Analytische Lösung des gekoppelten Wärme- und Stofftransportproblems bei der Absorption im laminaren Rieselfilm

im laminaren Riesellm

vorgelegt von

Dipl.-Ing.

Thomas Meyer

geb. in As hersleben

von der Fakultät III - Prozesswissens haften

der Te hnis hen Universität Berlin

zur Erlangung des akademis hen Grades

Doktor der Ingenieurwissens haften

- Dr.-Ing.

-genehmigte Dissertation

Promotionsauss huss:

Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Matthias Kraume (TU Berlin)

Guta hter: Prof. Dr.-Ing. Felix Ziegler (TU Berlin)

Guta hter: Prof. Dr.-Ing. Stephan Kabela (LU Hannover)

Tag der wissens haftli hen Ausspra he: 31. März 2016

Die vorliegende Dissertation entstand während meiner Arbeit amInstitut für

Mas hinen-undEnergieanlagente hnikderTe hnis henUniversitätBerlin

un-ter der LeitungvonProf. Dr.-Ing.FelixZieglerimZeitraumvonFebruar

2009

bisNovember

2015

.

Besonderen Dank mö htei hmeinemDoktorvater Prof. Dr.-Ing.Felix Ziegler

ausspre hen,dessenkritis heBeguta htungder Ergebnisseunddes Textes

die-se Arbeitin erhebli hem Maÿe verbessert haben.

I hmö hte mi hposthum beiProf.Dr.-Ing.H. D. Baehrbedanken, ohne

des-sensorgfältigeAufarbeitungundDarstellungdermathematis henGrundlagen

derLapla e-TransformationfürdieLösungni ht-stationärer

Wärmeleitungs-probleme dievorliegendeArbeitindieser Form mitgroÿer Wahrs heinli hkeit

ni ht entstanden wäre.

MeinDank giltebenso Prof.Dr.-Ing.Stephan Kabela des Instituts für

Ther-modynamikder LeibnizUniversitätHannoverfürdiebereitwilligeÜbernahme

des Zweitguta htens.

Abs hlieÿend danke i h meinen Kollegen, insbesondere Herrn Martin

Mitter-maier, für diezahlrei hen anregenden Diskussionen zum Thema und darüber

hinaus, die ebenfalls maÿgebli h zur Verbesserung dieser Arbeit beigetragen

tors on the ombined heat and mass transfer by using an analyti al solution

with te hni ally more realisti boundary onditons. This analyti al solution

an then be used to vary the design of heat and mass ex hangers for a given

working uid with respe t tothe ex hanger ee tiveness orto ompare

dier-ent working uids for agiven design of the ex hangers.

In the present study a physi al lmmodelis derived from the dierential

en-ergy and omponent balan es for a laminarfallinglm. The obtained partial

dierential equations are solved by means of the Lapla e transform for a

diabati wall boundary ondition.

The obtained analyti al solutions are used to al ulate heat and mass uxes

from the evolvingtemperatureand mass fra tion proles as a fun tion of the

hara terizing dimensionless numbers for a typi al working uid of aqueous

lithiumbromide.

A omparison with available experimental data reveals ex ellent agreement

despite the strong simpli ations espe iallyin terms of lmow, assumption

of omplete wetting of the tubes et ..

Withtheanalyti alsolutionforthediabati wallboundary onditionthegreat

spread of the experimentally determied heat transmission and mass transfer

oe ients published inliterature is omprehensible and reprodu ible for the

single tube al ulation fortypi alvarying inlet onditionsof aqueous

lithium-bromidetri kled ontohorizontal tubes.

In a te hni ally typi al range of

0, 005 < ˙Γ< 0, 05 kg/(ms)

for the irrigation density, the analyti al solution yields mean mass transfer oe ients in the

rangeof

β ≈ 0, 08 − 0, 18 m/h

¯

aswellasmeanheattransmission oe ientsof

¯

k ≈ 0, 18 − 1, 25 kW/(m

2

_K)

depending on the temperatur dieren ebetween

meter auf den gekoppelten Wärme- und Stotransportin

Absorptionswärme-wandlernmitHilfeanalytis herFunktionenfürte hnis hmögli hstrealistis he

Randbedingungenzubes hreiben.Dieseanalytis heLösungkannans hlieÿend

alsAuslegungswerkzeugfürdieWärme-undStoübertragerfüreinemögli hst

eektiveAusnutzungderbereitgestelltenÜbertragungsä hesowiefür

Verglei- he vers hiedener Arbeitsmedien untereinanderherangezogen werden.

