Berechnen Sie

Höhere Mathematik 2 SS 2012

1 Übungszettel

Übung 1.1.

Berechnen Sie

Z d x

x²+a²

für

a>

0.

H

INWEIS

:

x²+a²=a²h°_x

a

¢2

+

1

i

.

Übung 1.2.

Berechnen Sie

Z

sin

²

(x)

d x

.

H

INWEIS

: Sie können partielle Integration verwenden oder den Term sin

²

(x) durch Verwendung einer geeigneten trigonometrischen Formel vereinfachen.

Übung 1.3.

Berechnen Sie

Z d x

cos

x+

1 , indem Sie die Substitution

z=

tan

≥x

2

¥

ver- wenden.

A

NMERKUNG

: Diese Substitution ist bei Integralen, die sin und cos enthalten, oft er- folgreich.

Übung 1.4.

Berechnen Sie

Zp

1

+x²

x⁴ d x, indem Sie die Substitutionx=

tan(z) ver- wenden.

H

INWEIS

: Wenn Sie die Identität

t an²

(z)

+

1

=_cos¹2(z)

berücksichtigen, erhält man durch geeignetes Umformen ein Integral der Form

R

cos(z)f (sin(z ))d z.

A

NMERKUNG

: Dire Substitution

x=

tan(z ) ist nützlich bei Integranden, in denen der Term 1

+x²

vorkommt.

Übung 1.5.

Es seien

f

: [a,b]

!R

stetig und

g

,h :

R!

[a,b ] differenzierbare Funk- tionen. Zeigen Sie, dass die Funktion

G

(x) :

=

h(x)Z

g(x)

f

(t)d t

differenzierbar ist, und bestimmen Sie

G⁰

in Abhängigkeit von

f

,g ,h.

H

INWEIS

: Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrech-

nung sowie die Kettenregel.

Höhere Mathematik 2 SS 2012

2 Übungszettel

Übung 2.1.

Berechnen Sie die folgenden Integrale (a)

Z

1

x²°x+

1

d x

, (b)

Z

1

(x

²°x+

1)x

d x

, (c)

Zx²°

3x

+

4

x²°

4x

+

4

d x

.

Übung 2.2.

Gegeben seien die komplexen Zahlen

z₁=

9

°

7i und

z₂=

3

+

2i . Berech- nen Sie den Realteil und den Imaginärteil der Zahlen

(a)

z₁z₂+z₁

,

z₁

z₂

,

|z₁|

,

(b) 2

°i

3i

+

(i

°

1)

²

, 1

i⁴+

1

i⁷

, (c)

°i¹⁷

, 1

+i i°

1

+

1

°i

i+

1 .

Übung 2.3.

(a) Berechnen und zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene die Zahlen

z,z²

, und

z³

für

z=

1

+i

.

(b) Berechnen Sie den Betrag und den Winkel von 1

°i

an und zeichnen Sie auch diese Zahl ein.

Übung 2.4.

Berechnen Sie die komplexen Lösungen der Gleichung

x²+

2i x

+

3

=

0.

Übung 2.5.

Berechnen Sie die komplexen Lösungen des linearen Gleichungssystems (1

+i

)x

+i y=

2i

(1

°

2i )x

+

3y

=

1

°i

H¨ohere Mathematik 2, SS 2012 Ubung 2 - L¨ ¨ osung

1. Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) Z dx

x

²

x + 1 x = y + a

dx = dy

x

²

= y

²

+ 2ay + a

²

x

²

x + 1 = y

²

+ (2a 1)y + a

²

a + 1 W¨ahlen wir a =

¹₂

Z dy x

²

x + 1 =

Z dy y

²

+

³₄

Vom vorigen ¨ Ubungsblatt haben wir die Stammfunktion

Z dy

y

²

+

³₄

= 2

p 3 arctan

✓ 2 p 3 y

◆

= 2

p 3 arctan

✓ 2

p 3 (x

¹₂

)

◆

(b) Z 1

(x

²

x + 1)x Wir verwenden die Partialbruchzerlegung

1

(x

²

x + 1)x = a

x + bx + c x

²

x + 1 Dann haben wir

1 = a(x

²

x + 1) + bx

²

+ cx Fr x = 0 haben wir

1 = a, 1 = (x

²

x + 1) + bx

²

+ cx Wenn wir die Gleichung nach x ableiten, haben wir

0 = 2x 1 + 2bx + c In der Stelle x = 0 haben wir

0 = 1 + c

Deswegen c = 1. Wir di↵erenzieren die Gleichung noch einmal.

