Modell und Lösungsmethode von Grossman

Nako-die sih durh die niht-konstanten Koezienten ergebenden Untershiede in

der Lösungsmethodik wird an dieser Stellekurz eingegangen.

Separationsansatz und Rekursionsvorshrift

Auf die gleihe Art und Weise wie Grigor'eva und Nakoryakov (1977) erhält

Grossman (1983) durh den Separationsansatz folgenden allgemeinen Ansatz

für diedimensionslose Temperatur und den dimensionslosen Massenanteil:

Θ(ξ, η N ak ) = X ∞ n=1

A n · E n (η N ak )e ^{− k n 2 · ξ} ,

^(3.98)

γ(ξ, η N ak ) = 1 − X ∞ n=1

B n · F n (η N ak )e ^{−k 2 n ·ξ} .

^(3.99)

Für dieEigenfunktionen

E n

^und

F n

^{ergeben sih folgendehomogene,}

gewöhn-lihe Dierentialgleihungen mitniht-konstanten Koezienten:

d ² E n

dη _{N ak} ² + 3

2 (2η _{N ak} − η _{N ak} ² ) · k _n ² · E _n = 0,

^(3.100)

d ² F n

dη _{N ak} ² + 3

2 (2η N ak − η _{N ak} ² ) · k ² _n ·

^Le

· F n = 0.

^(3.101)

EingängigerLösungsansatzfürdieseFormderDierentialgleihugen,denauh

Grossman (1983)verwendet, istdie unendlihe Potenzreihe, deren

Koezien-ten durh Rekursionsvorshriften an die Dierentialgleihung angepasst

wer-den:

E n = X ∞

i=0

a n,i · η _{N ak} ⁱ ,

^(3.102)

F n = X ∞

i=0

b n,i · η _{N ak} ⁱ .

^(3.103)

DurhdieAnwendung der WandrandbedingungenerhältGrossman(1983)die

ersten Koezienten der unendlihen Potenzreihen:

Θ(η N ak = 0) = 0 ⇒ F n (η N ak = 0) = 0 ⇒ a n,0 = 0,

^(3.104)

∂γ

∂η _{N ak}

η N ak =0

= 0 ⇒ G ^′ _n (η N ak = 0) = 0 ⇒ b n,1 = 0.

^(3.105)

Durh Einsetzen der unendlihen Potenzreihen (3.102) und (3.103) in die zu

lösenden Dierentialgleihungen(3.100)und (3.101):

X ∞ i=2

i · (i − 1) · a n,i · η _{N ak} ⁱ⁻² + 3 2 · k _n ² ·

X ∞ i=0

a n,i

2 · η _{N ak} ⁱ⁺¹ − η _{N ak} ⁱ⁺²

= 0,

^(3.106)

X ∞

i=2

i · (i − 1) · b n,i · η _{N ak} ^{i − 2} + 3

2 · k _n ² ·

^Le

· X ∞

i=0

b n,i

2 · η _{N ak} ⁱ⁺¹ − η _{N ak} ⁱ⁺²

= 0,

^(3.107)

bestimmt Grossman (1983) weitere Koezienten und leitet die

Rekursions-formel für die noh unbekannten Faktoren

a _n,i

^und

b _n,i

^{durh den Vergleih}

der Koezienten vor den jeweiligentransversalen Variablen

η _{N ak}

^mitgleiher

Potenz ab:

a n,1 6 = 0, a n,2 = 0, a n,3 = 0, a n,i = 3

2 · k _n ² · a n,i − 4 − 2 · a n,i − 3

i · (i − 1)

^für

i ≥ 4,

(3.108)

b n,0 6 = 0, b n,2 = 0, b n,3 = − k _n ²

2 ·

^Le

· b n,0 , b n,i = 3

2 · k _n ² ·

^Le

· b _n,i−4 − 2 · b _n,i−3

i · (i − 1)

^für

i ≥ 4.

(3.109)

Grossman(1983)setztdienihtvershwindendenKoezienten

a n,1 = b n,0 = 1

^.