Im Rahmen dieser Arbeit werden die si h aus dem physikalis hen

Filmmo-dell für laminar berieselte Horizontalrohre ergebenden partiellen

Dierenti-alglei hungen für den Energie- und Stotransport mit Hilfe der

Lapla e-Transformation fürdiete hnis h typis he thermis he Randbedingungder

dia-batenWandimkomplexenLapla e-Berei hgelöstund zurü k transformiert.

Die so erhaltenen Lösungen werden verwendet, um am Beispiel wässriger

Li-thiumbromidlösung, einem typis hen Arbeitsmedium für den Einsatz in

Ab-sorptionswärmewandlern, dieWärme-undStostromdi hten ausden si h

ent-wi kelnden Temperatur- und Massenanteilsprolen zu bere hnen und deren

Abhängigkeit von den bestimmenden dimensionslosen Kenngröÿen zu

ermit-teln.

EinVerglei hmitexperimentellermitteltenDatenzeigtsehrgute

Übereinstim-mungentrotzderteilweisestarkenVereinfa hungendesRiesellmmodells,z.B.

der sehr starken Vereinfa hung der Filmströmungsverhältnisse, der Annahme

kompletter Benetzung der Rohre et ..

Mit der in dieser Arbeit präsentierten analytis hen Lösung für die diabate

Wand lässtsi h anhandeinerEinzelrohrbetra htungdiegroÿe Bandbreiteder

in der Literatur veröentli hten, experimentell ermittelten Wärmedur h- und

Stoübergangskoezienten für mit wässriger Lithiumbromidlösung berieselte

Horizontalrohrena hvollziehen.

Mit Hilfe der analytis hen Lösung ergeben si h bei der Variation der

Beriese-lungsdi hte von

0, 005 < ˙Γ< 0, 05 kg/(ms)

mittlere Stoübergangskoezien-ten von

β ≈ 0, 08 − 0, 18 m/h

¯

sowie abhängig von der Temperaturdierenz des Kühlwasserszu der Salzlösungseintrittstemperaturmittlere

Wärmedur h-gangskoezienten von

¯

k ≈ 0, 18 − 1, 25 kW/(m

2

_K)