0 = 2 + 2b, b = 1

Deswegen

1

(x

²

x + 1)x = 1

x + 1 x

x

²

x + 1 Das Integral ist Z dx

(x

²

x + 1)x = Z dx

x +

Z 1 x x

²

x + 1 dx

wobei Z dx

x = ln x Das verbleibende Integral ist Z 1 x

x

²

x + 1 dx Nennen wir u = x

²

x + 1, sodass du = 2x 1

2(1 x)dx = (2x 1)dx + dx (1 x)dx = 1

2 (2x 1)dx + 1 2 dx (1 x)dx = 1

2 du + 1 2 dx Z 1 x

x

²

x + 1 dx = 1 2

Z du u + 1

2

Z dx x

²

x + 1

= 1

2 ln u + 1

p 3 arctan

✓ 2x 1 p 3

◆

= 1

2 ln(x

²

x + 1) + 1

p 3 arctan

✓ 2x 1 p 3

◆

Die Stammfunktion ist

Z 1

(x

²

x + 1)x = ln x 1

2 ln(x

²

x + 1) + 1

p 3 arctan

✓ 2x 1 p 3

◆

(c) Z x

²

3x + 4

x

²

4x + 4 dx x

²

3x + 4

x

²

4x + 4 = x

²

3x + 4 (x 2)

²

x

lim

!1

x

²

3x + 4

x

²

4x + 4 = 1 ) x

²

3x + 4

x

²

4x + 4 = 1 + a

x 2 + b

(x 2)

²

x

²

3x + 4 = (x 2)

²

+ a(x 2) + b

An der Stelle x = 2 haben wir 2 = b. Wir di↵erenzieren nach x 2x 3 = 2(x 2) + a

2

An der Stelle x = 2, haben wir 1 = a.

x

²

3x + 4

(x 2)

²

= 1 + 1

x 2 + 2

(x 2)

²

Z x

²

3x + 4

x

²

4x + 4 dx = Z

dx + Z dx

x 2 + 2 dx

(x 2)

²

= x + ln(x 2) 2 x 2 2. Gegeben seien die komplexen Zahlen z

₁

= 9 7i und z

₂

= 3 + 2i. Berechnen Sie den

Realteil und den Imagin¨arteil der Zahlen (a)

z

1

z

2

+ ¯ z

1

= (9 7i)(3 + 2i) + (9 + 7i) = (27 21i + 18i + 14) + 9 + 7i = 50 + 4i z

₁

z

₂

= 9 7i

3 + 2i = (9 7i)(3 2i)

9 + 4 = 27 21i 18i 14

13 = 1 3i

| z

1

| = p

9

²

+ 7

²

= p 130 (b)

2 i

3i + (i 1)

²

= 2 i

3i + ( 2i) = 2 i

i = 1 2i 1

i

⁴

+ 1 i

⁷

= 1

( 1)

²

+ 1

i( 1)

³

= 1 + i (c)

i

¹⁷

= ( 1)(i

¹⁷

) = ( 1)( 1)

⁸

i = i 1 + i

i 1 + 1 i

i + 1 = (1 + i)(i + 1) + (1 i)(i 1)

(i 1)(i + 1) = 2i + 2i 2 = 2i

3. (a) Berechnen und zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene die Zahlen z, z

²

, und z

³

f¨ ur z = 1 + i.

<{z}

={z}

3

3i 2

2i 1

1i 1 1i

2 2i

3 3i

z z

²

z

³

3

(b) Berechnen Sie den Betrag und den Winkel von 1 i an und zeichnen Sie auch diese Zahl ein.

<{z}

={z}

2

2i 1

1i 1 1i

2 2i

1 i

⇢ = p

2, ✓ = 7⇡

4 4. Berechnen Sie die komplexen L¨osungen der Gleichung

x

²

+ 2ix + 3 = 0 x = 2i ± p

(2i)

²

4(3)

2 = 2i ± p

4 12

2 = i ± 2i = i, 3i 5. Berechnen Sie die komplexen L¨ osungen des linearen Gleichungssystems

(1 + i)x + iy = 2i (1 2i)x + 3y = 1 i

(3i)[(1 + i)x + iy] = ( 3 + 3i)x 3y = 6 [(1 2i) + ( 3 + 3i)]x = 1 i 6

( 2 + i)x = 5 i x = 5 i

2 + i = ( 5 i)( 2 i)

4 + 1 = 9 + 7i 5 y = 1 i

3

1 2i

3 x = 1 i 3

1 2i 3

9 + 7i

5 = 5 5i 15

23 11i

15 = 6 + 2i 5 x = 9 + 7i

5 , y = 6 + 2i 5

4

Höhere Mathematik 2 SS 2012

3 Übungszettel

Übung 3.1.

Beweisen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel die Additions- theoreme für sin und cos:

sin('

₁+'₂

)

=

sin('

₁

)cos('

₂

)

+

cos('

₁

)sin('

₂

), cos('

₁+'₂

)

=

cos('

₁

)cos('

₂

)

°

sin('

₁

)sin('

₂

).

