Es ist zu berechnen

Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Prof. F.Wegner, Universit¨ at Heidelberg, SS04

6. L¨ osungsblatt, Pr¨ asenz¨ ubung 4.06.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 2.06.04

P6. Erwartungswerte im Coulombpotential

Es ist zu berechnen

P6. Expectation values in Coulomb potential

One has to calculate hr

i =

Z

dΩdrr

ψ

(r, θ, φ)ψ

(r, θ, φ) mit der Darstellung der normierten

Wellenfunktionen aus der Vorlesung in La- guerre Polynomen

with the representation of the normalized wave function in terms of Laguerre func- tions given in the lecture

ψ

(x) =

v u u t

(n − l − 1)!

(n + l)!n 2κ

(2κr)

L

(2κr)e

Y

(θ, φ) . Nach der (trivialen) Winkelintegration

erh¨ alt man folgendes Integral in z = 2κr

Performing the (trivial) integral over the angles we obtain the following integral in the variable z = 2κr

hr

i = (n − l − 1)!

(n + 1)!2n(2κ)

Z

dzz

e

(L

(z))

. Nun muß man im allgemeinen Fall die

Rekursionsformel interieren um die Or- thogonalit¨ atsrelation nutzen zu k¨ onnen.

F¨ ur β = 1 reicht es

In general one has now to iterate the re- cursion in order to take advantage of the orthogonality relation. However for β = 1 it is sufficient to calculate

zL

= 2nL

− (n − l)L

− (n + l)L

zu berechnen. Aufgrund der Orthogo-

nalit¨ at tragen nur die “diagonalen” Terme bei. Man erh¨ alt

Due to orthogonality only the “diagonal”

terms contribute. One obtains

hri = (n − l − 1)!

(n + l)!2n(2κ) (2n)

(n + l)!

(n − l − 1)! + (n − l)

(n + l + 1)!

(n − l)!

+(n + l)

(n + l − 1)!

(n − l − 2)!

!

= 1

2nκ

h 3n

− l(l + 1) ⁱ

withnκ=Z/a

= 1

2 a Z

h 3n

− l(l + 1) ⁱ .

F¨ ur β = 2 muß man die Rekursion einmal iterieren, der relevante Anteil ist

For β = 2 the recursion has to be iterated once. The relevant part reads

z

L

= 2 3n

− l(l + 1) L

− 2(n − l)(2n − 1)L

−2(n + l)(2n − 1)L

+ Terme ∼ L

, L

. Nun kann man verfahren wie f¨ ur β = 1.

Man findet schließlich

Now one can proceed as in the case β = 1.

At the end of the day one finds hr

i = 1

4 a

Z

n

10n

− 6l(l + 1) + 2 .

F¨ ur ∆r findet man For ∆r one finds

∆r = 1 2

a Z

n

+ 2n

− l

(l + 1)

. H14. Translationsoperator

In der Ortsdarstellung haben wir

H14. Translation operator In position representation we have U (a)φ(x) = e

φ(x) .

Fouriertransformation liefert Fourier transformation yields U g (a)φ(k) =

Z

dxe

e

φ(x)

=

Z

dxe

φ(x)

=

Z

dxe

φ(x + k) R¨ ucktransformieren liefert das

gew¨ unschte Ergebnis.

Inverting the Fourier transform yields the desired result.

H15. Kommutatorrelationen des Drehimpulses

i) Einsetzen liefert

H15. Kommutatorrelations of angu- lar momentum

Plugging in the definitions yields [L

, L

] = −¯ h

[y∂

− z∂

, ∂

x − ∂

z]

= −¯ h

(−y∂

[∂

, z] − ∂

x[z, ∂

])

= ¯ h

(∂

x − x∂

)

= i¯ hL

.

ii) Ebenso By the same token

[a · L, b · L] = ^X

ij

a

b

[L

, L

]

= i¯ hε

a

b

L

= i¯ ha · (b × L) .

H16. Hyperbolisches Potential Das Potential findet man in der Literatur oft unter dem Namen Morse Potential.

i) Zweimaliges Ableiten von ψ

liefert

H16. Hyperbolic Potential

This kind of potential is often denoted Morse potential in the literature.

i) Taking twice the derivative of ψ

yields

ψ

(x) = d

dx −nb sinh(bx) cosh

(bx)

!

= d

dx (−nb tanh(bx)ψ

)

= n

b

tanh

(bx) − nb

tanh

(bx) ψ

(x)

= b

(n + 1)n tanh

(bx) − b

n ψ

(x) .

Zusammen mit der Beziehung Together with the relation cosh

(bx) = 1 − tanh

(bx)

erhalten wir durch Einsetzen in die Schr¨ odingergleichung

we obtain by plugging into the Schr¨ odinger equation

h a − b

(n + 1)n cosh

(bx) + b

n

+ k

ⁱ ψ

(x) = 0

⇓ n(n + 1) =

a

b

n =

1

2



 s

1 + 4a b

− 1



 .

Der Ausdruck wird besonders einfach falls der dimensionslose Parameter a/b

spezielle Werte a/b

= m(m + 1), m = 1, 2, . . . annimmt. Dann ist n = m eine ganze Zahl. F¨ ur die Energie erh¨ alt man

The expression is particularly simple for certain values a/b

= m(m + 1), m = 1, 2, . . . of the dimensionless parameter a/b

. Then we have n = m = integer.

For the energy one obtains k

= −b

n

= − b

4



 s

1 + 4a b

− 1





2

< 0

Die Wellenfunktion beschreibt also einen gebundenen Zustand. Negative n sind zu verwerfen, da ψ

dann nicht normierbar ist.

ii) ψ

beschreibt den Grundzustand, da es keine Nullstellen (Knoten) hat.

iii) Man betrachte die

Schr¨ odingergleichung f¨ ur ψ

im asymp- totischen Regime, z. B. f¨ ur x → ∞. Hier verschwindet das Potential in f¨ uhrender Ordnung

Thus the wave function describes a bound state. Negative n have to be discarded since they violate normalizability.

ii) ψ

is the ground state since in has no zeros on the real axis.

iii) Look at the schr¨ odinger equation for ψ

in the asymptotic regime, e. g. for x → ∞. Here the potential vanishes asymptotically

ψ

∼ exp(−(n − m)x) (1 + a

exp(−2x) + . . .) ψ

∼ (n − m)

exp(−(n − m)x) (1 + . . .) a cosh

(bx)ψ

(x) ∼ exp(−(n − m + 2)) (1 + . . .)

⇓ keeping only terms ∼ e

in Schroedinger equation b

(n − m)

+ k

= 0

k = ^q −b(n − m)

.

Die Bedingung an m ist m < n. The condition for m is m < n.