Wärmestromdihte und mittlere Filmtemperatur

derFallist,sosinktderGradientnihtmehrdurhdieAusbreitungder

Grenz-shiht, sondern durh den Anstieg des AbsorbatmassenanteilsimFilm.

Die Vershiebung der Verläufe zu höheren Werten der dimensionslosen

Strö-mungskoordinatemitsinkendenmodiziertenBiot-ZahlenwirdimAnhangA.3

anhandeinerintegralenAbsorbatmassenbilanzweitererläutert.Kurzgesagtist

der indierente nale Gleihgewihtswert des Absorbatmassenanteils für eine

vonNullvershiedene modizierte Biot-Zahllediglihvonder externen

Fluid-temperatur abhängig. Demzufolge führen die untershiedlihen lokalen

Mas-senstromdihten für diejeweiligen modizierten Biot-Zahlen zwangsweise zur

Vershiebung derfürdieErreihungdiesesGleihgewihtswerteserforderlihen

Strömungslänge

ξ _∞

vershiede-Fürdieisotherme Wand kommtesdurhdieFestlegung der Wandtemperatur

insbesondere beimEintrittdes Filmsund einer Wandtemperaturniedrigerals

10 ⁻² 10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³

10 ⁻³ 10 ⁻² 10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹

ξ Φ W

isotherme Wand mit Θ _W = −1

Le = 100 St = 0, ˜ 1 Θ _ext = −1 Bi = 0, ˜ 1 Bi = 1 ˜

Abbildung 5.6: Entwiklung des lokalen dimensionslosen W

andtemperaturgradi-enten

Φ _W

^für ^die ^diabate ^W^and ^über ^der dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

durhgezogene Linie für

˜

= 0, 1

^, gestrihelte Linie für

˜

= 1

^mit

Θ _ext = − 1

gepunkteteLinie für dieisothermeWandmit

Θ _W = − 1

die Filmeintrittstemperatur zu einer sehr groÿen Wärmestromdihte an der

Wand. Im Gegensatz dazu wird bei der Vorgabe des thermishen

Widerstan-des der Wand der Wärmestrom an die Wand begrenzt. Die Randbedingung

der diabaten Wand lautetin dimensionsloserForm:

∂ Θ

∂η (ξ, η = 1) = ˜

^Bi

· (Θ ext − Θ(ξ, η = 1)).

^(5.7)

FürkleineWerte derStrömungskoordinate

ξ

^beträgt^dieWandtemperatur na-hezu der Filmeintrittstemperatur

Θ(ξ, η = 1) ≅ Θ 0 = 0

^. ^Zu ^Beginn ^des

Ab-sorptionsprozesses, d.h.für

ξ → 0

^nähert^sih ^der dimensionsloseT emperatur-gradientan der Wand demzufolge folgendemEintrittsgrenzwert an:

∂Θ

∂η (ξ → 0, η = 1) = ˜

^Bi

· Θ _ext .

^(5.8)

Diese Grenzwerte amEintritt sind inAbbildung 5.6für dieuntershiedlihen

modizierten Biot-Zahlendeutliherkennbar.

Mit zunehmender Strömungslänge sinkt die Wärmestromdihte für die

iso-therme Wand, was durh die Ausbreitung der thermishen Grenzshiht in

den Film hervorgerufen wird, dadieWandtemperatur konstant gesetzt ist.

Sobald die beiden thermishen Grenzshihten der Filmoberähe und der

Wand sihbeeinussen, kommtesdurhdiedurhAbsorptionerhöhte

Salzlö-sungstemperaturzu einerVerlangsamungdieses Abfallsdes T

emperaturgradi-enten an der Wand bei

ξ ≈ 0, 1

^. ^Da ^jedoh ^die ^Absorption ^an ^der

Filmober-ähe mitzunehmender Strömungslängeabklingt,sinktdieWärmefreisetzung

an der Filmoberähe und dementsprehend auh die Wärmeabfuhr an die

Wand.