Übung 3.2.

(a) Geben Sie die Polarkoordinaten der folgenden komplexen Zahlen an:

(i)

°

7

°

3i, (ii)

i°p

3.

(b) Geben Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen mit den folgenden Po- larkoordinaten an

(i)

r=p

2,

'=

15º, (ii)

r=p

8,

'=

72

^±

.

Übung 3.3.

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

z²=

3

+

4i .

Übung 3.4.

Zeichnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung

|z°

(5

+

3i)

| =

2 in der komplexen Ebene.

Übung 3.5.

Beweisen Sie unter Verwendung der Definition der komplexen Cosinus- Funktion, dass für alle

z2C

gilt:

cos

²

(z)

=

1

2 (cos(2z )

+

1).

Übung 3.6.

(a) Es sei

f

:

R!C

gegeben durch

f

(t)

=e^{i t}

. Zeichnen Sie den Graphen von

f

.

(b) Es sei

g

:

C!R

gegeben durch

g(z)=

Re(z

²

). Zeichnen Sie den Graphen von

g.

H¨ohere Mathematik 2, SS 2012 Ubung 3 - L¨ ¨ osung

1. Beweisen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel die Additionstheoreme f¨ ur sin und cos:

sin('

1

+ '

2

) = 1 2i

⇣

e

^i('i+'2)

e

^i('i+'2)

⌘

= 1

2i e

^i'i

e

^i'2

e

^i'1

e

^i'2

= 1

2i ([cos '

1

+ i sin '

1

][cos '

2

+ i sin '

2

] [cos '

1

i sin '

1

][cos '

2

i sin '

2

])

= 1

2i ([cos '

1

cos '

2

sin '

1

sin '

2

cos '

1

cos '

2

+ sin '

1

sin '

2

] + i[sin '

₁

cos '

₂

cos '

₁

sin '

₂

( sin '

₁

cos '

₂

cos '

₁

sin '

₂

)])

= sin('

1

) cos('

2

) + cos('

1

) sin('

2

)

cos('

₁

+ '

₂

) = cos('

₁

) cos('

₂

) sin('

₁

) sin('

₂

)

= 1 2

⇣ e

^i('i+'2)

+ e

^i('i+'2)

⌘

= 1

2 e

^i'i

e

^i'2

+ e

^i'1

e

^i'2

= 1

2 ([cos '

₁

+ i sin '

₁

][cos '

₂

+ i sin '

₂

] + [cos '

₁

i sin '

₁

][cos '

₂

i sin '

₂

])

= 1

2 ([cos '

1

cos '

2

sin '

1

sin '

2

+ cos '

1

cos '

2

sin '

1

sin '

2

] + i[sin '

₁

cos '

₂

+ cos '

₁

sin '

₂

sin '

₁

cos '

₂

sin '

₂

cos '

₁

])

= cos '

1

cos '

2

sin '

1

sin '

2

2. (a) Gebens Sie die Polarkoordinaten der folgenden komplexen Zahlen an:

z = 7 3i, r = | z | = p

7

²

+ 3

²

= p

58 ⇡ 7.6158, ' = arctan 3

7 ⇡ 2.7367 z = i p

3, r = | z | = p

1 + 3 = p

4 = 2, ' = arctan 1

p 3 ⇡ 2.6180 (b) Gebens Sie Real- und Imagin¨ arteil der komplexen Zahlen mit den folgenden Polarko-

ordinaten an:

r = p

2, ' = 15⇡, z = x+iy )

⇢ x = p

2 cos(15⇡) = p

2 cos(⇡) = p 2 y = p

2 sin(15⇡) = p

2 sin(⇡) = 0 ) z = p 2

r = p

8, ' = 72 , z = x+iy )

⇢ x = p

8 cos(2⇡/5) ⇡ 0.8740 y = p

8 cos(2⇡/5) ⇡ = 2.6900 ) z ⇡ 0.8740+2.6900i

3. Bestimmen Sie alle komplexen L¨ osungen der Gleichung z

²

= 3 + 4i z

²

= (x + iy)

²

= 3 + 4i )

⇢ x

²

y

²

= 3 2ixy = 4i xy = 2, x

²

y

²

= 3

y = 2

x , x

²

4

x

²

= 0, ) x

⁴

3x

²

4 = 0 ) (x

²

)

²

3(x

²

) 4 = 0 x

²

= { 4, 1 } , ) x = {± 2, ± i }

Wir k¨onnen ± i ausschließen, weil x 2 R . Die entsprechende Werte von y sind y = ± 1 z = ± (2 + i)