Diesistzulässig,damitHilfeder Rekursionsformelsämtliheweiterenoh

un-bekannte Koezienten abhängig von diesen Werten ermittelt werden. Somit

werdenEigenfunktionen

E _n

^und

F _n

^{mitweiterhinnoh}unbekannten Eigenwer-ten

k _n

^{erhalten, welhe jedoh formaldie}Dierentialgleihungund die Wand-randbedingungenerfüllen.AlsnähstesverwendetGrossman(1983)genauwie

Grigor'evaund Nakoryakov(1977)dieRandbedingungenander

Phasengrenz-ähe, um dieEigenwerte

k n

^{zu bestimmen.}

Ermittlung der Eigenwerte

Durh Einsetzen von (3.102) und (3.103) in dieRandbedingungen (3.83) und

(3.23) an der Phasengrenzähe bei

η N ak = 1

^{lassen sih folgende}

Beziehun-genzwishen denEigenfunktionenfürdiedimensionsloseTemperaturund den

dimensionslosen Massenanteilermitteln:

A n

B n

= −

^Le

·

St

˜ · F n (1)

E n (1) = F _n ^′ (1)

E _n ^′ (1) .

^(3.110)

Grossman (1983) verwendet den mittleren und rehten Term von (3.110) für

dieiterative Bestimmungder Eigenwerte:

0 = F _n ^′ (1)E _n (1) −

^Le

·

St

˜ · F _n (1)E _n ^′ (1).

^(3.111)

Die Eigenfunktionen

E n

^und

F n

^{sind unendlihe} Potenzreihen, (3.102) und (3.103). Bei Grigor'eva und Nakoryakov (1977) sind die Eigenfunktionen

tri-gonometrishe Funktionen, was den Rehenaufwand bei Grossman (1983) im

Vergleih deutlihsteigert.

Orthogonalitätsbeziehung für die Bestimmung der

Integrationskon-stanten

A n

^und

B n

^der Eigenfunktionen

In der gleihen Weise wie Grigor'evaund Nakoryakov (1977) leitet Grossman

(1983) ausgehend von den homogenen Dierentialgleihungender

Eigenfunk-tionen, (3.100) und (3.101), unter Verwendung der partiellenIntegration und

der Eintrittsbedingungen sowie der vershwindenden Wandrandbedingungen

eine Beziehung für dieIntegrationskonstante

B n

^her:

B _n =

R 1

0 (2η N ak − η ² _{N ak} )G n (η N ak )dη N ak

R 1

0 (2η _{N ak} − η ² _{N ak} )

˜

St

· _E ^{F n} _n ^{2 2 (1)} ₍₁₎ · E _n ² (η _{N ak} ) + F _n ² (η _{N ak} )

dη _{N ak}

.

^(3.112)

Die Integraleder einfahen Potenzreihen werden gliedweise integriert.Die

In-tegraleder quadratishen Potenzreihenmüssenzuvorausmultipliziertwerden:

F _n ² (η N ak ) = X ∞

i=0

m≤i

X

j=0

a n,j · a n,j − i

· η ⁱ _{N ak} ,

^(3.113)

E _n ² (η N ak ) = X ∞

i=0

^m ≤ i

X

j=0

b n,j · b _n,j−i

· η ⁱ _{N ak} .

^(3.114)

Über den Zusammenhang der Integrationskonstanten, welher sih aus der

Phasengleihgewihtsbeziehung ableiten lässt, ermittelt Grossman (1983) die

Integrationskonstante

A _n

^:

A n = B n · G n (1)

F n (1) .

^(3.115)

Grossman(1983) verwendet jedoh numerishe Methoden, um das gekoppelte

Wärme- und Stotransportproblem zu lösen, da für kleine Werte von

ξ

^sehr

viele Eigenwerte benötigt werden, was zu Konvergenzproblemen bei den

Po-3.3 Überblik über weitere Modelle und

Metho-den

Indemfolgendenhronologishgeordneten Überblik werdenweitere

physika-lisheModelleundderenLösungsmethodenkurzvorgestellt.Beider

Literatur-auswahl liegt das Hauptaugenmerk auf anderen analytishen Verfahren sowie

der Ähnlihkeit des zu Grunde liegenden physikalishen Modells zu dem in

dieser Arbeitangewendeten. Unter Umständen erfordern jedoh kleine

Ände-rungenamphysikalishen Modellbereits dieAnwendung numerisher V

erfah-ren,weshalb auh dieseinder hiervorgestelltenLiteraturauswahlzur Sprahe

kommen.

