H. Stichtenoth WS 2005/06
L¨osungsvorschlag f¨ur das 12. ¨Ubungsblatt Aufgabe 46:
f(x) =x2·e−12x
• Df =R
• f ist weder gerade noch ungerade
• lim
x→−∞
x2·e−12x =∞
xlim→∞
x2·e−12x [0·∞]= lim
x→∞
x2 e12x
[∞∞]
= lim
x→∞
2x
1 2e12x
[∞∞]
= lim
x→∞
2
1
4e12x = 0
• f(x) = 0 ⇐⇒ x= 0
f(x)>0 ⇐⇒ x∈Df \ {0}
•
f′(x) = −1
2 · x2−4x
·e−12x = −1
2x·(x−4)·e−12x
f′(x) = 0 ⇐⇒ x= 0 oder x= 4 f′(x)>0 ⇐⇒ x∈(0,4)
f′(x)<0 ⇐⇒ x∈(−∞,0)∪(0,4)
• f ist monoton wachsend im Intervall (0,4)
f ist monoton fallend in Intervalen (−∞,0) und (0,4)
f nimmt ihr lokales Minimum im Punkt x= 0 an mitf(0) = 0 f nimmt ihr lokales Maximum im Punkt x= 4 an mit f(4) = 16·e−2
•
f′′(x) = 1
4· x2−8x+ 8
·e−12x = 1 4
x−
4−2√ 2
· x−
4 + 2√ 2
·e−12x
f′′(x) = 0 ⇐⇒ x= 4−2√
2 oder x= 4 + 2√ 2 f′′(x)>0 ⇐⇒ x∈ −∞,4−2√
2
∪ 4 + 2√ 2,∞ f′′(x)<0 ⇐⇒ x∈ 4−2√
2,4 + 2√ 2
• f ist konvex in Intervallen −∞,4−2√ 2
und 4 + 2√ 2,∞ f ist konkav im Intervall 4−2√
2,4 + 2√ 2 f hat Wendepunkte f¨ur x = 4−2√
2 mit f(x) = 4−2√ 22
·e−2+√2, und f¨ur x = 4 + 2√ 2 mit f(x) = 4 + 2√
22
·e−2−√2
• Wf = [0,∞)
•
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1 1 2 3 4 5
x y
Aufgabe 47:
f(x) = 1
2x+√
9−x2.
• Df = [−3,3]
•
f′(x) = 1
2 − x
√9−x2 = 1 2 ·
√9−x2−2x
√9−x2 f′(x) = 0 ⇐⇒ x= 3√55
• f(−3) =−32 f 35√
5
= 32√ 5 f(3) = 32
f(−3) < f(3) < f
3
5
√5
• x=−3 – globales Minimum mit f(−3) =−32
x= 35√
5 – globales Maximum mit f 35√ 5
= 32√ 5
•
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3
−1
x y
