16 Ablenkung von Lichtteilchen in der Newtonschen Physik (3+3+4)

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Christopher Max

Theoretische Physik I 5. Übung - Lösung

Wintersemester 18/19

16 Ablenkung von Lichtteilchen in der Newtonschen Physik (3+3+4)

In dieser Aufgabe behandeln wir die Ablenkung von Licht in der Netonschen Physik.

Das Ziel dieser Aufgabe ist es, ihnen zum Einen die Gelegenheit zu geben, die in der Vor- lesung behandelten Beschreibungen von Bahnen in einem Zentralpotential anhand eines Beispieles besser zu verstehen. Zum Anderen ist das gewählte Beispiel auch historisch sehr wichtig, da es eine messbare Vorhersage über die Natur des Lichts macht.

M 𝛷 R 𝛷

Newton postulierte, dass Licht aus Massenpunkten besteht und damit den Newtonschen Gesetzen der Gravitation unterliegt. Henry Cavendish erkannte 1782, dass diese Annahme zur Folge hat, dass Licht in der Nähe von Massen abgelenkt wird. Im Folgen- den wollen wir diese Ablenkung berechnen.

Betrachten Sie dazu folgendes Szenario in zwei Di- mensionen.

Ein Lichtteilchen bewegt sich an einer Punktmasse M, die sich im Ursprung in Ruhe befindet, vorbei und wird durch dessen Gravitationspotential abge- lenkt. Da die Masse des Licht sehr klein sein muss, befindet sich die Masse M näherungsweise in Ru- he. Aus der Vorlesung wissen Sie, dass die Bahn des Lichtteilchens dann wie folgt in Polarkoordinaten ge- geben ist:

r(ϕ) = p

1 + εcos(ϕ) , ϕ ˙ = l mr

,

wobei > 1 gelte und l bzw. m den Betrag des Drehimpules bzw. die Masse des Licht- teilchens beschreibt.

a) Zeigen Sie zunächst, dass sich die Bahn des Lichtteilchens nur durch die Masse M, den minimalen Abstand R des Lichts zum Ursprung, der Exzentrizität ε und G beschreiben lässt.

b) Bestimmen Sie das Intervall ( − Φ, Φ), in dem der Winkel ϕ variiert, in Abhängigkeit

von ε. Bestimmen Sie daraus den Winkel δ, um den die Lichtbahn insgesamt abgelenkt

wird als Funktion von ε.

c) Bestimmen Sie schlussendlich ε anhand der Annahme, dass sich das Licht in sehr grosser Entfernung von der Masse mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Berechnen Sie den Ablenkungswinkel δ für das Beispiel der Sonne mit M = 2 · 10

kg und R = 7 · 10

m.

Die vorhergesagte Ablenkung des Lichts durch die Sonne wurde tatsächlich während einer Sonnenfinsternis im Jahr 1919 von A. Eddington beobachtet. Allerdings ist die gemessene Ablenkung doppelt so stark, wie von der Newtonschen Mechanik vorhergesagt. Erst die allgemeine Relativitätstheorie kann diese Ablenkung korrekt vorhersagen. In der modernen Astronomie wird die gravitative Ablenkung des Licht, im Allgemeinen bekannt als Gravitationslinseneffekt, dazu benutzt, die Masse von Galaxien und anderen sehr massereichen Objekten zu bestimmen.

Lösung:

a) Der minimale Radius R wird für ϕ = 0 erreicht, d.h. es gilt R = r(0) = p

1 + ε ⇒ p = R(1 + ε).

Nach Vorlesung gilt p =

. Daraus folgt l = p

R(1 + ε)M Gm und somit

˙ ϕ = l

m 1 r

= p

R(1 + ε)M G 1

r

. (1)

b) Damit der Radius wohldefiniert ist muss 1 + εcos(ϕ) > 0 gelten. Der Winkel varriert somit in dem Intervall ( − Φ, Φ), wobei Φ über die Gleichung 1 + εcos(Φ) = 0 definiert ist. Es gilt somit

cos(Φ) = − 1

ε ⇒ Φ = arccos − 1

ε

∈ [0, π).

Der Ablenkungswinkel δ ist wie folgt gegeben:

δ = 2Φ − π = 2arccos − 1

ε

− π.

M R

2𝛷

𝛿

c) Sehr weite Entfernung vom Ursprung entspricht dem Limes r → ∞ bzw. ϕ → ± Φ.

Die Geschwindigkeit der Bahn ist gegeben durch | ~ r ˙ | = p

˙

r

+ (r ϕ) ˙

. Es gilt

˙

r = R(1 + ε)

(1 + εcos(ϕ))

εsin(ϕ) ˙ ϕ = ε

R(1 + ε) sin(ϕ) ˙ ϕr

.