Kholpanov et al.(1982) untersuhen den Einusseines sih ausbildenden

Ge-shwindigkeitsprols bei der Filmströmung auf den Wärme- oder

Stotrans-port für kleine Werte der Koordinate in Strömungsrihtung. Sie verwenden

zur Lösungder physikalishen Modellgleihungendas numerishe

Runge-Kut-taVerfahren. DesWeiterenuntersuhen sie denEinuss einerShubspannung

an der Filmoberähe durh z.B. eine starke Gas-/Dampfströmung auf den

gekoppelten Wärme- und Stotransport. Sie konstatieren ohne Angabe von

Zahlenwerten eine erheblihe Abhängigkeit des Wärme- und Stoübergangs

von den an der Phasengrenzähe angreifenden Shubspannungen und

Ober-ähenspannungsgradienten.

LeGoetal.(1985)wendenaufdas indieser Arbeitverwendeteund von

Gri-gor'evaund Nakoryakov(1977)aufgestelltephysikalishe Modelldes

gekoppel-ten Wärme- und Stotransportes und der thermishen Randbedingungender

adiabaten Wand die Laplae-Transformation an und lösen das Problem im

Laplae-Bereih.Aufgrund fehlenderÄquivalenzeninden

Korrespondenzta-bellen wenden siefür dieRüktransformation dieshnelle Fourier-T

ransfor-mation an. Die so erhaltenen numerishen Ergebnisse weisen jedoh teilweise

physikalishniht erklärbare Shwingungen auf.

EbenfallsfürdieadiabateWand teilenLeGoetal.(1986)dieFilmströmung

je nah Eindringtiefe des Temperatur- und des Konzentrationsprols in den

Film in vier vershiedene Zonen ein. Sie wenden für die vershiedenen Zonen

jeweils ein stark vereinfahtes lineares Temperatur- und Konzentrationsprol

mit den sih ausbildenden Prolen für den halbunendlihen Körpersowie für

deren numerishe Lösung der Dierentialgleihungenmittels shnellerFourier

Transformation(LeGoetal.,1985).Dabeistellensiefest,dassdas stark

ver-einfahteModellder linearenProlefürgroÿeWertederStrömungskoordinate

repräsentative Ergebnisse liefert.

MitHilfedernumerishenMethodederFinitenDierenzenlösenvanderW

ek-ken undWassenaar (1988)dasgekoppelte Wärme-und Stotransportproblem

für die diabate Wand. Die von ihnen angewendeten Modellgleihungen sind

mitdenen vonGrossman (1983)identish,d.h. auh sie wenden das

ausgebil-dete parabolishe Filmströmungsprol an. Neben der im Vergleih zu

Gross-man(1983)verändertenthermishenWandrandbedingung derdiabaten Wand

berüksihtigen sie den durh den diusiven Salzmassenstrom zur

Filmober-ähe induzierten konvektiven Rükstrom in den Film über eine veränderte

RandbedingungfürdenabsorbiertenMassenstrominder Energiebilanzander

Phasengrenzähe:

˙

m abs = ρ · D 1 − c i · ∂c

∂y

i

,

^(3.116)

λ · ∂T

∂y

i

= ρ · D 1 − c i · ∂c

∂y

i

· ∆h abs .

^(3.117)

In dem Modellvonvan der Wekken und Wassenaar (1988) wirdjedoh

inner-halb der Filmströmung keine transversale Geshwindigkeit und die einseitige

Diusion ausshlieÿlihalsRandbedingung berüksihtigt.

Für das gekoppelte Wärme- und Stotransportproblem ist eine einfahe

Ab-shätzungdesdurhdieBerüksihtigungdereinseitigenDiusionveränderten

absorbiertenMassenstroms, wie z.B. dieBetrahtung des Verstärkungsfaktors

beimStefan-Strom,nihtdirektmöglih.DieWärmefreisetzungdurh

Absorp-tion wird eingeshränkt vom dem durh die Wärmeleitung begrenzten

Wär-meabtransport von der Filmoberähe in den Film, was dämpfend auf einen

Anstieg des absorbierten Massenstroms wirkt. In einer dimensionslosen

Dar-stellung geht diese die einseitigeDiusion beinhaltende Energiebilanz (3.117)

in folgendeForm über:

∂γ

∂η

η=1

= (1 − c i ) ·

St

˜

| {z }

= ˜

^St

einseitig

·

^Le

· ∂Θ

∂η

η=1

.

^(3.118)

EsistdemnahmöglihmitdemindieserArbeitvorgestelltenModell,welhes

lediglih äquimolareDiusion berüksihtigt, über eine Anpassung der

modi-zierten Stefan Zahl St

˜

mit dem zu erwartenden Oberähenabsorbensmas-senanteil

1 − c i

^zu St

˜ einseitig

^{zumindest den Eekt} einseitiger Diusion ander Filmoberähe abzushätzen. Bei einem Absorbatanteil von

c i = 0, 5

^halbiert

sihdementsprehendder Wert dermodiziertenStefan Zahl.Die

Auswirkun-geneinerVariationdermodiziertenStefanZahlwerdenimErgebnisteildieser

Arbeitdiskutiert.