4. Zeichnen Sie die L¨osungsmenge der Gleichung | z (5 + 3i) | = 2

<{z}

={z}

0i0 1 1i

2 2i

3 3i

4 4i

5 5i

6 6i

7 7i

8 8i

5 + 3i

5. (a) Beweisen Sie unter Verwendung der Definition der komplexen Cosinus-Funktion, dass f¨ ur alle z 2 C gilt:

cos

²

(z) = 1

2 (cos(2z) + 1)

z = x + iy, cos(x + iy) = cos x cosh y i sin x sinh y cos

²

(z) = (cos x cosh y i sin x sinh y)

²

= cos

²

x cosh

²

y sin

²

x sinh

²

y 2i cos x sin x cosh y sinh y

2

sinh

²

(y) = (e

^y

e

^y

)(e

^y

e

^y

)

4 = e

^2y

2 + e

^2y

4 = 1

2 + cosh(2y) cosh

²

(y) = (e

^y

+ e

^y

)(e

^y

+ e

^y

)

4 = e

^2y

+ 2 + e

^2y

4 = 1

2 + cosh(2y) sinh y cosh y = (e

^y

+ e

^y

)(e

^y

e

^y

)

4 = e

^2y

e

^2y

4 = 1

2 sinh(2y) sin

²

(x) = (e

^ix

e

^ix

)(e

^ix

e

^ix

)

4 = = e

^2ix

2 + e

^2ix

4 = 1

2 1

2 cos(2x) cos

²

(x) = (e

^ix

+ e

^ix

)(e

^ix

+ e

^ix

)

4 = = e

^2ix

+ 2 + e

^2ix

4 = 1

2 + 1

2 cos(2x) cos x sin x = (e

^ix

+ e

^ix

)(e

^ix

e

^ix

)

4i = e

^2ix

e

^2ix

4i = 1

2 sin(x) cos

²

x cosh

²

y sin

²

x sinh

²

y =

✓ 1 2 + 1

2 cos(2x)

◆ ✓ 1

2 + cosh(2y)

◆

✓ 1 2

1

2 cos(2x)

◆ ✓ 1

2 + cosh(2y)

◆

= 1

2 (1 + cos(2x) cosh(2y)) 2i cos x sin x cosh y sinh y = 2i

✓ 1 2 sin(x)

◆ ✓ 1

2 sinh(2y)

◆

= i

2 sin(2x) sinh(2y) cos

²

(z) = 1

2 + 1

2 (cos(2x) cosh(2y) + i sin(2x) sinh(2y))

= 1

2 (1 + cos(2z))

(b) Es sei f : R ! C gegeben durch f(t) = e

^it

. Zeichnen Sie den Graphen von f.

(c) Es sei g : ! C ! R gegeben durch g(z) = Re(z

²

) Zeichnen Sie den Graphen von g.

g(x, y) = Re[(x + iy)

²

] = Re[(x

²

y

²

) + i2xy] = x

²

y

²

3

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ℜ[f]

ℑ[f]

4

Höhere Mathematik 2 SS 2012

4 Übungszettel

Übung 4.1.

Die Abbildung

f

(t)

=a

cos

°

!t+'¢

beschreibt eine sogenannte harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz

!, Ampli-

tude

a

und Phase

'

.

Beweisen Sie, dass die Superposition (Addition) zweier harmonischer Schwin- gungen mit der gleichen Kreisfrequenz

!

wieder eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz

!

ergibt und berechnen Sie deren Amplitude.

H

INWEIS

: Fassen Sie dazu die Kosinusfunktion als Realteil einer komplexen Ex- ponentialfunktion auf.

Übung 4.2.

Geben Sie einen möglichst großen Definitionsbereich

D

an, auf dem die Abbildung

f

:

D!C,f

(z)

=z²

bijektiv ist. Bestimmen Sie dazu die Umkehrfunktion

f^°1

(z)

=pz. Für welchez2C

gilt dann folgende Formel?

p

i

z=p

i

·p

z

.

Übung 4.3.

(a) Verallgemeinern Sie die

"-±-Definition für die Existenz eines Grenzwertes ei-

ner reellen Funktion auf den Fall komplexer Funktionen

f

:

C!C. Untersu-

chen Sie, ob dann der Grenzwert

lim

z!0

¯

z z

existiert und geben Sie ggf. seinen Wert an.

(b) Definieren Sie die Ableitung einer komplexen Funktion

f

:

C!C

an einer Stel- le

z2C

als Grenzwert für

h!

0 (in

C) des Differentialquotienten

f

(z

+h)°f

(z)

h

.

Für welche

z2C

ist dann die Funktion

f

:

C!C,f

(z)

=z

¯ differenzierbar?

Übung 4.4.