Für Bi

˜ = 1

^sinkt ^die Wandtemperatur für kleine Werte der dimensionslo-sen Strömungskoordinate in Abbildung 5.2 leiht ab, was auh in Abbildung

5.6 zu einemleiht sinkendenTemperaturgradienten führt. Sobalddie

thermi-she Grenzshiht der Filmoberähe mit der der Wand wehselwirkt, wird

dieses Absinken der Wandtemperatur und somit auh des

Temperaturgra-dienten (vgl.(5.7)) ähnlih dem isothermen Fall gebremst und örtlih sogar

gestoppt. Bei weiterer Steigerung der Strömungslänge klingt die Absorption

durhdieAnnäherung an denGleihgewihtszustand ab. Die Filmtemperatur

undsomitauhdieWandtemperaturnähernsihderexternenFluidtemperatur

Θ(ξ → ∞ , η = 1) = Θ _ext

^. ^Das ^bedeutet ^nah ^(5.7), ^dass ^auh ^der

Wandtem-peraturgradient vershwindet.

Bei sehr groÿen thermishen Widerständen der Wand, wie z.B. für Bi

˜ = 0, 1

führtdemnah der Anstieg der Wandtemperatur inAbbildung5.2, sobald die

thermishe Grenzshiht der Filmoberähe die der Wand erreiht, auh zu

einem Anstieg der anfänglihen Wärmestromdihte, da die Wandtemperatur

über die Filmeintrittstemperatur steigt. Die Wärmefreisetzung an der

Ober-ähe klingtjedohabbisdie WärmeüberdieWand abgegeben werdenkann,

so dass dieWandtemperaturab

ξ ≅ 3

^wieder^sinkt.

Für die im nähsten Abshnitt untersuhte Entwiklung der Unterkühlung

der Salzlösungwird diemittlereFilmaustrittstemperaturbenötigt.Diesewird

ähnlih dem Vorgehen im Anhang A.2 über eine integrale Energiebilanz um

den Filmerhalten:

M ˙ Lsg,0 · c Lsg · (T Lsg − T 0 ) = − λ ∂T

∂y

i

− ∂T

∂y

W

!

· B · x.

^(5.9)

DemFilmwirdander Oberähe Wärme durh dieAbsorptionvonAbsorbat

zugeführtund durh Wärmeleitung inden Film transportiert. An der

Wand-seite wird der Film gekühlt und daher Wärme durh Wärmeleitung aus dem

FilmandieWand abgegeben. Sinddiese beidenWärmeströmeüberder

Film-strömungslänge

x

^im ^Mittel ^gleih ^groÿ, ^so vershwindet die rehte Seite der Gleihung (5.9) und die Filmtemperatur ändert sih niht. Der Film tritt in

diesem Fallmit der Eintrittstemperatur

T 0

^aus. ^Zu ^beahten ^ist,^dass ⁱⁿ ^dem

hier vorgestellten Modell eine Massenänderung des Films durh Absorption

vernahlässigt wird. Die mittlere Austrittstemperatur des Films

T Lsg

^steigt

entsprehend,wenn dieüberdiebetrahteteStrömungslängegemittelteinden

FilmgeleiteteWärmestromdihtevonder Filmoberähe gröÿerist alsdiean

dieWand übertragene mittlereWärmestromdihte.

DieEinführungdimensionsloserVariablenliefertfolgendenZusammenhangfür

diemittleredimensionsloseFilmaustrittstemperatur:

Θ _Lsg = − ξ · ∂Θ

∂η

η=0

− ∂Θ

∂η

η=1

!

.

^(5.10)

Abbildung 5.7 zeigt den Verlauf der mittleren Filmaustrittstemperaturen als

Funktion der dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

^für ^die vershiedenen thermishenWandrandbedingungen.Dader Wandtemperaturgradientbeider

adiabatenWandvershwindet,kommtesindiesemFallzukeinerWärmeabfuhr

und die mittlereFilmtemperatursteigt auf den asymptotishen Endwert, der

lediglihvon der modizierten Stefan-Zahlabhängt:

Θ _Lsg,∞ = 1

1 + ˜

^St

≈ 0, 91

^für St

˜ = 0, 1.