Nah Aussage von van der Wekken und Wassenaar (1988) erlaubt die von

ihnen angewendete numerishe Methode lediglih Randbedingungen mit

kon-stanten Koezienten.AusdiesemGrundwirdvonihnenanstelledesvariablen

Oberähenabsorbatanteils

c i

^{in (3.117) der konstante} Absorbatmassenanteil am Eintritt der Lösung

c 0

^{verwendet. Als Ergebnis geben van der Wekken}

undWassenaar(1988)VerläufederMitteltemperaturensowieder

Oberähen-temperaturenund -massenanteilefüreine AuswahldimensionsloserParameter

an.Des WeiterendenierensiefolgendelokaleSherwood-undNusselt-Zahlen,

deren Verlauf sie als Funktion der Fourier-Zahl, d.h. der dimensionslosen

Strömungskoordinate, angeben:

Sh

= β · δ

D =

∂γ

∂η

η=0

(γ i − γ) ,

^(3.119)

Nu

i = α i · δ

λ =

∂Θ

∂η

η=0

(Θ i − Θ) ,

^(3.120)

Nu

W = α W · δ

λ =

∂Θ

∂η

η=1

(Θ − Θ W ) .

^(3.121)

Diesephysikalishdurhaus sinnvollen undnahvollziehbarenDenitionender

dimensionslosen Kennzahlen führen allerdingszu Problemen, da in der Regel

inder Praxisdie Werte vonTemperatur und Absorbatmassenanteil weder an

der Phasengrenzähe noh diemittlerenWerte inder Filmströmungbekannt

sind. Allerdings sind diese im theoretishen Modell zugänglih und werden

daher von van der Wekken und Wassenaar (1988) zum Vergleih ihrer

Er-gebnissedes gekoppeltenTransportproblemsmitdenKorrelationendes reinen

Wärme- bzw. Stotransportes herangezogen und dementsprehend deniert.

Wenig überrashend stellen van der Wekken und Wassenaar (1988) fest, dass

genommen zu fehlerhaftenErgebnissen führt. Sieshlagen daher vor, mit

Hil-fe ihrer numerishen Ergebnisse vereinfahte Beziehungen und Korrelationen

für den gekoppelten Wärme- und Stotransport als Funktion der relevanten

dimensionslosen Parameter zu erstellen, welhe wiederum für einfahere und

leihter anwendbare Modelle zur Auslegung und Simulation der Wärme- und

Stoübertrager verwendet werden können. Sie geben diese Korrelationen

be-dauerliherweisenihtselbstanundshlagenvor,diesemitHilfedervonihnen

angegebenen Diagrammezu ermitteln.

Brauner (1991)erweitert einerseits das Modellvonvan der Wekken und

Was-senaar (1988), indem sie die transversale Geshwindigkeit im Film niht

ver-nahlässigt,dentatsählihenOberähenmassenanteilfürdieVerstärkungder

einseitigen Diusionverwendet und einevariableFilmdikein

Strömungsrih-tung erlaubt. Andererseits wendet Brauner (1991) dieses Modell ähnlih wie

Grossman(1983)lediglihfürdieadiabatebzw.fürdieisothermeWandan,

wo-bei dieFilmeintrittstemperaturgleih der Wandtemperaturgesetzt ist.

Brau-ner (1991) stellt fest,dass durh dieErweiterung des Filmmodellsum die

Be-rüksihtigung der einseitigen Diusioneine analytishe Lösung der partiellen

Dierentialgleihungen für die gesamte Filmströmung niht mehr zugänglih

ist.Für die von der Wand ungestörte Phasengrenzähe inder Nähe des

Ein-tritts der Salzlösung ermitteln Brauner et al. (1989) eine analytishe Lösung,

die für ähnlih groÿe Massenanteile des Absorbats und des Absorbens einen

niht vernahlässigbaren Eekt der transversalen Geshwindigkeitaufzeigt.