Die stereographische Projektion wird durch folgendes Verfahren defi- niert: Im dreidimensionalen Raum interpretiert man die

x y-Ebene als komplexe

Zahlenebene. Man platziert eine Kugel mit Radius 1 mit Zentrum im Koordinatenur- sprung. Die Gerade, die durch den Punkt (0,0,1) und einem Punkt (x,

y,0) derx y-

Ebene geht, schneidet die Kugel in genau einem Punkt. Dieser Punkt wird durch den Polarwinkel

µ

und den Azimutwinkel

'

(siehe Abbildung auf der nächsten Sei- te) eindeutig beschrieben. Geben Sie die Abbildung

(µ,')

!

(x,y )

explizit an, das heißt, bestimmen Sie

x

und

y

als Funktionen von

µ

und

', wobei

0

<µ∑º

und

°º<'∑º.

Höhere Mathematik 2 SS 2012

x

y z

x + i y

H¨ohere Mathematik 2, SS 2012 Ubung 4 - L¨ ¨ osung

1.

f

1

(t) = a

1

cos(!t +

1

), f

2

(t) = a

2

cos(!t +

2

) g(t) = f

1

(t) + f

2

(t) = 1

2

⇣

a

1

e

^i!t

e

^{i 1}

+ a

1

e

^i!t

e

^{i 1}

+ a

2

e

^i!t

e

^{i 2}

+ a

2

e

^i!t

e

^{i 2}

⌘ Wir k¨onnen schreiben a

₁

e

^{i 1}

+ a

₂

e

^{i 2}

= re

^i✓

r

²

= ⇣

a

₁

e

^{i 1}

+ a

₂

e

^{i 2}

⌘ ⇣

a

₁

e

^{i 1}

+ a

₂

e

^{i 2}

⌘

= a

²₁

+ a

²₂

+ a

1

a

2

[e

^{i( 1 2)}

+ e

^{i( 2 1)}

]

= a

²₁

+ a

²₂

+ 2a

1

a

2

cos(

1 2

) r =

q

a

²₁

+ a

²₂

+ 2a

1

a

2

cos(

1 2

) Alternative L¨ osung:

g(t) = f

₁

(t) + f

₂

(t) = a

₁

cos(!t) cos(

₁

) a

₁

sin(!t) sin(

₁

) + a

2

cos(!t) cos(

2

) a

2

sin(!t) sin(

2

)

= [a

1

cos

1

+ a

2

cos

2

] cos(!t) [a

1

sin

1

+ a

2

sin

2

] sin(!t)

= b

₁

cos(!t) b

₂

sin(!t)

wobei b

1

= a

1

cos(

1

) + a

2

cos(

2

) und b

2

= a

1

sin(

1

) + a

2

sin(

2

). Wir k¨ onnen auch schreiben

b

1

= r cos ✓, b

2

= r sin ✓ r

²

= b

²₁

+ b

²₂

= (a

₁

cos(

₁

) + a

₂

cos(

₂

))

²

+ (a

₁

sin(

₁

) + a

₂

sin(

₂

))

²

= a

²₁

cos

² ₁

+ 2a

₁

a

₂

cos

₁

cos

₂

+ a

²₂

cos

² ₂

+ a

²₁

sin

² ₁

+ 2a

₁

a

₂

sin

₁

sin

₂

+ a

²₂

sin

² ₂

= a

²₁

cos

² ₁

+ a

²₁

sin

² ₁

+ a

²₂

cos

² ₂

+ 2a

₁

a

₂

cos

₁

cos

₂

+ 2a

₁

a

₂

sin

₁

sin

₂

= a

²₁

+ a

²₂

+ 2a

₁

a

₂

cos(

_{1 2}

) Der Betrag von b

_1,2

ist

r = q

a

²₁

+ a

²₂

+ 2a

₁

a

₂

cos(

_{1 2}

) und der Winkel ist

✓ = tan

¹

✓ a

1

sin

1

+ a

2

sin

2

a

1

cos

1

+ a

2

cos

2

◆

g(t) = b

₁

cos(!t) b

₂

sin(!t)

= [r cos ✓] cos(!t) [r sin ✓] sin(!t) = r cos(!t + ✓)

2. Die Abbildung f : D ! C ist f(z) = z

²

. In Polarkoordinaten z = ⇢e

^i✓

f ⇣

⇢e

^i✓

⌘

= ⇢

²

e

^i2✓

Bijektiv, falls ⇡/2 < ✓  ⇡/2. Die Abbildung ist bijektiv f¨ ur z = x + iy mit D = { x 0 \ y > 0 } [ { x > 0 \ y 0 }

Die Quadratwurzel ist dann wie folgt gegeben:

p z = p

⇢ e

^i✓

= p ⇢ e

^i✓/2

wobei f¨ ur ✓ immer der Hauptargumentwinkel ⇡ < ✓  ⇡ zu nehmen ist.

