

n

X

i=0

aixⁱ |n∈N, ai ∈K}

über einem KörperK (oder allgemeiner über einem Ring) ist ein Ring. Auch hier können wir nicht durch alle Elemente 6= 0 teilen.

Definition 48.2 Sei R ein Ring. Eine TeilmengeI ⊆R heißt ein Ideal, falls gilt (i) F¨ur alle a, b∈I liegt auch die Summe a+b∈I.

(ii) F¨ur alle a∈I und r∈R gilt ra∈I.

In Zeichen IER.

Beispiele: (i) Ist R ein Ring, so ist {0} ⊆ R ein Ideal, das Nullideal. Ebenso ist R selbst ein Ideal in R.

(ii) Die Menge der geraden Zahlen bildet ein Ideal inZ, die Menge der ungeraden Zahlen jedoch nicht.

(iii) Ist n∈Z, so bildet die Menge aller durchn teilbaren Zahlen in Z ein Ideal.

Bemerkung 48.3 (i) Ist I ein Ideal in einem Ring R, so gilt I =R⇔1∈I.

(ii) Ein K¨orper K hat genau 2 Ideale, {0} und K.

(iii) Ist R ein Ring und a ∈ R, so ist die Menge {ar | r ∈ R} ein Ideal von R.

Dieses wird mit(a) bezeichnet und heißt das von a erzeugte Hauptideal.

Beweis. (i) I = R ⇒ 1 ∈ I ist klar. Zur anderen Richtung. Sei 1 ∈ I ER. Ist r∈R, so gilt r=r·1∈I und damit R⊆I, also R =I.

(ii) SeiIEK mitI 6={0}. Dann gibt esk∈I mit k6= 0. DaK ein K¨orper ist, ist k in K invertierbar, d.h. es gibt k⁻¹ ∈K mit k⁻¹k = 1. Damit ist 1 = k⁻¹k ∈I und daherI =K.

(iii) Klar, (i) und (ii) aus Definition 48.2 nachrechnen. ¤

(10)

48.2 Restklassenringe

Definition 48.4 Sei R ein Ring und I ein Ideal in R. F¨ur r∈R heißt r :=r+I :={r+i|i∈I}

die Restklasse von r nach I. Die Menge der Restklassen nach I wird mit R/I :={r+I |r ∈R}

bezeichnet.

Beispiel: R = Z, I = (2) = {2n |n ∈Z}. 4 +I = I Menge der geraden Zahlen, 7 +I = 1 +I Menge der ungeraden Zahlen undZ/(2) hat genau 2 Elemente 0,1.

Bemerkung 48.5 Es gilt a ∈ b ⇔ a−b ∈ I. Daf¨ur schreiben wir auch a ≡ b (mod I), bzw. a≡b (mod p), falls I = (p) ein Hauptideal ist.

Satz 48.6 IstIERein Ideal in einem RingR, so wirdR/I zu einem Ring durch r1+r2 :=r1+r2 und r1·r2 :=r1·r2, der Restklassenring von R nach I.

Beweis. Die Ringgesetze folgen aus denen vonR. Das Nullelement von R/I ist 0 und das Einselement ist 1. Das einzige, was zu zeigen ist, ist daß die definierten Verkn¨upfungen nicht von der Wahl von ri ∈ ri + I abh¨angen. Sei also r₁⁰ = r1+i1 ∈ r1 und r₂⁰ =r2+i2 ∈r2. Dann ist r1 =r⁰₁ und r2 =r₂⁰. Zu zeigen, daß r1+r2 =r⁰₁+r₂⁰ und r1·r2 =r⁰₁·r⁰₂.

r₁⁰ +r⁰₂ =r1+i1+r2+i2 =r1+r2+ (i1 +i2) = r1+r2

r₁⁰ ·r₂⁰ = (r1 +i1)·(r2+i2) =r1r2+ (r1i2+r2i1+i1i2) = r1r2

¤ Beispiel n∈Z, Z/nZ={0,1,2, . . . , n−1}.

n= 2: Z/2Z=F2.

n= 3: Z/3Z={0,1,2 = −1} mit 1 + 2 = 3 = 0, 2·2 = 4 = 1.

n= 4: Z/4Z={0,1,2,3} mit 2 + 3 = 5 = 1, 2·2 = 4 = 0.

Definition 48.7 Seien a, b ∈ Z, a, b 6= 0. Dann sagen wir a teilt b, falls es ein n∈Z gibt, mit a·n=b. Der gr¨oßte gemeinsame Teiler ggT(a, b) von a und b ist max{d∈N|d teilt a und d teiltb}.

Satz 48.8 Der gr¨oßte gemeinsame Teiler d von zwei ganzen Zahlen a, b 6= 0 kann mit dem folgenden Algorithmus berechnet werden, mit dem weiter zwei ganze Zahlen x1, x2 bestimmt werden mit d=x1a+x2b.

(11)

Idee: Seia1 :=a, a2 :=b. an+2 = Rest der Division von an durch an+1: a1 = q1a2 + a3 mit |a3|<|a2| fallsa2 6= 0 a2 = q2a3 + a4 mit |a4|<|a3| fallsa3 6= 0 a₃ = q₃a₄ + a₅ mit |a₅|<|a₄| fallsa₄ 6= 0 a4 = q4a5 + a6 mit |a6|<|a5| fallsa5 6= 0 a5 = q5a6 + a7 mit |a7|<|a6| fallsa6 6= 0

... ... ... ... ...