Für die Lösung des Problems für die gesamte Filmströmung integriert

Brau-ner (1991)formaldiepartiellenDierentialgleihungenüberdie

dimensionslo-seFilmdikenkoordinate,um gewöhnlihe Dierentialgleihungen inder

Film-strömungsrihtungzuerhalten.UmdieseIntegralebestimmenzukönnen,setzt

Brauner(1991)apriori einfaheanalytisheFunktionen,z.B.quadratishe

Po-lynomansätzefürdas Geshwindigkeits-, Massenanteils-und Temperaturprol

imFilm an, welhe sämtlihdiejeweiligen Randbedingungen erfüllen. Hierfür

istesallerdingserforderlihdasTransportproblem,wiebereitsbeiLeGoetal.

(1986),invershiedene Zoneneinzuteilen. Brauner (1991)untersheidet dabei

drei Zonen. In der ersten Zone, der ungestörten Phasengrenzähe, sind

we-der diethermishe nohdiestoihe Grenzshiht vonder Phasengrenzähe

an der Wand angekommen.In Zone zwei hat diethermishe Grenzshiht die

Wand erreiht, die stoihe jedoh noh niht. Entsprehend haben in Zone

drei sowohl die thermishe als auh die stoihe Grenzshiht die Wand

er-reiht.DasverbleibendegewöhnliheDierentialgleihungssystemlöstBrauner

(1991)mitHilfeder Runge-KuttaMethode, d.h. einemnumerishen

Anfangs-wertlösungsalgorithmus. Ähnlih wie van der Wekken und Wassenaar (1988)

gibt auh Brauner (1991) die dimensionslosen

Phasengrenzähentemperatu-ren und -massenanteile an und deniert die lokalen Sherwood- und die

Nus-selt-Zahlen mit den physikalish nahvollziehbaren treibenden

Massenanteils-und Temperaturdierenzen. Allerdings verändert sih durh die

Berüksihti-gung der einseitigen Diusion bei Brauner (1991) dementsprehend die

Sher-wood-Zahl im Vergleih zu van der Wekken und Wassenaar (1988) (3.119).

In gleiher Weise wie in Brauner et al. (1989) shlussfolgert Brauner (1991),

dass bei ähnlih groÿen Absorbent- und Absorbatmassenanteilen die

trans-versaleFilmgeshwindigkeitskomponenteberüksihtigtwerdensollteohnedie

dadurh verursahte Abweihung im absorbierten Massenstrom für typishe

Absorberbedingungen genau zu quantizieren.

Yang und Wood (1992) wenden das von Grossman (1983) eingeführte

physi-kalishe Filmmodellan. Im Gegensatz zu Grossman (1983) lösen sie die

Be-dingung gleiher Wand- und Filmeintrittstemperatur für die Randbedingung

der isothermen Wand auf und lösen die partiellenDierentialgleihungenmit

Hilfeder numerishen Methode der FinitenDierenzen.Auÿerdem verzihten

Yang undWood(1992)aufeineEntdimensionierungdes Problemsund aufdie

LinearisierungdesPhasengleihgewihtsanderFilmoberähe.Sievergleihen

ihre so berehneten Ergebnisse mit eigens ermittelten Messwerten allerdings

unterEinussvonWellen undeinemAnteilvon5% nihtkondensierbarer

Ga-se. Nihtsdestotrotz stellen Yang und Wood (1992) trotz der sehr einfahen

Modellierungund dervereinfahenden Annahmen einegute Übereinstimmung

zwishen den berehneten und experimentell ermittelten Ergebnisse fest und

behauptendaher,dassauhdaslaminare,nihtwelligeFilmmodellrealistishe

Ergebnisse vorhersagt.

Hajji und Worek(1992) untersuhen den transienten Wärme- und

Stotrans-port imunbewegten dünnen FilmeinesAbsorbens, welhes fürden

mitbeweg-ten Beobahter dem Modell von Grigor'evaund Nakoryakov (1977) des Films

mitkonstanter Filmgeshwindigkeit identish ist. Sie wenden die im

vorange-gangenen Abshnitt detailliertvorgestellte Fourier-Methode von Grigor'eva

und Nakoryakov (1977) und Nakoryakov et al. (1997) an, erwähnen jedoh

auh, dass die Laplae-Transformation prinzipiell zur Lösung dieses

Pro-blemsgeeignet wäre.Allerdingswendensiewenigerrestriktive

Randbedingun-gen an der Wand an, indem sie einen beliebigen Wärme- und Stostrom an

derWandzulassen, derandersalsbeiNakoryakovetal.(1997)nihtzwingend

Null sein muss. Hajjiund Worek(1992) zeigen jedohniht,wie die ebenfalls

vonihnen verwendete Orthogonalitätsbeziehung ohne dieAnnahmen von

Na-koryakov et al.(1997) hergeleitetwurde.

