O
A
B
Winkel ϕ (a;b) zwischen zwei Vektoren a und b / Skalarprodukt
Kosinussatz:
2 2 2
a b − = a + b − ⋅2 a ⋅ b cos⋅ ϕ(a;b) 2 a b cos (a;b)
⇔ ⋅ ⋅ ⋅ ϕ
2 2 2
a b a b
= + − −
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b a b
a b a b
a b a b
−
= + − −
−
a
BA= −a b
(a;b) ϕ
b
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
a a a b b b (a b ) (a b ) (a b )
= + + + + + − − + − + −
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
a a a b b b a 2a b b a 2a b b a 2a b b
= + + + + + − − + + − + + − +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
a a a b b b a 2a b b a 2a b b a 2a b b
= + + + + + − + − − + − − + −
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
2a b 2a b 2a b 2(a b a b a b )
= + + = + +
1 1 2 2 3 3
a b cos (a;b) a b a b a b
⇔ ⋅ ⋅ ϕ = + + a b1 1 a b2 2 a b3 3 cos (a;b)
a b
+ +
⇔ ϕ = ⋅
Definition:
Die Zahl
1 1
2 2 1 1 2 2 3 3
3 3
a b
a b a b : a b a b a b
a b
= = + +
i i heißt das Skalarprodukt der Vektoren a und b.
Es gilt: a i b= a ⋅ b cos⋅ ϕ(a;b)
Damit berechnet sich der Winkel (a;b)ϕ zwischen den Vektoren a und b zu:
( )
a b a bcos (a;b) (a;b) arccos
a b a b
ϕ = ⇔ ϕ =
⋅ ⋅
i i
Wichtiger Spezialfall: a⊥ ⇔b a i b = 0
Zwei Vektoren sind genau dann zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.