Da|ai|immer kleiner werden, giltan = 0 für einn. Ist z.B.a7 = 0 (unda6 6= 0), so gilta₅ =q₅a₆, d.h. a₆ teilt a₅,a₄ =q₄a₅+a₆ = (q₄q₅+ 1)a₆, d.h. a₆ teilt a₄, usw., d.h. a6 teilt a2 und a6 teilt a1. Wir suchen nunx1, x2 ∈Z mit a6 =x1a1+x2a2. Dann ist|a6|= ggT(a1, a2) wirklich der größte gemeinsame Teiler von a1 und a2, da jede Zahl, die a1 und a2 teilt, auch a6 = x1a1 +x2a2 teilt. Dazu lösen wir rückwärts auf:

a₆ =a₄−q₄a₅ =a₄−q₄(a₃−q₃a₄) = (1+q₄q₃)a₄−q₄a₃ = (1+q₄q₃)(a₂−q₂a₃)−q₄a₃ =

= (1 +q4q3)a2−(q2+q4q3q2+q4)a3 = (1 +q4q3)a2−(q2+q4q3q2+q4)(a1−q1a2) =

=−(q₂+q₄q₃q₂+q₄)a₁+ (1 +q₄q₃+q₁q₂+q₁q₄+q₄q₃q₂q₁)a₂ Algorithmus 48.9 Euklidischer Algorithmus

Eingabe: a, b∈Z, a, b6= 0.

Ausgabe: d= ggT(a, b) und x, y ∈Z, mit d=xa+yb.

0) Setze x0 := 1, x1 := 0, y0 := 0, y1 := 1, e := 1.

1) Bestimme q, r∈Z mit|r|<|b| und a =qb+r.

2) Setze h :=qx1 +x0, x0 :=x1, x1 :=h sowie h :=qy1 +y0, y0 :=y1, y1 :=h und e:=−e.

3) Ist r6= 0, so setze a :=b, b :=r und gehe zu 1).

4) (r = 0). Setze d := b und gib d = ggT(a, b) und x := e·x0 und y := −e·y0

aus.

Beispiel: a= 82, b= 24:

82 = 3·24 + 10 24 = 2·10 + 4 10 = 2·4 + 2

4 = 2·2 + 0. Also ist 2 = ggT(82,24) und

2 = 10−2·4 = 10−2·(24−2·10) = 5·10−2·24 = 5·(82−3·24)−2·24 = 5·82−17·24.

Beispiel:a= 37, b= 41. Gesucht 37⁻¹ ∈Z/41Z. Dazu: 41 ist eine Primzahl, also ist ggT(37,41) = 1. Suchen mit dem Euklidischen Algorithmus Zahlen x, y ∈ Z mit 37x+ 41y = 1. Dann gilt 37x= 1−41y= 1∈Z/41Z. Also ist x= 37⁻¹. 41 = 37 + 4 und 37 = 9· 4 + 1. Also ist 1 = ggT(37,41) = 37 − 9 · 4 = 37−9·(41−37) = 10·37−9·41, d.h. 37⁻¹ = 10.

(12)

Satz 48.10 Ist p∈ Z eine Primzahl (d.h. p >1 und p ist nur durch 1 und sich selbst teilbar), so ist der Restklassenring Z/pZ=:Fp ein K¨orper, der (eindeutig bestimmte) K¨orper mit p Elementen.

Beweis. Wir wissen schon, daßZ/pZein Ring ist. D.h. wir müssen nur noch zeigen, daß wir zu jedem Elementa6= 0∈Z/pZeinb∈Z/pZfinden, mitab= 1, d.h. wir müssen die Gleichungab= 1 +px für jedes a6∈ (p) lösen. Da a6= 0 ∈Z/pZ ist, gilt p teilt nicht a. Also ist ggT(a, p) = 1. Nach dem Euklidischen Algorithmus gibt es Zahlen b, x mit b·a+x·p= 1. Also ist ba= 1 inFp. ¤ Bemerkung:

Der Euklidische Algorithmus zeigt, daß alle Ideale in Z Hauptideale sind, d.h.

{nZ|n∈N∪ {0}} ist die Menge aller Ideale inZ.

Denn: Sei IEZ ein Ideal. Ist I 6= (0), so gibt es 0 6= a ∈ I. Also ist (a) ⊆ I.

Ist I 6= (a), so gibt es b ∈ I −(a). Dann ist d := ggT(a, b) = xa+yb ∈ I und (a) ⊂ (d) ⊆ I. Da b ∈ (d) ist, ist das Hauptideal (d) echt gr¨osser als (a). Nach endlich vielen Schritten ist dann I = (d) ein Hauptideal.

Definition 48.11 Sei R=K[x] der Polynomring ¨uber einem K¨orper K.

(i) Sind a, b∈R, so sagen wir a teilt b, falls es ein q ∈R gibt mit b=aq.

(ii) Ein Polynom p ∈ R heißt irreduzibel, falls d := Grad(p) ≥ 1 ist und alle Teiler von p entweder Grad 0 oder Grad d haben.

(iii) Sind a, b∈R, a, b6= 0, so heißt das normierte (f¨uhrender Koeffizient ist 1) Polynom p ∈ R maximalem Grades, welches beide Polynome a und b teilt der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a und b, p:= ggT(a, b).