Es gilt fr alle ✓ im Bereich ⇡ < ✓  ⇡:

p i = e

^i⇡/4

, p

z = p ⇢e

^i✓/2

, p i p

z = p ⇢ e

^i⇡/4

e

^i✓/2

= p ⇢ e

^{i(✓/2+⇡/4)}

F¨ ur ⇡ < ✓  ⇡/2 gilt

p iz = q

⇢e

^i(✓+⇡/2)

= p ⇢e

^{i(✓/2+⇡/4)}

. F¨ ur ⇡/2 < ✓  ⇡ ist aber ✓ + ⇡/2 > ⇡ und daher

iz = e

^i⇡/2

⇢e

^i✓

= ⇢ e

i✓+i⇡/2 2i⇡

.

Somit ist p

iz = p ⇢ e

^{i✓/2+i⇡/4 i⇡}

= p ⇢ e

^{i✓/2+i⇡/4}

. = p i p

z

3.

f(z) = z ¯

z = ⇢e

^i✓

⇢e

^i✓

= e

^i2✓

F¨ ur Stetigkeit in dem Punkt z = 0, brauchen wir, dass | f(z) f (0) | < ✏ falls | z | < . Es ist aber f (x) = 1 und f(ix) = 1 f¨ ur alle x > 0. Egal, wie man f(0) definiert, existiert daher immer ein z mit | z | < und [f(z) f(0 | 1.

f(z) = ¯ z f(z + h) f(z)

h = z ¯ + ¯ h z ¯ h = ¯ h

h Der Grenzwert existiert nicht.

2

4.

r = p

x

²

+ y

²

= tan ↵, ✓ = ⇡ 2↵ = ⇡ 2 tan

¹

( p

x

²

+ y

²

), ' = atan2(x, y)

x(✓, ') = tan ⇡ ✓

2 cos ', y(✓, ') = tan ⇡ ✓ 2 sin '

3

Höhere Mathematik 2 SS 2012

5 Übungszettel

Übung 5.1.

(a) Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge beschränkt ist.

(b) Gegeben seien die konvergenten Folgen (

a_n

) bzw. (

b_n

) mit Grenzwerten

a

bzw.

b

. Zeigen Sie, dass dann gilt:

n

lim

→∞

a_n·b_n=a·b

.

Übung 5.2.

Beweisen Sie unter der Verwendung der Definition des Grenzwertes ei- ner Folge, dass der Bruch

n⁴+n² n⁴−n²+

1 gegen 1 konvergiert.

Übung 5.3.

Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Monotonie, Beschränkt- heit und Konvergenz:

2

ⁿ

, (

−

1)

ⁿ

n

,

n−

1

n

.

Übung 5.4.

Zeigen Sie, dass gilt:

n

lim

→∞

aⁿ=

!

0 , 0

<a<

1 ,

∞

,

a>

1 . H

INWEIS

: Verwenden Sie

aⁿ=

exp(

n·

ln

a

).

Übung 5.5.

Untersuchen Sie, welche der angegebenen Folgen konvergiert und be- stimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:

(a) 3

n+

1

4

n

, (c)

nⁿ

nⁿ+n−

6 ,

(b) 2

n+

1 3

n² +

"

4 7

#n

2

n

n+

1 , (d)

$

n+$n−

$ n−$n

.

Übung 5.6.

Die Folge (

a_n

) sei rekursiv gegeben durch

a₁=

1,

a_n

+1=

sin (

a_n

) .

Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie ihren Grenzwert.

Höhere Mathematik 2 SS 2012

6 Übungszettel

Entscheiden Sie in den Aufgaben 1 bis 4 jeweils mit Hilfe der Kriterien aus der Vor- lesung, ob die Reihen konvergieren. (Die Grenzwerte sind nicht gefragt.)

Übung 6.1.

(a)

!^∞

n=1

n³

3

ⁿ

(b)

!∞ n=2

2

n²+

3n

−

5 H

INWEIS

: Majorantenkriterium

Übung 6.2.

(a) 1 2

+

3

4

+

5 6

+

7

8

+

. . . (b)

!^∞

n=11

6

ⁿ

n!

und

!^∞

n=1

6

ⁿ n!

Übung 6.3.

(a)

!^∞

n=1

n³−

3n

²

n⁴+n

H

INWEIS

: Minorantenkriterium (b)

!^∞

n=1

"

n+

4

n

#

(Binomialkoeffizient!)

Übung 6.4.

(a)

!^∞

n=1

$#

n+

1

−# n%

(b)

!^∞

n=1

(

−

1)

ⁿ$#

n+

1

−# n%

Übung 6.5.

Wir betrachten die

geometrische Reihe

!∞ n=0

aⁿ

.

Beweisen Sie, für welche

a∈R

diese Reihe konvergiert bzw. divergiert. Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz auch den Grenzwert.

H

INWEIS

: Betrachten Sie zunächst das Produkt aus der Partialsumme und (1

−a).

