Prof. Dr. Thomas Hoch
4. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik
4.1 Geladene Kreisscheibe
Eine unendlich dünne Kreisscheibe mit Radius R sei homogen geladen. Die Gesamtladung seiq.
z R
a)Geben Sie die Ladungsdichteρ(r) zunächst für endliche Dickedan, dann für den Grenzfall d → 0. Verwenden Sie dazu Zylinderkoordinaten (r,φ,z), wobei die z-Achse senkrecht auf dem Mittelpunkt der Kreisscheibe steht und die Scheibe sich bei z =0 befindet. Achtung: r bezeichnet hier den Abstand von der z-Achse (normalerweise ρ genannt).
b) Berechnen Sie durch Integration über die Ladungsdichte das elektrische Potential Φ auf der z-Achse.
c)Berechnen Sie aus dem Potential das elektrische Feld Eauf derz-Achse. Gehen Sie davon aus, dass E aus Symmetriegründen in z-Richtung zeigt (bzw. entgegengesetzt dazu).
d) Berechnen Sie Φ und E für |z| R, indem Sie nach R/z entwickeln.
e)Diskutieren Sie das Verhalten von Φ und E für |z| R, indem Sie nach z/R entwickeln.
4.2 Geladenes Drahtstück
Eine unendlich dünne Linie der Länge2a sei homogen geladen mit der Gesamtladung q. Die Linie befinde sich auch der z-Achse (von −a bis +a).
−a 0 Ladung q
a z
a)Geben Sie die Ladungsdichte ρ(r) in kartesischen Koordinaten zunächst für einen endlich dicken Draht (Querschnitt d×d) an. Betrachten Sie dann den Grenzfall d →0.
b) Berechnen Sie durch Integration über die Ladungsdichte das elektrische Potential Φ(r). Hinweis:
Z dz
√z2+u2 =arsinhz
u+C. (1)
c) Berechnen Sie Φ(r) für r a, indem Sie nach a/r entwickeln. Dabei ist r der Abstand von r zur z-Achse (normalerweise ρ genannt).
d) Berechnen Sie Φ(r) für a → ∞, wobei Sie die Ladung pro Längeneinheit, also q/(2a), konstant halten. Hinweise: Fürx 1gilt:arsinh(x)≈ln(2x). Die auftretende divergierende Konstante können Sie einfach weglassen, da das Potential nur bis auf eine Konstante definiert ist.
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