Beispiel: Bestimme ggT(x²+ 1, x²+x+ 1) inF2[x].

x²+x+ 1 = (x²+ 1) +x x²+ 1 =x·x+ 1

x=x·1 + 0.

Also ist 1 = ggT(x²+ 1, x²+x+ 1) = (x²+ 1)−x·x= (x²+ 1)−x(x²+x+ 1−(x²+ 1)) = (1 +x)(x²+ 1)−x(x²+x+ 1).

Satz 48.12 Sei K ein Körper und R := K[x] der Ring der Polynome über K. Analog zum Euklidischen Algorithmus 48.9 für ganze Zahlen kann man den größten gemeinsamen Teiler d = ggT(a, b) = xa+yb ∈ R (x, y ∈ R), von zwei Polynomena, b∈R, a, b6= 0 berechnen. Dazu ersetzt man in 48.9 den Schritt 1) durch

1’) Bestimme q, r ∈R mitGrad(r)< Grad(b) und a =qb+r.

Analog zu Satz 48.10 gilt:

Satz 48.13 Sei K ein K¨orper und R :=K[x] der Ring der Polynome ¨uber K.

Ist p∈R irreduzibel, so ist R/(p) ein K¨orper.

(13)

Beispiel: (i) Sei K =R und p(x) = x² + 1. Sei R :=R[x]/(x²+ 1). Dann ist R ein 2-dimensionaler Vektorraum ¨uber R mit Basis (1, x). Weiter ist p(x) ∈ R[x]

irreduzibel. x∈R[x]/(x²+ 1) erf¨ullt x² =−1 und R[x]/(x²+ 1)∼=C.

(ii) Sei K = F2 und p(x) = x² +x+ 1 ∈ F2[x]. Dann ist p(x) irreduzibel und R:=F2[x]/(p(x)) ein K¨orper.R ist ein 2-dimensionaler Vektorraum ¨uberF2 mit Basis (1, x). Elemente vonR: 0,1, x, x+ 1. Multiplikationstabelle:

· 0 1 x x+ 1

0 0 0 0 0

1 0 1 x x+ 1

x 0 x x+ 1 1

x+ 1 0 x+ 1 1 x

Beispiel

K = F2[x]/(x² + x+ 1). Sei α := x ∈ K. Dann gilt α² = α + 1 und jedes Element vonK l¨aßt sich eindeutig schreiben als a0+a1α mit a0, a1 ∈ F2. K ist als Vektorraum also isomorph zu F²₂. Das Element α ist ein primitives Element von F2² und es gilt

0 = = (00)

1 = 1 = (10)

α = α = (01)

α² = 1 + α = (11)

Beispiel Der Hexacode: Sei α := x ∈ F2[x]/(x²+x+ 1) = F4. Der Hexacode C6

ist der lineare Code der Dimension 3 inF⁶4 mit Erzeugermatrix:





1 0 0 1 α² α 0 1 0 1 α α²

0 0 1 1 1 1



.

Eine Pr¨ufmatrix von C₆ ist

H :=







1 α² α 1 α α²

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1





 .

Es giltr(C6) = ¹₂ und d(C6) = 4.

(14)

Indem manαdurch (01), 1 durch (10) usw. ersetzt erhält man aus dem Code der Länge 6 und Dimension 3 über F4 einen Code der Länge 12 und Dimension 6, Minimalabstand 4 über F2 mit Erzeugermatrix:







1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1





 .

Hauptsatz 48.14 Sei K ein endlicher K¨orper. Dann gilt

(i) Es gibt ein n ∈N mitn·1 = 1 +. . .+ 1 = 0 (n Summanden).

(ii) char(K) := min{n ∈N|n·1 = 0} ist eine Primzahl und heißt die Charakte- ristik von K.

(iii) Ist p:= char(K), so gilt Fp ={0,1,2 = 1 + 1, . . . , p−1} ⊆K und K ist ein Fp-Vektorraum. Istf := dim_F_p(K), die Dimension von K als Fp-Vektorraum, so gilt |K|=p^f.

(iv) Es gibt ein Element α ∈ K, so daß die Menge K^∗ := K − {0} aus den Potenzen von α besteht.

K^∗ ={α⁰ = 1, α, α², . . . , α^p^f⁻¹} Ein solches α∈K heißt primitives Element von K.

(v) Je zwei endliche KörperK,K⁰ mit|K|=|K⁰|sind isomorph, d.h. es gibt eine bijektive Abbildungϕ :K →K⁰ mitϕ(a+b) = ϕ(a)+ϕ(b)undϕ(a·b) =ϕ(a)·ϕ(b) für allea, b∈K. Wir bezeichnen den endlichen Körper mitp^f Elementen alsFp^f. (vi) Für allea∈Fp^f gilta^p^f =a undFp^f besteht gerade aus denp^f verschiedenen Nullstellen von x^p^f −x. Daraus sieht man, daß

Fp^d ⊆Fp^f ⇔d teilt f.

(vii) Fp^f ∼= Fp[x]/(h(x)), wo h(x) ∈ Fp[x] ein irreduzibles, normiertes Polynom vom Gradf ist.

Beweis. (i) 1,1 + 1,1 + 1 + 1, . . . sind alles Elemente von K. Da K endlich ist, k¨onnen diese nicht alle verschieden sein, d.h. es gibt einn < m mit n·1 =m·1.