Inhaltsverzei hnis

Inhaltsverzei hnis i

Abbildungsverzei hnis iv

Tabellenverzei hnis xiii

Nomenklatur xv

1 Einleitung und Motivation 1

2 Modellierung 5

2.1 Modellvorstellung und Annahmen . . . 5

2.1.1 Impulsbilanz. . . 7

2.1.2 Bilanz normal über die Systemgrenzen transportierter Erhaltungsgröÿen . . . 12

2.1.3 Gesamtmassenbilanz . . . 13

2.1.4 Komponentenbilanz . . . 14

2.1.5 Energiebilanz . . . 14

2.2 Entdimensionierung der Modellglei hungen . . . 15

3 Stand der Wissens haft 19 3.1 Lösungsmethoden vonGrigor'eva und Nakoryakov . . . 20

3.1.1 Fourier-Methode . . . 20

3.1.2 Lösungfürdenhalbunendli henKörperbzw.fürdie un-gestörte Phasengrenzä he . . . 33

4 Analytis he Lösung mit Hilfe der Lapla e-Transformation 49

4.1 Lapla e-Transformation der partiellenDierentialglei hungen. 50

4.2 Anwendung der transformiertenRandbedingungen . . . 51

4.2.1 Anwendung der Randbedingungen imLapla e-Berei h 53 4.2.2 Adiabate Wand . . . 55

4.2.3 Isotherme Wand . . . 57

4.2.4 Diabate Wand . . . 58

4.3 Rü ktransformation in den reellenBerei h . . . 62

4.3.1 Bestimmung der Polstellen . . . 63

4.3.2 Bestimmung der Residuen der Polstellen . . . 65

4.3.3 Aufsummierung aller Residuen . . . 76

5 Ergebnisse der analytis hen Lösung 79 5.1 Filmtemperaturprol . . . 80

5.1.1 Adiabate und isotherme Wand . . . 80

5.1.2 Diabate Wand . . . 82

5.2 Filmmassenanteilsprol . . . 84

5.2.1 Adiabate und isotherme Wand . . . 84

5.2.2 Diabate Wand . . . 86

5.3 Absorbierte Massenstromdi hte . . . 88

5.4 Wärmestromdi hteund mittlere Filmtemperatur. . . 91

5.5 Unterkühlung des Films . . . 96

5.6 Variationder modiziertenStefan- und der Lewis-Zahl . . . . .100

5.6.1 Variationder modizierten Stefan-Zahl . . . .103

5.6.2 Variationder Lewis-Zahl . . . .108

5.7 Charakterisierung des Wärmeübertragers . . . .112

6 Verglei h mit experimentellen Daten 123 6.1 Stoeigens haften wässriger Lithiumbromidlösung . . . .124

6.2 Werteberei hder dimensionslosen Kenngröÿenfürtypis he Ab-sorberbetriebsbedingungen . . . 129

6.3 Ergebnisse der analytis hen Lösung . . . 139

6.3.1 Variation der Berieselungsdi hte . . . 146

6.3.4 mittlereStoüber-und Wärmedur hgangskoezienten . 153

6.4 Messdaten vonBeutler . . . 158

6.4.1 Aufbauder MessapparaturvonBeutler . . . 158

6.4.2 Kenngröÿender Messung . . . 160

7 Fazit 169 A Physikalis her Anhang 175 A.1 Fi k's he Diusion . . . 175

A.2 Asymptotis he Endwerte für dieadiabateWand . . . 175

A.3 Integrale Absorbatbilanz . . . 176

A.4 Stodaten wässriger Lithiumbromidlösung . . . 180

A.5 Diusionskoezient wässriger Lithiumbromidlösung . . . 181

A.6 Analytis heFunktionfürdieDampfdru kdatenwässriger Lithi-umbromidlösung . . . 182

A.7 Randbedingungen erster Artan der Phasengrenzä he . . . 186

A.8 Verbesserung der Fourier-Methode . . . 192

B Mathematis her Anhang 195 B.1 Fourier-Methode . . . 195

B.2 Lapla eTransformation . . . 196

B.3 Inverse Lapla e-Transformation . . . 198

B.4 Zusammenhang zwis hen Exponential- und Winkelfunktionen . 202 B.5 ErmittlungvonMittelwertenundGradientenaus den Lösungs-funktionen . . . 203

Abbildungsverzei hnis

2.1 S hematis he Darstellung des gekoppelten Wärme- und

Sto-transportes im laminarenRiesellm mitden qualitativen T

em-peratur-undMassenanteilsprolenfürzweiunters hiedli he

Film-strömungskoordinaten

x

1

< x

2

. . . 6 2.2 Dierentielles Impulsbilanzvolumenelement im laminaren

Rie-sellm . . . 8

2.3 EntdimensioniertesGes hwindigkeitsprolderRiesellmströmung

na h Nusselt (1923) . . . 11

2.4 DierentiellesBilanzvolumenelementimlaminarenRiesellmin

kartesis hen Koordinaten für normal über die Systemgrenzen

transportierteErhaltungsgröÿen . . . 12

4.1 S hematis he Darstellung des Modells der diabaten Wand und

eines qualitativen Temperaturverlaufs während des

Absorpti-onsprozesses . . . 59

5.1 ProlederdimensionslosenTemperatur

Θ

überder dimensions-losenFilmdi kenkoordinate

η

fürvers hiedeneWerteder dimen-sionslosenStrömungskoordinate

ξ

;dur hgezogeneLinienfürdie adiabateWand und gestri helte Linien für dieisotherme Wand

miteiner Wandtemperatur von

Θ

W

= −1

. . . 81 5.2 ProlederdimensionslosenTemperatur

Θ

fürdiediabateWand

über der dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

für vers hie-deneWertederdimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