Ibrahim und Vinniombe(1993) verwenden imPrinzip das gleihe Modell

so-wiediegleihenRandbedingungenwievanderWekken undWassenaar (1988).

AusGründender numerishen Stabilitätsowieder Begrenzungder Rehenzeit

benötigesiedieanalytisheLösungderungestörtenPhasengrenzäheam

Ein-tritt der Salzlösung inden Absorberinähnliher Weise wie Grossman(1983).

Ibrahim und Vinniombe (1993) erweitern die analytishe Lösung für

klei-ne Werte der dimensionslosen Strömungskoordinate fürdie Wandseite, indem

siedort eine Wärmedurhgangsbeziehung alsRandbedingung verwenden. Für

gröÿereWertebenutzensiedienumerisheMethodederimplizitenFiniten

Dif-ferenzen.

Patnaiketal.(1993)verwendenempirisheAnsätzefürdenWärme-und

Sto-transport. Sie begründen dieses Vorgehen damit, dass die bisherigen

theore-tishen Modelle und deren Lösung auf laminarer Filmströmung basieren und

zu einer Untershätzung des absorbierten Massenstroms tendieren. Das von

Patnaik et al. (1993)betrahtete Vertikalrohr stellt einen

Gegenstromwärme-und -stoübertrager dar. In Strömungsrihtung des Lösungslms wird

die-rentiell und quer zur Strömungsrihtung integral bilanziert. Die

Übergangs-koezienten für Wärme und Sto erhalten sie aus einshlägigen empirishen

Korrelationen. Für den lmseitigen Wärmeübergangskoezienten verwenden

sieeine Korrelationfürden welligen Film (Seban, 1978).Den

Stoübergangs-koezienten ermittelnPatnaik etal.(1993)auseinerKombinationvon

Korre-lationen aus der Penetrationstheorie (Hobler, 1966) und einer Korrelationfür

Gasabsorption in welligen, turbulenten Falllmen von Yih und Chen (1982).

DasGleihungssystemaus gewöhnlihen Dierentialgleihungenlösen Patnaik

et al.(1993) mit Hilfe eines Runge-Kutta Verfahrens vierter Ordnung zur

In-tegration (Davis und Polonsky, 1970).Bei überhitzten Eintrittszuständen der

Lösung berihten Patnaik et al. (1993) von Shwingungen in der Nähe des

Eintrittsder Lösung,welhe siesehr pragmatishmiteinemmitzunehmender

LauängeabklingendenDämpfungsfaktorunterdrüken. AlsErgebniserhalten

siedie Temperaturverläufe des Kühlwassers und der Lösung sowie den

absor-bierten Wassermassenstrom und den an das Kühlwasser abgegebenen

Wär-mestromals Funktion der Strömungskoordinate für variable Salzlösungs- und

Kühlwassermassenströme. Patnaik et al. (1993) shlussfolgern, dass die von

ihnen erstellten Diagramme zur Auslegungvon Absorbern verwendet werden

können, solange die Bedingungen für die von ihnen verwendeten

Korrelatio-nen gelten. Ein Vergleih mit experimentell ermittelten Daten erfolgt durh

Patnaik et al. (1994) mit einer relativen Abweihung zwishen theoretishem

Modellund dem Experiment von kleiner als20% für dieuntersuhten Fälle.

Conlisk(1992)untersuhtwiePatnaiketal.(1993)dasgekoppelteWärme-und

Stotransportproblem an einem auÿen berieselten Vertikalrohr. Das

dimensi-onsloseFilmmodellvonConlisk(1992)istdemvonGrossman(1983)sehr

ähn-lih,nahdemConlisk (1992) diebei der Modellierung angenommene variable

Filmdike sowie die transversale Geshwindigkeitskomponente zumindest für

diedierentielleEnergiebilanzvernahlässigt.AuhConlisk(1992)wendetwie

LeGoetal.(1985)dieLaplae-Transformationaufdieerhaltenenpartiellen

Dierentialgleihungen, welhe die variable Filmgeshwindigkeit

berüksihti-gen, an. Im Laplae-Bereih löste Conlisk (1992) die gewöhnlihen

Die-rentialgleihungen mit niht konstanten Koezienten unter Anwendung der

parabolishen Zylinderfunktion. Allerdings stellt Conlisk (1992) fest, dass die

erhaltenenLösungenimLaplae-BereihfüreineRüktransformationinden

reellen Zahlenbereih zu kompliziertsind. Aus diesem Grund wendet Conlisk

(1992) numerishe Methoden für die Rüktransformation aus dem

Laplae-Bereih an (Honig und Hirdes, 1984). Auf diese Weise erhält Conlisk (1992)