Dann ist aberm−n ∈Nund (m−n)·1 = 0.

(ii) Sein ∈Nminimal mit n·1 = 0. Istn=abmit a, b∈N, a < nund b < n, so gilt a·16= 0 undb·16= 0. D.h. es gibt ein a⁻¹ ∈K mit a⁻¹(a·1) = 1. Also gilt

0 =a⁻¹0 = a⁻¹n·1 = a⁻¹(ab)·1 = a⁻¹(a·1)(b·1) = (b·1)6= 0

was ein Widerspruch ist. Also gibt es keine solchen Elemente a, b∈ N und n ist eine Primzahl.

(15)

(iii) Sei p := char(K). Dann gilt M := {0,1,2·1, . . . ,(p−1)·1} ⊆ K und die Elemente von M addieren und multiplizieren sich genauso wie die von Z/pZ.

Also istFp ⊆K. Elemente vonK kann man addieren und mit Elementen von Fp

multiplizieren, also ist K ein Vektorraum ¨uber Fp.

(iv), (v), (vi) Sind nicht schwierig, brauchen jedoch etwas mehr Vorbereitung.

(vii) Isth(x)∈Fp[x] irreduzibel vom Gradf, so ist Fp[x]/(h(x)) ein K¨orper mit p^f Elementen also isomorph zu Fp^f. Es bleibt zu zeigen, daß es zu jedem f ein irreduzibles Polynom h(x) ∈ Fp[x] mit Grad(h) = f gibt. Auch dies ist nicht schwierig (geht durch Abz¨ahlen), wird aber hier weggelassen. ¤ Beispiel

K = F2[x]/(x⁴ +x+ 1). Sei α := x ∈ K. Dann gilt α⁴ +α+ 1 = 0 und jedes Element von K l¨aßt sich eindeutig schreiben als a₀ +a₁α +a₂α² +a₃α³ mit a0, a1, a2, a3 ∈F2. K ist als Vektorraum also isomorph zu F⁴₂. Das Element α ist ein primitives Element von F2⁴ und es gilt

0 = = (0000)

1 = 1 = (1000)

α = α = (0100)

α² = α² = (0010)

α³ = α³ = (0001)

α⁴ = 1 + α = (1100)

α⁵ = α + α² = (0110)

α⁶ = α² + α³ = (0011)

α⁷ = 1 + α + α³ = (1011)

α⁸ = 1 + α² = (1010)

α⁹ = α + α³ = (0101)

α¹⁰ = 1 + α + α² = (1110) α¹¹ = α + α² + α³ = (0111) α¹² = 1 + α + α² + α³ = (1111) α¹³ = 1 + α² + α³ = (1011)

α¹⁴ = 1 + α³ = (1001)

Man beachte, daß z.B. auch die Potenzen von α³ den F2-Vektorraum K er- zeugen, da 1, α³, α⁶, α⁹ also (1000),(0001),(0011),(0101) linear unabh¨angig sind.

Jedoch ist β :=α³ kein primitives Element von K, da β⁵ = (α³)⁵ =α¹⁵ = 1 und daher{βⁱ}={1, α³, α⁶, α⁹, α¹²} nur 5 Elemente enh¨alt (und nicht 15 =|K^∗|).

Rechnen in endlichen K¨orpern. Sei K = Fp^f = Fp[x]/(h(x)) der K¨orper mit p^f Elementen (f = Grad(h)). Dann ist K ein Fp-Vektorraum und man kann die Elemente in K alsf-Tupel

a0+a1x+. . .+af−1x^f−1 ≡(a0, a1, . . . , af−1)∈F^fp

schreiben. In dieser Darstellung ist es einfach, 2 K¨orperelemente zu addieren, aber schwierig, sie zu multiplizieren. Deshalb benutzt man manchmal eine andere

(16)

Darstellung f¨ur die K¨orperelemente durch sogenannteZech-Logarithmen. Ist α ∈ K ein primitives Element, so ist

K ={0} ∪ {1 = α⁰, α, α², . . . , α^p^f⁻²}.

Die Multiplikation ist einfach: αⁱα^j = α^i+j, wobei man den Exponenten i+j modulop^f −1 lesen muß. Zur Berechnung der Summe αⁱ+α^j benutzt man eine Tabelle: Ist i≤j, so ist

αⁱ+α^j =αⁱ(1 +α^j−i)

Es gen¨ugt also, sich f¨ur jede Zahl k das l ∈ {0, . . . , p^f − 2} zu merken mit 1 +α^k =α^l (ist 1 +α^k = 0, so setzt man z.B. l=−1).

Im Beispiel K =F16, α das primitive Element von oben mit α⁴+α+ 1 = 0 findet man 1 +α^k =α^l mit k, l wie folgt:

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 l −1 4 8 14 1 10 13 9 2 7 5 12 11 6 3

Satz 48.15 SeiK :=Fp^f der K¨orper mitp^f-Elementen undFp :={0,1,2, . . . , p−

1} ⊆ K. Dann ist K ein Fp-Vektorraum und die Abbildung F :K →K, α7→α^p ist eine bijektiveFp-lineare Abbildung mit F(αβ) =F(α)F(β) f¨ur alle α, β ∈K. F heißt der Frobenius-Automorphismus von K ¨uber Fp.