Höhere Mathematik 2 SS 2012

7 Übungszettel

Übung 7.1.

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzeihen:

(a)

X1

n=0

(nz)

ⁿ

(b)

X1

n=0

µ

2n

+

3 5n

+

6

∂n

(z

°z₀

)

ⁿ

(c)

X1

n=1

(

°

1)

ⁿ⁺¹n(z°z₀

)

ⁿ

3n

²+

1

Übung 7.2.

Berechnen Sie die unendliche Summe

X1 n=1

(n

+

2)z

ⁿ

,

|z| <

1.

H

INWEIS

: Beginnen Sie mit der geometrischen Reihe

X1

n=0

zⁿ=

1

1

°z

,

|z| <

1.

Was passiert, wenn Sie beide Seiten der obigen Gleichung mit

z

multiplizieren oder nach

z

ableiten?

Übung 7.3.

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihen:

(a)

X1

n=0

≥z n

¥n

(b)

X1

n=0

z²ⁿ

(1

+

2i )

ⁿ

(c)

X1 n=1

nzⁿ²

(n

°

1)!

Übung 7.4.

Berechnen Sie die Taylorreihe im Entwicklungspunkt 0 für die folgen- den Funktionen und bestimmen Sie den Konvergenzradius.

(a)

sin(z) (b)

f

(z)

= Zz

0

exp(

°t²

)d t

Höhere Mathematik 2 SS 2012

Übung 7.5.

Berechnen Sie die Taylorreihe der folgenden Funktionen im Punkt

z₀=

0 und bestimmen Sie den Konvergenzradius.

(a) 1

(1

°z)²

(b) 1

(1

°z)³

(c)

ln(1

°z)

H

INWEIS

: Verwenden Sie die geometrische Reihe und Differentiation oder Integra-

tion.

Höhere Mathematik 2 SS 2012

8 Übungszettel

Übung 8.1.

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe für die Funktion

f

(x)

=

cos(x) um den Entwicklungspunkt

c =

0, den Konvergenzradius der Taylor-Reihe sowie den Be- reich, in dem die Potenzreihe die Cosinus-Funktion darstellt.

Übung 8.2.

Gegeben sei die Funktion

f

:

R!R,

f

(x)

=

(e^°1x

,

x>

0 0,

x∑

0.

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von

f

um den Entwicklungspunkt

c=

0 und deren Konvergenzradius. In welchem Bereich stellt die Potenzreihe die gegebene Funktion

f

dar?

Übung 8.3.

Es sei

f

(x)

=₁₊¹_x2

.

(a) Geben Sie eine Potenzreihenentwicklung von

f

an und bestimmen Sie deren Konvergenzradius

R. (HINWEIS

: Es gilt arctan(x)

= ¹P

n=1

(°1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+1

für

|x| <R)

(b) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von

f

in

C

an und skizzieren

Sie diesen in der komplexen Zahlenebene. Was fällt Ihnen im Zusammenhang mit dem Konvergenzradius auf? Welcher Konvergenzradius wäre bei Entwick- lung der Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt 1 maximal möglich?

Übung 8.4.

(a) Beweisen Sie die Identität

e^{i x}=

cos(x)

+i

sin(x), indem Sie die Po- tenzreihenentwicklungen für die Exponential-, Sinus- und Cosinus-Funktion ver- wenden.

(b) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe für

f

(x)

=

(1

°x²+x⁴

)e

^x

um den Entwicklungs- punkt

c=

0.

(c) Berechnen Sie die Taylor-Reihe von

f

(x)

=e

[

1°sin

(

x²/2

)

°cos(x)

] um

c=

0 bis zum Term 4. Ordnung.

(d) Berechnen Sie die Taylor-Reihe von

f

(x)

=

sin

²

(x) um

c=

0 bis zum Term 6.

Ordnung.

H

INWEIS

: Sie brauchen bei den Teilaufgaben (b) – (d) keine Ableitungen berechnen,

wenn Sie bekannte Reihendarstellungen verwenden.

Höhere Mathematik 2 SS 2012

9 Übungszettel

Übung 9.1.

Die Energie eines Elektrons mit der Masse

m_e

, das sich mit der Ge- schwindigkeit

v

bewegt, ist durch die Beziehung

E

(v)

= m_ec² q

1

°^v_c²2

gegeben, wobei die Konstante

c

die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Berechnen Sie die Taylor-Reihe von

E(v) bis zur vierten Ordnung mitv₀=

0 als Entwicklungspunkt.

Vergleichen Sie die Approximationsfehler bei

v=c/10 der Taylor-Polynome zweiter

Ordnung und vierter Ordnung.

Übung 9.2.

(a) Berechnen Sie die Bogenlänge des Funktionsgraphen

G=©

(t,

f

(t)) :

t2

[

°a

,a]

™ ΩR²

für die Funktion

f

(t)

=

cosh(t).