Lösungen für die isotherme Wand und eine von ihmaufgeprägte sih mitder

WurzelderStrömungskoordinateverändernden Wandtemperatur.Erberihtet

von sehr guten Übereinstimmungen mit experimentellen Werten (persönlihe

MitteilungenvonMiller1991 und 1992)und dass dieses numerishe Vorgehen

sih sehr robust gegen groÿe Gradienten zeigt. Nihtsdestotrotz spriht

Con-lisk(1992)auhvoneinerstarkenAbweihungzwisheneinemexperimentellen

Datensatz und der berehneten Salzlösungstemperatur im Kern, deren

Ursa-he ihmunklar ist.Bei seinemVorgehen geht Conliskaufgrund des Vergleihs

der dimensionslosen Kennzahlen davon aus, dass der Stotransport lediglih

in einer oberähennahen Shiht abläuft. Diese Hypothese bewegt ihn dazu,

in einer weiteren Veröentlihung (Conlisk, 1995) ein komplett analytishes

Lösungsverfahren fürdas gekoppelte Wärme- und Stotransportproblem

vor-zushlagen, um einerseits den Rehenaufwand im Vergleih zu numerishen

Methoden zu verringern und andererseits keine freien Parameter wie

empiri-she Wärme- und Stotransportkoezienten zu benötigen. Dafür nimmt er

neben der oberähennahen Grenzshiht für den Stotransport das T

empe-raturprol im Film alsausgebildetes und von dem strömenden Film

unbeein-trähtigtesunddaherlinearesTemperaturprolüberderFilmdikenkoordinate

an, was ermitden Ergebnissen seiner Vorarbeiten (Conlisk,1992) begründet.

Für den lediglih an der Filmoberähe stattndenden Stotransportwendet

Conlisk (1995) die analytishe Lösung des Problems der singulären Störung

für das dimensionslose Massenanteilsprol in der stoihen Grenzshiht an.

Somit erhält er einen analytishen Ausdruk für den an der Filmoberähe

absorbiertenMassenstrom unter den getroenen Annahmen und füreine

kon-stante Wandtemperatur. Aus seinen Ergebnissen shlussfolgert er, dass die

Absorption vom Stotransportwiderstand dominiert wird, wobei genau dies

eine Grundannahme für dievonihmvorgestellte analytishe Lösung ist.

Eine Erweiterung dieses Modells um den Stotransport im Dampfraum, wie

z.B. für das Stogemish Wasser-Ammoniak, stellen Conlisk und Mao (1996)

vor.DarüberhinausbetrahtensiedieStrömungdesSalzlösungslmsüberein

horizontalesRohrimGegensatzzudenzuvorbetrahtetenFilmströmungenam

Vertikalrohr.ÜbereineMassenbilanzanderPhasengrenzähe stellenConlisk

und Mao (1996)einen Zusammenhang zwishen den Massenanteilsprolen im

Dampf undim Filmher und verwenden diesen Zusammenhangalsveränderte

Randbedingungfür dieLösungdes Massenanteilsprols imFilm. MitHilfe

ei-ner vonihnen alsFourier-KosinusTransformationbezeihneten Umformung

lösen siedas ProblemimBildbereihund nahder Rüktransformation

erhal-ten sie algebraishe Gleihungen, jedoh mit noh zu lösenden Integralen in

der Zeit. Conlisk und Mao(1996) sprehen voneiner punktweisen Lösung des

absorbierten Massenstroms, ohnedies genauzu spezizieren.

Die hier vorgestellten Modelle und analytishen sowie numerishen

Lösungs-methodenfürdieAbsorptionimlaminarenRiesellmstelleneineAuswahldar.

DieseDarstellungsolleinenÜberblikinsbesondereüberdieBestrebungenund

Entwiklungen der analytishen Methoden geben. Auf den Stand zur

nume-rishen Simulation der Filmströmung ist an dieser Stelle bewusst verzihtet

worden, da das hier vorgestellte Modell aufgrund der starken

hydrodynami-shenVereinfahungenkeinenErkenntnisbeitragindiesemGebietliefernkann.

Allerdingskann diehier vorgestellte einfah zu implementierende Lösung mit

starkvereinfahter Hydrodynamik als Referenz für kompliziertere numerishe

Wärme-und Stotransportsimulationen dienen.