Beweis. Seiena, b∈Fp ⊆K und α, β ∈K. Zu zeigen ist F(aα+bβ) =aF(α) + bF(β). Nun ist

(aα+bβ)^p =

p

X

k=0

µp k

¶

(aα)^k(bβ)^p−k mit ¡_p

k

¢ = _k!(p−k)!^p! ∈ Z. Ist 1 ≤ k ≤ p−1, so ist der Z¨ahler von _k!(p−k)!^p! durch p teilbar, der Nenner jedoch nicht. Also ist ¡_p

k

¢ ∈ pZ f¨ur 1 ≤ k ≤ p−1, d.h.

¡_p

k

¢·1 = 0 inK. Damit ist

(aα+bβ)^p = (aα)^p+ (bβ)^p =a^pα^p+b^pβ^p

Es gen¨ugt also zu zeigen, daß f¨ur allea∈Fp =Z/pZdie p-te Potenz a^p =a ist.

Dazu zeigen wir per Induktion ¨ubera, daß f¨ur alle a∈N die p-te Potenza^p ≡a (mod p) ist:

F¨ura = 1 gilt 1^p = 1.

a ⇒ a+ 1: Es ist (a+ 1)^p = Pp k=0

¡_p

k

¢a^k ≡ 1 +a^p (mod p) wie eben. Nach Induktionsvoraussetzung ista^p ≡a (mod p), also ist (a+ 1)^p ≡1 +a^p ≡1 +a (mod p). Also istF eineFp-lineare Abbildung. Der Kern vonF ist{α ∈Fp^f |α^p = 0}={0}. Damit istF injektiv und daher auch bijektiv, aus Dimensionsgr¨unden.

Klar istF(αβ) = (αβ)^p =α^pβ^p =F(α)F(β). ¤

(17)

Folgerung 48.16 Istα∈Fp^f undh∈Fp[x]mith(α) = 0, so gilt auchh(F(α)) = 0.

Beispiel:

x¹⁶−x=x(x+ 1)(x²+x+ 1)(x⁴+x+ 1)(x⁴+x³+ 1)(x⁴+x³+x²+x+ 1) ∈F2[x].

Ist α ∈ F16 eine Nullstelle von x⁴ +x+ 1, so sind {α², α⁴, α⁸, α¹⁶ = α} die 4 Nullstellen von x⁴ +x + 1. F¨ur β := α³ gilt β⁴ +β³ +β² + β + 1 = 0 und {β², β⁴, β⁸, β¹⁶ = β} sind die Nullstellen von x⁴ +x³ +x² +x+ 1. Setzt man γ :=α⁵, so gilt γ² +γ + 1 = 0 ({a0 +a1γ |a0, a1 ∈F2} ≤F16 ist der Teilk¨orper F4 von F16) und {γ², γ⁴ =γ} sind die Nullstellen vonx²+x+ 1.

49 Zyklische Codes

Im gesamten Abschnitt bezeichnet q :=p^f eine Potenz einer Primzahl p und Fq

den K¨orper mit q Elementen.

Definition 49.1 Ein linearer Code C≤F^Nq heißt zyklisch, falls (c1, . . . , cN)∈C ⇒(cN, c1, c2, . . . , cN−1)∈C

Satz 49.2 (i) Die Abbildungϕ :F^Nq →Fq[x]/(x^N−1)definiert durch(a1, . . . , aN)7→

a1+a2x+. . .+aNx^N−1 definiert einen Fq-Vektorraum Isomorphismus.

(ii)C ≤F^Nq ist ein zyklischer Code, genau dann wenn ϕ(C)EFq[x]/(x^N−1) ein Ideal ist.

Beweis. (i) Nachrechnen: Zu zeigen ist, daß die Abbildung Fq-linear und bijektiv ist.

(ii) Es istx(a1+a2x+. . .+aNx^N⁻¹) =a1x+a2x²+. . .+aNx^N

=a1x+a2x² +. . .+aN ·1 =aN +a1x+a2x²+. . .+aN−1x^N−1.

ϕ(C) ist immer einFq-Teilvektorraum vonFq[x]/(x^N−1). Damit ϕ(C) ein Ideal ist, muß zusätzlich noch xϕ(c) ∈ ϕ(C) sein für alle c∈ C. Dies ist nach obiger Rechnung aber genau die Bedingung dafür, daßC ein zyklischer Code ist. ¤ Im folgenden werden wir stets voraussetzen, daß N nicht durch pteilbar ist.

Dann gilt:

ggT(x^N −1, d

dx(x^N −1)) = ggT(x^N −1, N x^N−1) = ggT(x^N −1, x^N⁻¹) = 1 dax·x^N−1 −(x^N −1) = 1 ist. D.h. das Polynom x^N −1 hat keine mehrfachen Nullstellen und l¨aßt sich eindeutig schreiben als Produkt

x^N −1 = f1(x)·. . .·ft(x)

mit f1, . . . , ft∈Fq[x] normiert, irreduzibel und paarweise verschieden.

(18)

Beispiel

N = 15,q = 2:

x¹⁵−1 = (x+ 1)(x²+x+ 1)(x⁴+x+ 1)(x⁴+x³+ 1)(x⁴+x³+x²+x+ 1)∈F2[x].

N = 6, q = 3:

x⁶−1 = (x−1)³(x+ 1)³ ∈F3[x].