Mit Gleichung (1) folgt daraus

| ~ r ˙ |

= ε

M G

R(1 + ε) sin

(ϕ) + R(1 + ε)M G 1

r

= M G R(1 + ε)

1 + 2εcos(ϕ) + ε

(sin

(ϕ) + cos

(ϕ))

= M G R(1 + ε)

1 + 2εcos(ϕ) + ε

)

Für den Limes ϕ → ± Φ gilt somit c

= M G

R(1 + ε)

− 1 + ε

)

⇒ ε = 1 + c

R M G .

Einsetzen der Wert liefert die Winkelabweichung δ ≈ 4, 24 · 10

≈ 0, 87

.

17 Keplerproblem (10)

Angenommen, die Schwerkraft der Sonne (ortsfest in O ) auf die Erde wäre proportional

zur vierten Potenz des Abstandes, d.h.

F ~ (~ r) = − β r

ˆ r

Skizzieren Sie das effektive Potential und diskutieren Sie qualitativ die möglichen Bahnen der Erde. Sind die Bahnen eben? Gilt der Flächensatz? Ist eine Kreisbahn möglich? Wenn ja, wäre sie stabil gegen Störungen?

Lösung:

Skizze:

0 5 10 15 20 25 30

r

−3

−2

−1 0 1 2 3

U(r)

Zentrifugalpotential Gravitationspotential effektives Potential

U

= l

2mr

− β 3r

Aus der Drehimpulserhaltung folgt, dass die Bahnen eben sind

~

r · ~l = ~ r · (m~ r × ~ r) = ˙ ~ 0

und dass der Flächensatz gilt:

dA dt = 1

2

| ~ r(t) × ~ r(t)∆t ˙ |

∆t = l

2m = konst.

Eine Kreisbahn ist möglich, wenn das Teilchen die Energie des maximalen Potentials besitzt. Da es sich hierbei jedoch nur um ein labiles Gleichgewicht handelt, ist diese Kreisbahn nicht stabil gegen Störungen.

18 Der Einfluss der Gezeiten auf die Mondbahn (3+5+2)

ruhend angenommenen Mittelpunkt der Erde beschreibt. Bestimmen Sie den Radius R

dieser Mondbahn als Funktion seines Drehimpulses.

Die Beschleunigung auf einer Kreisbahn von Radius R und Winkelfrequenz ω ist bekanntlich − ω

R~ e

und nach Newton gleich M

F ~

= − GM

/R

~ e

, d.h. ω

R

= GM . Mit Monddrehimpulsbetrag l = M

R

ω erhalten wir hieraus

R

≡ R = l

GM

M

.

b) Der Betrag L

des Erddrehimpulses aufgrund einer Erdrotation mit Winkelfrequenz ω ist näherungsweise durch

L

= 2

5 M

R

ω

gegeben. Hierbei ist m

die Erdmasse und R

der Erdradius. Bestimmen Sie daraus und dem Ergebnis aus a) die prozentuale Zunahme des Mondbahnradius R

während der letzten 70 Mill. Jahren (lineare Nährung reicht aus).

Hinweis: das Verhältnis von Erd- zu Mondmasse ist M

/M

≈ 81, das Verhältnis

von aktuellem (mittleren) Abstand Erde-Mond zu Erdradius ist R

/R

≈ 60.

Nach a) ist

= 2

und somit in linearer Näherung

M

= 2

. Mit

∆L = − ∆L

= − 2

5 M

R

∂ω

∂T

∆T

und l = M

R

ω

erhalten wir

∆R

R

= 2 ∆l l = 4

5 M

M

R

R

T

T

∆T

T

,

wobei T

= 24h die Tagesdauer, ∆T

=

h deren Änderung und T

≈ 28d die Um- laufzeit des Mondes. Mit den angegebenen Massen- und Radienverhältnissen ergibt dies ∆R

= 0.0105R

entsprechend einer prozentualen Vergrößerung von R

um etwa 1%.

c) Hat sich die Gesamtenergie des Mondes während dieses Zeitraums vergrößert oder verringert?

Bei der hier vorliegenden Kreisbahn mit r(t) = R

verschwindet r ˙ weshalb E = U

(R

) = l

2M

R

− GM

M

R

= 1 R

l

2M

R

− GM

M

=

− 1

2 GM

M

1 R

.

Die Gesamtenergie des Mondes hat sich also während der letzten 70 Mill. Jahren um

∆E = + GM

M

2R

∆R

R

≈ + | E | 0.0105

vergrößert. Dieser Energiegewinn des Mondes wird durch den Verlust an Rotations-

energie der Erde überkompensiert.