Die Anwendung der Laplae-Transformation und die Lösung der

Modell-gleihungen für vershiedene thermishe Wandrandbedingungen wird im nun

folgendenKapitel vorgestellt.

Kapitel 4

Analytishe Lösung mit Hilfe der

Laplae-Transformation

In diesem Abshnitt wird eine vielseitige analytishe Lösungsmethode für die

partiellenDierentialgleihungendes gekoppelten Wärme- und

Stotranspor-tes(2.48)und(2.49)beiderlaminarenRiesellmabsorptionvorgestellt.Hierzu

werden die partiellen Dierentialgleihungen mittels der

Laplae-Transfor-mation,wie imAnhangB.2amBeispieldesTemperaturfeldesbeshrieben,

zu-nähst in gewöhnlihe Dierentialgleihungenumgeformt, dannim

Laplae-Bereih gelöstund shlieÿlihwerden diese Lösungen in den reellen

Zahlenbe-reih zurük transformiert. Bei der Laplae-Transformation handelt es sih

umeine Integraltransformation.DieallgemeineTransformationsvorshrift

lau-tet:

F (z) = Z ∞

0

f (x) ·

^e

^−z·x · dx x ∈ R , z ∈ C .

^(4.1)

Die allgemeine Vorshrift für dieRüktransformation einer Funktion aus dem

Bildbereihlautet:

f(x) = 1 2 · π · i

ω+i Z ·∞

ω−i·∞

e

z·x · F (z) · dz.

^(4.2)

Die mathematishen Umformungen zur Durhführung der

Laplae-Trans-formation sind weithin bekannt und nden insbesondere in der

Regelungs-WeitauswenigerbekanntundgeläugistdieAnwendungder

Rüktransforma-tion.Diesewirddaher indieser Arbeitnahdem vonBaehr(1955)

präsentier-tenVerfahrenausführlihdargestellt.DiemathematishenGrundlagenfürdie

Anwendung dieses Verfahrens bei der Rüktransformation sind

zusammenge-fasstim AnhangB.3 zu nden.

4.1 Laplae-Transformation der partiellen

Dif-ferentialgleihungen

Die Laplae-Transformiertender dimensionslosen partiellen

Dierentialglei-hungen (2.48) und (2.49)aus Abshnitt 2.2lauten wie folgt:

− Θ 0 = ∂ ² Θ(z, η)

∂η ² − z · Θ(z, η),

^(4.3)

− γ 0 = 1

Le

∂ ² γ(z, η)

∂η ² − z · γ(z, η ).

^(4.4)

DiereelledimensionsloseStrömungskoordinate

ξ

^gehtimLaplae-Bereihin diekomplexeVariable

z

^{über.Diepartiellen}Ableitungennah

ξ

^imBereihder

reellen Zahlen gehen im komplexen Laplae-Bereih in einen algebraishen

Zusammenhang(vgl. (B.10)) über.

Da die Entdimensionierung als Dierenz zu den jeweiligen Eintrittswerten

T 0 , c 0

^{erfolgt, sind}

Θ 0 = γ 0 = 0

^{und die formalen Lösungen dieser beiden}

dadurhhomogenen, gewöhnlihen Dierentialgleihungenlauten wie folgt:

Θ(z, η ) = C 1 ·

^e

^{√ z · η} + C 2 ·

^e

^{− √ z · η} ,

^(4.5)

γ(z, η) = C 3 ·

^e

^{√ z·}

^Le

^·η + C 4 ·

^e

^{− √ z·}

^Le

^·η .

^(4.6)

Die formalen Lösungen (4.5) und (4.6) stellen den Ausgangspunkt der

vorlie-genden Arbeit dar.

DieseformalenLösungenimLaplae-Bereihbeinhaltenbereitsdie

Anfangs-bedingungen

Θ ₀ = γ ₀ = 0

^{. Die noh} unbekannten vier Integrationskonstanten werdendurh vierRandbedingungen bestimmt.Diese Randbedingungen

müs-sen zuvor jedoh ebenfallsin den Laplae-Bereihtransformiert werden.

Im Rahmen dieser Arbeit werden vershiedene thermishe Randbedingungen

an der Wand angewendet und mit Lösungen aus der Literatur sowie

Im Dokument Analytische Lösung des gekoppelten Wärme- und Stofftransportproblems bei der Absorption im laminaren Rieselfilm (Seite 62-77)