N = 4, q = 3:

x⁴−1 = (x−1)(x+ 1)(x²+ 1)∈F3[x].

Diese Faktorisierungen kann man z.B. mit MAPLE berechnen mit dem Befehl Factor(x⁴−1) mod 3

Die Ideale in Fq[x]/(x^N −1) sind dann genau die Hauptideale (fi1...is) wo fi1...is := fi1(x)·. . .·fis(x) f¨ur s ≤ t und 1 ≤ i1 < i2 < . . . < is ≤ t. Der Ring hat also genau 2^t Ideale.

Seig :=fi1·. . .·fis undd:= Grad(g). Dann ist (g) ={ag|a ∈Fq[x]/(x^N−1)}.

Jedes Elementag∈(g) l¨aßt sich schreiben alsbg mit Grad(b)≤N−d−1. Dazu seih∈Fq[x] mit gh=x^N −1. Dann ist Grad(h) =N −d. Polynomdivision mit Rest lieferta=a1h+bmit einem Restbvom Grad≤N−d−1. InFq[x]/(x^N−1) gilt dann ag= (a1h+b)g =bg, da hg = 0 ist. Also ist (g, xg, . . . , x^N−d−1g). eine Basis von (g)EFq[x]/(x^N −1) und dim(g) =N −d.

Beispiel N = 4, q = 3:

x⁴−1 = (x−1)(x+ 1)(x²+ 1)∈F3[x].

I₁₂₃ = ((x−1)(x+ 1)(x²+ 1)) = (0),

I12 = (f12) = ((x−1)(x+ 1)) = (x²−1) hat Dimension 2 undF3-Basis (f12, xf12).

Denn es ist

I₁₂ ={(a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³)(x²−1)|a₀, a₁, a₂, a₃ ∈F3}={a₀(x²−1)+a₁x(x²− 1)+a2x²(x²−1)+a3x³(x²−1)|a0, a1, a2, a3 ∈F3}. Nun istx²(x²−1) =x⁴−x² = 1−x² und x³(x²−1) =−x(x²−1). Daher ist I12={(a0+a1x)(x²−1)|a0, a1 ∈ F3}.

DerI12 entsprechende CodeC12 hat die Erzeugermatrix µ −1 0 1 0

0 −1 0 1

¶

Shiftet man die 2. Zeile dieser Matrix noch einmal nach rechts, so erh¨alt man das negative der ersten Zeile.

Die Ergebnisse fassen wir in dem folgenden Satz zusammen:

Satz 49.3 SeiN nicht durchpteilbar, undx^N−1 =f₁(x)·. . .·ft(x)mit paarweise verschiedenen, normierten, irreduziblen Polynomen f1, . . . , ft ∈Fq[x].

(19)

(i) Setzt man fi1...is :=fi1(x)·. . .·fis(x)f¨ur s≤t und 1≤i1 < i2 < . . . < is ≤t so sind die Hauptideale (fi1...is) genau die Ideale von Fp[x]/(x^N −1). Der Ring hat also genau 2^t Ideale. Ist di := Grad(fi) der Grad des irreduziblen Faktors fi

(d1+. . .+dt=N), so gilt

dim(fi1(x)·. . .·fis(x)) =N −(di1 +. . .+dis).

(ii) Das Polynom g := fi1 ·. . .·fis heißt Erzeugerpolynom des zyklischen Codes Cg := (fi1...is). Ist g =PN−k

j=0 gjx^j, so ist

Gg :=







g0 g1 . . . gN−k 0 0 . . . 0 0 g0 . . . gN−k−1 gN−k 0 . . . 0 ... ... ... . .. . .. ... ... ...

0 . . . 0 g₀ g₁ . . . g_N−k







eine Erzeugermatrix von Cg und k= dim(Cg).

(iii) Ist g wie in (ii) ein Erzeugerpolynom des zyklischen Codes Cg, so heißt das Polynom h∈ Fq[x] mitgh =x^N −1 ein Pr¨ufpolynom von Cg. Es gilt Grad(h) + Grad(g) =N. Weiter liegta∈Fq[x]/(x^N−1)genau dann in Cg, falls ah= 0 ist.

(iv) Sei h wie in (iii) ein Pr¨ufpolynom von Cg. Ist h = Pk

j=0hjx^j, so ist die Matrix

G⁰_h :=







hk h_k−1 . . . h₀ 0 0 . . . 0 0 hk . . . h1 h0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ...

0 . . . 0 hk hk−1 . . . h0







eine Erzeugermatrix von C_g^⊥ und daher (G⁰_h)^tr eine Pr¨ufmatrix von Cg.

Beweis. (ii) Eine Fq-Basis vonCg istg, xg, . . . , x^k−1g, diese Elemente sind genau die Zeilen der Erzeugermatrix.

(iii) Klar ist Grad(h) + Grad(g) = Grad(hg) = N. Außerdem gilt f¨ur a ∈ Fq[x]/(x^N −1):

ah = 0⇔(x^N −1) teiltah ⇔gh teilt ah⇔g teilt a⇔a∈(g) =Cg

(iv) x^N −1 = gh = (PN−k

j=0 gjx^j)(Pk

i=0hixⁱ) = PN l=0(Pl

j=0gjhl−j)x^l. Durch Ko- effizientenvergleich folgt f¨ur 0 < l < N, daß Pl

j=0gjhl−j = 0. Also stehen die Zeilen vonG⁰_h senkrecht auf denen vonGg. Aus Dimensionsgr¨unden erzeugt also

G⁰_h daher C_g^⊥. ¤

(20)

Beispiel 49.4 x⁷−1 = (x+1)(x³+x+1)(x³+x²+1)∈F2[x]. Seig :=x³+x+1.

