Aufgabe H3.1: Beschleunigung kosmischer Strahlung mit magnetischen Spiegeln

Theoretische Plasmaphysik WiSe 17/18 Vorlesung: Prof. Dr. Julia Tjus

Ubungen: Lukas Merten, M.Sc und Timo Schorlepp, B.Sc ¨

Hausaufgabe 3 Datum: 02.11.2017

Abgabe: 09.11.2017, 16:00 Uhr

Aufgabe H3.1: Beschleunigung kosmischer Strahlung mit magnetischen Spiegeln

Betrachten Sie ein Proton der kosmischen Strahlung, welches zwischen zwei sich aufeinander zu be- wegenden magnetischen Spiegeln gefangen ist. Die beiden Spiegel bewegen sich jeweils mit einer Geschwindigkeit von v

= 10 km/s und die anf¨ angliche Entfernung betrage D

= 10

km. Das Verh¨ altnis zwischen maximaler und minimaler Magnetfeldst¨ arke liege bei f =

min

= 5. Das Proton befinde sich zu Beginn der Betrachtung mit einer Energie E

= 1 keV in der Mitte der beiden Spiegel und das Verh¨ altnis aus senkrechter v

und paralleler v

Geschwindigkeitskomponente sei 1.

(a) Fertigen Sie eine Skizze der Situation an und beschreiben Sie qualitativ den weiteren Verlauf der Bewegung des Protons.

(b) Bestimmen Sie die Energie mit der das Proton aus den magnetischen Spiegeln entkommen kann E

. Hinweis: Nutzen Sie hierf¨ ur die Invarianz des magnetischen Moments aus.

(c) Zeigen Sie, dass sich die parallele Komponente der Geschwindigkeit v

mit jeder Streuung an den Spiegeln um den Betrag 2v

erh¨ oht. Bestimmen Sie weiterhin die n¨ otige Anzahl an Reflexionen, damit das Teilchen entkommen kann.

(d) Bestimmen Sie die minimale Ausdehnung D

eines Spiegelsystems wie oben, welche n¨ otig w¨ are, um das Proton so weit zu beschleunigen, dass es aus dem System entkommen kann.

Aufgabe H3.2: Dritte Adiabatische Invariante

In der Vorlesung wurden adiabatische Invarianten allgemein besprochen und es wurde gezeigt, dass unter gewissen umst¨ anden die Wirkung J = H

pdq eine adiabatische Invariante darstellt. Diese adia- batischen Invarianten tauchen h¨ aufig im Zusammenhang mit periodischen Bewegungen der Teilchen auf. Wir betrachten nun, wie schon in der Vorlesung, das Beispiel der magnetischen Flasche:

(a) Nennen Sie die drei periodischen Bewegungen, welche mit den drei adiabatischen Invarianten verkn¨ upft sind, die in der magnetischen Flasche auftauchen.

(b) Was muss erf¨ ullt sein, damit man von einer adiabatischen Invarianten sprechen kann und warum f¨ uhrt dies dazu, dass die dritte adiabtische Invariante am h¨ aufigsten verletzt wird?

(c) In der Vorlesung wurde die dritte adiabatische Invariante als J

= H

v

dl eingef¨ uhrt. Welche bekannten Drift-Terme f¨ uhren zu zu der Geschwindigkeit v

und in welche Richtung ist sie gerichtet? Hinweis: Sie m¨ ussen die Geschwindigkeit nicht explizit bestimmen.

In der Vorlesung wurde angegeben, dass die dritte adiabatische Invariante proportional zum durch die Driftbewegung eingeschlossenen magnetischen Flusses ist: J

∝ Φ.

(d) Zeigen Sie die obige Proportionalit¨ at unter der Annahme, dass die mittlere Driftgeschwindigkeit hv

i =

R

0

v

dt venachl¨ assigbar ist gegen¨ uber q/mA. Hierbei ist τ die Zeit einer vollst¨ andigen Spiegelperiode, m die Masse, q die Ladung des Teilchens und A die St¨ arke des Vektorpotentials des Magnetfeldes. Hinweis: Nutzen Sie die allgemeine Definition der adiabatischen Invarianten.

Mit Hilfe der Lagrangefunktion L =

+

~ v · A(~ ~ x, t) − qφ(~ x, t) k¨ onnen sie den verallgemeinerten Impuls bestimmen.

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Aufgabe H3.3: Driftenergie

Ein Teilchen der Masse m mit der Ladung q befinde sich in einem homogenen Magnetfeld B ~ = B

~ e

. Zum Zeitpunkt t

werde ein elektisches Feld langsam eingeschaltet, so dass gilt E ~ = E(t)~ e

. Am Schluss des Einschaltvorgangs besitze das Teilchen eine ExB-Drift-Geschwindigkeit v

.

(a) Nutzen Sie energetische Argumente um zu zeigen, dass sich der Teilchenschwerpunkt / das Guid- ingcenter nach dem Einschalten um die Strecke v

/Ω in Richtung des eletrischen Feldes verschoben hat.

(b) Integrieren Sie die Polarisationsdrift von t = 0 bis unendlich, um auch hier eine Verschiebung der Teilchenposition zu bestimmen. Stimmt die L¨ osung mit der in (a) gefundenen ¨ uberein? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

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