(b) Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie im

R³

mit der Parameterdar- stellung

x(t)=

cos(2ºt),

y(t)=

sin(2ºt),

z(t)=t, t2R

für das Intervall [0,2].

Übung 9.3.

Bestimmen Sie den Punkt

p2R³

der Kurve

r

(t)

=

(x(t),

y

(t),

z(t)),t2R

mit

x(t)=

(1

°

2t),

y(t)=t²

,

z(t)=

2e

^2(t°1)

in welchem der Tangentialvektor

r⁰

(t) parallel zum Radiusvektor

r

(t) ist.

Übung 9.4.

Bestimmen Sie einen Vektor

v2R³

, der im Punkt

p=

(2,4,8) tangential zu der gewundenen Kurve dritten Grades

r

(t)

=

(t,t

²

,t

³

),

t2R

ist und parametrisie- ren Sie die Tangente an die Kurve im Punkt

p.

Übung 9.5.

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Kreise

k₁

(t)

=

(cos(t),sin(t),0),

k₂

(t)

=

(0,cos(t),sin(t))

mit

t2

[0,2º) sowie die Winkel unter denen sich die Kreise in diesen Punkten schnei-

den.

Höhere Mathematik 2 SS 2012

10 Übungszettel

Übung 10.1.

Bestimmen Sie Parameterdarstellungen der folgenden Kurven:

(a) der geraden Strecke vom Punkt (2,−2) zum Punkt (−4,−1) (b) der Ellipse mit Mittelpunkt (1,

−2) und Halbachsen

1

2 bzw. 2 in

x- bzw. y-

Richtung

(c) einer ebenen Kurve, die ungefähr folgende Gestalt hat:

Übung 10.2.

Gegeben ist eine ebene Kurve

!γ(t)=

! L·

sin

³t L·cos³t

"

,

t∈R

,

L=

Konstante

>

0.

(a) Bestimmen Sie die „singulären Punkte“, d.h. die Punkte

!x∈R²

, an denen der Tangentialvektor verschwindet.

(b) Bestimmen Sie die Bogenlänge dieser ebenen Kurve zwischen den Punkten

!γ(0) und!γ(π/2).

Hinweis: Zuerst Ausklammern und Vereinfachen unter der Wurzel!

Übung 10.3.

Man zeige:

(a)

f# x,y$

=





 y−

sin

#

x y$ x x#=

0

0

x=

0

ist überall stetig.

Hinweis: Betrachten Sie für den Fall

x=

0 die ersten Glieder der Taylorreihe für den Sinus. Stellen Sie damit dann

f#

x,y$

dar.

(b)

f# x,y$

=





 x

sin

#

x y$ x⁴+y²

#x,y$

#=

(0, 0)

0

#

x,y$

=

(0, 0)

ist in (0, 0) unstetig.

Übung 10.4.

Betrachtet wird die Funktion

f# x,y$

=







2x y

²

x²+y⁴

,

x>

0

0 ,

x≤

0

(a) Berechnen Sie die Höhenlinien der Funktion (b) Untersuchen Sie die Funktion

f

(x,y ) auf Stetigkeit.

Übung 10.5.

Die Tangentialebene (das Taylorpolynom ersten Grades) an eine Funktion

z= f

(x,y ) im Punkt (x

0

,y

0

) ist gegeben durch

z=f

(x

0

,

y0

)

+fx

(x

0

,

y0

) (x

−x0

)

+fy

(x

0

,y

0

) (y

−y0

).

Höhere Mathematik 2 SS 2012

Stellen Sie die Gleichung der Tangentialebene der Fläche

f

(x,y )

=x

cos(y

²

)+e

^x+y

arctan(x y)

im Punkt (1, 0) auf.

H¨ohere Mathematik 2, SS 2012 Ubung 10 - L¨ ¨ osung der Aufgabe 4b

Die Funktion soll auf ganz R

²

auf Stetigkeit untersucht werden. Im einzelnen gilt:

1. f(x, y) ist unstetig in (0, 0) – wie in der ¨ Ubung vorgerechnet.

2. f(x, y) ist stetig in x 6 = 0, da sowohl die 0 als auch die gebrochen rationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist.

3. Behauptung: f (x, y) ist an der restlichen Nahtstelle x = 0, y 6 = 0 stetig.

Beweis: Betrachte einen Punkt (0, y

0

) auf der Nahtstelle, mit y

0

6 = 0.

Sei (x

n

, y

n

) eine Punktfolge mit x

n

! 0 und y

n

! y

0

. Dann gilt:

n

lim

!1

f(x

n

, y

n

) = lim

n!1

2 x

n

y

_n²

x

²_n

+ y

_n⁴

y06=0

= 2 · 0 · y

²₀

0 + y

₀⁴

= 0