Prof. Dr. Lars Diening Robert Graf
Maximilian Wank 24.06.2014
Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen Präsenzaufgaben 10
Aufgabe 1:
Berechnen Sie ´
Γ
f ds für
(a) Γ = {x ∈ R
2: |x| = 1} und f (x) = x
1x
2sowie (b) Γ = {x ∈ R
2: |x| = 2, x
2≥ 0} und f (x) = x
1+ x
2.
Aufgabe 2:
Wir betrachten eine Kette mit konstanter Dichte 1 in der Form des Parabelstücks Γ := {(t, t
2) ∈ R
2: t ∈ [0, 1]}. In der Vorlesung wurde bereits die Masse der Kette µ(Γ) =
14(2 √
5 + sinh
−1(2)) ≈ 1, 48 berechnet. Berechnen Sie nun den Schwerpunkt
S(Γ) :=
µ(Γ)1ˆ
Γ
xρ(x) ds.
Hinweis: Berechnen Sie
dtd(4t
2+ 1)
3/2. Benutzen Sie außerdem das unbestimmte Integral ´
t
2√
1 + 4t
2dt =
641(2 √
4t
2+ 1(8t
3+ t) − sinh
−1(2t)) + C.
Aufgabe 3:
Seien n ∈ N , c > 0 und sei γ : [0, c] → R
neine nach Bogenlänge parametrisierte C
2-Kurve. Zeigen Sie: Ist die Krümmung von γ konstant 0, so liegt γ auf einer Geraden.
Aufgabe 4:
Die Folge (s
n)
n∈Nsei rekursiv durch s
1:= 2 und für n ≥ 2 durch
s
n:=
s 2 − 2
r
1 − s
n−12
2definiert. Zeigen Sie
n→∞