Dann hat der zyklische Code Cg = (g)EF2[x]/(x⁷ −1) L¨ange 7, Dimension 4 und Erzeugermatrix

Gg :=







1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1







Da h = (x+ 1)(x³+x² + 1) =x⁴ +x²+x+ 1 findet man eine Erzeugermatrix von C_g^⊥ als

G⁰_h :=





1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1



.

Man kann zeigen, daß Cg =H7(2) ein Hamming Code ist.

49.1 Ein Codierer f¨ ur zyklische Codes

Sei C ≤ F^Nq ein Code der Dimension k mit Erzeugermatrix G := (Ik, PN−k).

Codierung besteht dann darin, einem Informationswort u := (u1, . . . , uk) ∈ F^kq

ein Codewort

(c1, . . . , cN) = (u1, . . . , uk, ck+1, . . . cN) =uG∈C

zuzuordnen. Dabei sind die erstenk Komponenten des Codeworts die Informati- onssymbole, die anderen (N −k)-KomponentenKontrollsymbole.

Beispiel:

C ≤ F⁴₂ mit Erzeugermatrix

µ 1 0 1 1 0 1 0 1

¶

. Mit C kann man 4 Informations- worte ¨ubertragen:

u00= (00) wird codiert zu (0000)∈C u₁₀= (10) wird codiert zu (1011)∈C u01= (01) wird codiert zu (0101)∈C u11= (11) wird codiert zu (1110)∈C.

Bei zyklischen Codes kann man die Kontrollsymbole als Rest einer Polynom- division berechnen:

Satz 49.5 Sei g = PN−k

i=0 gixⁱ ∈ Fq[x] ein Teiler von x^N −1 und C := Cg E Fq[x]/(x^N−1)der zyklische Code mit Erzeugerpolynom g. Seiu:=Pk−1

i=0 uixⁱ ein Informationswort. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynomr =PN−k−1

i=0 rixⁱ ∈ Fq[x] mit Grad(r)< N −k= Grad(g), so daß

ux^N−k=gh+r

(21)

f¨ur ein h∈Fq[x]. Dann ist gh= ux^N−k−r =

k−1

X

i=0

uix^N^−k+i−

N−k−1

X

i=0

rixⁱ ≡(−r0,−r1, . . . ,−rN−k−1, u0, u1, . . . , uk−1)∈Cg

Bei den zyklischen Codes kommen bei diesem Codierverfahren zun¨achst die Kontrollsymbole, dann die Informationssymbole. Daher ist es zweckm¨aßig die Reihenfolge aller Codeworte umzudrehen, also die Worte bzgl. der Basis

(x^N⁻¹, x^N−2, . . . , x,1) zu schreiben:

Beispiel g := x⁴ +x + 1 ∈ F2[x] teilt x¹⁵ −1 ∈ F2[x]. Betrachten C = Cg E F2[x]/(x¹⁵−1). Dann ist C ∼=H15(2) der Hamming Code der L¨ange 15 = 2⁴−1 und Dimension 15−4 = 11. Der Codierer ordnet jedem 11-Tupel (u10, u9, . . . , u0)∈ F¹¹₂ ein Codewort (u10, u9, . . . , u0, r3, r2, r1, r0)∈F¹⁵₂ zu, wo

(

10

X

i=0

uixⁱ)x⁴ =gh+

3

X

i=0

rixⁱ

ist. Ist z.B. u = (11010011010), so kann man die Division mit Rest mechanisch wie folgt durchf¨uhren:

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 : 10011 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 0 0 1 1

1 1 1 0 1 1 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 0 0 1 1

1 1 1 1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

Also ist der Restxundc= (110100110100010)∈Cdas zuugeh¨orende Codewort.

49.2 Der Minimalabstand zyklischer Codes

Der Minimalabstand zyklischer Codes ist im allgemeinen schwer zu bestimmen, man hat jedoch eine untere Schranke:

Eine Nullstelleα von x^N −1∈Fq[x] heißtprimitiveN-te Einheitswurzel, falls N = min{n ∈N|αⁿ= 1}. Man beachte, daßαnicht notwendig inFq liegen muß sondern eventuell in einem gr¨oßeren K¨orper.

(22)

Satz 49.6 Sei g ein Teiler von x^N −1 ∈Fq[x] und α eine primitive N-te Ein- heitswurzel. Sind dier aufeinanderfolgenden Potenzenα^b,α^b+1, α^b+2,. . .,α^b+r−1 Nullstellen von g, so gilt f¨ur den zyklischen CodeCg := (g)EFq[x]/(x^N −1) daß d(Cg)≥r+ 1.