^(5.11)

Für den groÿen thermishen Widerstand der Wand mit Bi

˜ = 0, 1

^kommt ^es

zuBeginndesAbsorptionsprozessesdurhdieintensiveWärmefreisetzung

auf-grundgroÿerStogradientenzueinemAnstiegderSalzlösungstemperatur,was

inAbbildung5.7deutliherkennbarist.KlingtderAbsorptionsprozessmit

zu-nehmenderStrömungslänge ab, so istdie Wand in der Lage diese Wärme aus

10 ⁻² 10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³

−1,5

−1

−0,5 0 0,5 1

ξ Θ L sg

Le = 100 St = 0, ˜ 1 Θ _ext = −1 Bi = 0, ˜ 1 Bi = 1 ˜

isotherme Wand mit Θ _W = −1

adiabate Wand

Abbildung5.7:EntwiklungderüberdieFilmdikenkoordinategemittelten

dimen-sionslosenAustrittstemperatur

Θ _Lsg

^für^die^diabate^Wand^über^derdimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

^; durhgezogene Linie für

˜

= 0, 1

^, gestrihelte Linie für

˜

= 1

^mit

Θ _ext = − 1

^,^gepunktete ^Linie ^für^die ^isotherme^W^and ^mit

Θ _W = − 1

^und

Strihpunktliniefür dieadiabate Wand

vorgegebene Fluidtemperatur.

Eine im Vergleihzur Eintrittstemperaturder Salzlösung leiht erhöhte

mitt-lere Salzlösungstemperatur ist auh für den kleineren Wärmewiderstand der

Wand mit Bi

˜ = 1

^erkennbar, ^allerdings ^deutlih ^weniger ^ausgeprägt ^als ^für

˜

= 0, 1

NurfürdieRandbedingungder isothermenWandkommtesvonBeginnanzu

einer stärkeren Kühlung des Films als Erwärmung durh Absorption für die

hier vorgegebene Wandtemperatur von

Θ W = − 1

^. ^Dadurh ^ist ^die ^mittlere

Salzlösungstemperatur für alle hier betrahteten Werte der dimensionslosen

Strömungskoordinate

ξ

^geringer^als^die Eintrittstemperaturder Salzlösung.

Im Dokument Analytische Lösung des gekoppelten Wärme- und Stofftransportproblems bei der Absorption im laminaren Rieselfilm (Seite 117-122)

Wärmestromdihte und mittlere Filmtemperatur

ξ ∞

10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3

10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1

ξ Φ W

isotherme Wand mit Θ W = −1

Le = 100 St = 0, ˜ 1 Θ ext = −1 Bi = 0, ˜ 1 Bi = 1 ˜

Φ W

ξ

˜

= 0, 1

˜

= 1

Θ ext = − 1

Θ W = − 1

∂ Θ

∂η (ξ, η = 1) = ˜

· (Θ ext − Θ(ξ, η = 1)).

ξ

Θ(ξ, η = 1) ≅ Θ 0 = 0

ξ → 0

∂Θ

∂η (ξ → 0, η = 1) = ˜

· Θ ext .

ξ ≈ 0, 1

˜ = 1

Θ(ξ → ∞ , η = 1) = Θ ext

˜ = 0, 1

ξ ≅ 3

M ˙ Lsg,0 · c Lsg · (T Lsg − T 0 ) = − λ ∂T

∂y

i

− ∂T

∂y

W

!

· B · x.

x

T 0

T Lsg

Θ Lsg = − ξ · ∂Θ

∂η

η=0

− ∂Θ

∂η

η=1

!

.

ξ

Θ Lsg,∞ = 1

1 + ˜

≈ 0, 91

˜ = 0, 1.

˜ = 0, 1

10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3

−1,5

−1

−0,5 0 0,5 1

ξ Θ L sg

Le = 100 St = 0, ˜ 1 Θ ext = −1 Bi = 0, ˜ 1 Bi = 1 ˜

isotherme Wand mit Θ W = −1

adiabate Wand

Θ Lsg

ξ

˜

= 0, 1

˜

= 1

Θ ext = − 1

Θ W = − 1

˜ = 1

˜

= 0, 1

Θ W = − 1

ξ

ξ _∞

10 ⁻² 10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³

10 ⁻³ 10 ⁻² 10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹

isotherme Wand mit Θ _W = −1

Le = 100 St = 0, ˜ 1 Θ _ext = −1 Bi = 0, ˜ 1 Bi = 1 ˜

Φ _W

Θ _ext = − 1

Θ _W = − 1

· Θ _ext .

Θ(ξ → ∞ , η = 1) = Θ _ext

Θ _Lsg = − ξ · ∂Θ

Θ _Lsg,∞ = 1

10 ⁻² 10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³

Le = 100 St = 0, ˜ 1 Θ _ext = −1 Bi = 0, ˜ 1 Bi = 1 ˜

isotherme Wand mit Θ _W = −1

Θ _Lsg

Θ _ext = − 1

Θ _W = − 1