Beweis. Sei c := PN−1

i=0 cixⁱ ∈ Cg ein Codewort vom Gewicht s ≤ r und seien ct1, . . . , cts alle von 0 verschiedenen Eintr¨age von c. Da c ∈ Cg ein Vielfaches von g ist und α^b, . . . , α^b+r−1 Nullstellen von g sind gilt c(α^b) =c(α^b+1) = . . .= c(α^b+r−1) = 0. D.h. es gilt

ct1α^bt¹ + . . . + ctsα^bt^s = 0 ct1α^(b+1)t¹ + . . . + ctsα^(b+1)t^s = 0

... ... ...

ct1α^(b+r−1)t¹ + . . . + ctsα^(b+r−1)t^s = 0 Setzt man

H :=







α^bt¹ . . . α^bt^s α^(b+1)t¹ . . . α^(b+1)t^s

... ... ...

α^(b+s−1)t¹ . . . α^(b+s−1)t^s







so gilt also insbesondere H(ct1, . . . , cts)^tr = 0, d.h. c ist im Kern von H. Die Determinante vonH ist aber

det(H) =α^bt¹α^bt²·. . .·α^bt^sdet







1 . . . 1

α^t¹ . . . α^t^s (α^t¹)² . . . (α^t^s)²

... ... ...

(α^t¹)^s−1 . . . (α^t^s)^s−1







=α^bt¹α^bt²·. . .·α^bt^sY

i<j

(α^t^j−α^tⁱ)

nach HMII, 4. ¨Ubungsblatt, Aufgabe 2. Da αeine primitive N-te Einheitswurzel ist, istα^tⁱ 6=α^t^j und det(H)6= 0. Also ist Ker(H) ={0} und c= 0. ¤ Beispiel:

N = 7:x⁷−1 = (x+1)(x³+x+1)(x³+x²+1)∈F2[x]. Seig :=x³+x+1. Dann ist jede Nullstelleαvongein primitives Element vonF2[x]/(x³+x+1) =F8also eine primitive 7-te Einheitswurzel. Da g ∈F2[x] gilt 0 =F(g(α)) =g(F(α)) =g(α²), f¨ur den Frobenius AutomorphismusF. Der Code Cg aus Beispiel 49.4 von oben hat also Minimalabstand≥2 + 1 = 3.

Beispiel:

N = 23,x²³−1 = (x+ 1)g₁g₂ ∈F2[x] mit

g1 =x¹¹+x⁹+x⁷+x⁶+x⁵+x+ 1 g2 =x¹¹+x¹⁰+x⁶+x⁵+x⁴+x²+ 1

(23)

Seiα eine Nullstelle vong1. Dann istα6= 1 undα²³= 1, d.h.α ist eine primitive 23-te Einheitswurzel. Indem man den Frobenius Automorphismus mehrfach auf α anwendet findet man die Nullstellen

α, α², α⁴, α⁸, α¹⁶, α³² =α⁹, α¹⁸, α³⁶ =α¹³, α³, α⁶, α¹²

von g₁. Insbesondere hat g₁ die 4 aufeinanderfolgenden Nullstellen α, α², α³, α⁴, also hatCg ≤F2[x]/(x²³−1) Minimalabstand ≥5. Tats¨achlich ist Cg =G23 der Golay-Code der L¨ange 23 undd(Cg) = 7.

Zyklische Codes, für die Satz 49.6 eine gute untere Abschätzung liefern sind die sogenannten BCH-Codes. Das Erzeugerpolynom eines BCH-Codes, ist das Polynom g kleinsten Grades, für das g(α^b) = . . . = g(α^b+r−1) = 0 für eine primitive N-te Einheitswurzelα:

Definition 49.7 Ein BCH-Code (Bose, Chandhuri, Hocquenghem) mit designiertem Minimalabstand δ über Fq der Länge N ist ein zyklischer Code Cg E Fq[x]/(x^N−1)für den es eine primitive N-te Einheitswurzelα und b∈Z gibt, so daß α^b, α^b+1, . . . , α^b+δ−2 Nullstellen von g ∈Fq[x] sind und g keinen irreduziblen Faktor h hat mith(α^b)6= 0, h(α^b+1)6= 0, . . . und h(α^b+δ−2)6= 0.

IstN =q^m−1(also α ein primitives Element von Fq^m), so heißt der BCH-Code primitiv.

Aus Satz 49.6 folgt direkt:

Bemerkung 49.8 Ist C ein BCH-Code mit designiertem Minimalabstand δ, so ist d(C)≥δ.

49.3 Unvollst¨ andiges Decodieren von zyklischen Codes

Sei C ein BCH-Code der Länge N über Fq mit designiertem Minimalabstand δ = 2t+ 1. Dann gibt es zu jedem a ∈ F^Nq höchstens ein c∈ C mit d(a, c) ≤ t, da C t Fehler erkennen kann. Wir wollen ein Verfahren angeben, wie man zu einema∈F^Nq ein solches c∈C bestimmt, falls es so eincgibt. Dieses Verfahren nennt man “unvollständige” Decodierung, da der Decodierer im Fall daß mehr alst Fehler aufgetreten sind, keine Antwort gibt.

Sei der Einfachheit halber C = Cg EFq[x]/(x^N −1) ein zyklischer Code der L¨ange N, α ∈ Fq^m eine primitive N-te Einheitswurzel (dazu muß N ein Teiler von q^m−1 sein), so daß α,α²,α³, . . ., α^2t Nullstellen vong sind.

Sei

c= (c₀, . . . , cN−1)≡c(x) :=c₀+c₁x+. . .+cN−1x^N−1 ein gesendetes Codewort und

r= (r₀, . . . , r_N−1)≡r(x) := r₀+r₁x+. . .+r_N−1x^N⁻¹