; dur h-gezogene Linienfür Bi

˜

= 0, 1

und gestri helte Linienfür Bi

˜

= 1

miteiner externen Fluidtemperaturvon

Θ

ext

= −1

. . . 83

5.3 Prole des dimensionslosen Absorbatmassenanteils

γ

über der dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

für vers hiedene Wer-te der dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

; dur hgezogene Linien für die adiabate Wand und gestri helte Linien für die

isotherme Wand miteiner Wandtemperaturvon

Θ

W

= −1

. . . 85 5.4 ProledesdimensionslosenAbsorbatmassenanteils

γ

fürdie

dia-bateWandüberderdimensionslosenFilmdi kenkoordinate

η

für vers hiedeneWertederdimensionslosenStrömungskoordinate

ξ

; dur hgezogene Linien für Bi

˜

= 0, 1

und gestri helte Linien für

˜

Bi

= 1

miteiner externen Fluidtemperatur von

Θ

ext

= −1

. . . 87 5.5 Entwi klungdeslokalendimensionslosen

Absorbatmassenanteils-gradienten

µ

i

ander Filmoberä he fürdie diabateWand über der dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

;dur hgezogene Li-nie für Bi

˜

= 0, 1

, gestri helte Linie für Bi

˜

= 1

mit

Θ

ext

= −1

, Punktlinie für die isotherme Wand mit

Θ

W

= −1

und Stri h-punktlinie fürdie adiabateWand . . . 89

5.6 Entwi klung des lokalen dimensionslosen W

andtemperaturgra-dienten

Φ

W

fürdiediabateWandüberderdimensionslosen Strö-mungskoordinate

ξ

; dur hgezogene Linie für Bi

˜

= 0, 1

, gestri- helte Linie fürBi

˜

= 1

mit

Θ

ext

= −1

,gepunktete Liniefür die isotherme Wand mit

Θ

W

= −1

. . . 92 5.7 Entwi klung der überdie Filmdi kenkoordinategemittelten

di-mensionslosen Austrittstemperatur

Θ

Lsg

für die diabate Wand überder dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

; dur hgezoge-ne Linie für Bi

˜

= 0, 1

, gestri helte Linie für Bi

˜

= 1

mit

Θ

ext

=

−1

, gepunktete Linie für die isotherme Wand mit

Θ

W

= −1

und Stri hpunktlinie für dieadiabateWand . . . 95

5.8 Entwi klungderdimensionslosenUnterkühlungdesFilms

∆Θ

U K

(dur hgezogene Linie) für die isotherme Wand mit

Θ

W

= −1

über der dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

für Bi

˜

→ ∞

(gestri helte Linie

γ

5.9 Entwi klungderdimensionslosenUnterkühlungdesFilms

∆Θ

U K

(dur hgezogene Linie) für die adiabate Wand über der

dimen-sionslosen Strömungskoordinate

ξ

fürBi

˜

= 0

(gestri helteLinie

γ

Lsg

und gepunktete Linie

Θ

Lsg

) . . . 99 5.10 Entwi klungderdimensionslosenUnterkühlungdesFilms

∆Θ

U K

(dur hgezogene Linie) für die diabate Wand über der

dimensi-onslosen Strömungskoordinate

ξ

für Bi

˜

= 1

und

Θ

ext

= −1

(gestri helte Linie

γ

Lsg

und gepunktete Linie

Θ

Lsg

) . . . 101 5.11 Entwi klungderdimensionslosenUnterkühlungdesFilms

∆Θ

U K

(dur hgezogene Linie) für die diabate Wand über der

dimensi-onslosen Strömungskoordinate

ξ

für Bi

˜

= 0, 1

und

Θ

ext

= −1

(gestri helte Linie

γ

Lsg

und gepunktete Linie

Θ

Lsg

) . . . 102 5.12 Entwi klungdesdimensionslosenFilmtemperaturprolsüberder

dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

für Le

= 100

, Bi

˜

= 1

und

Θ

ext

= −1

, gestri helte Linie St

˜

= 0, 2

und dur hgezogene LinieSt

˜

= 0, 05

. . . 104 5.13 Entwi klung des dimensionslosen Absorbatmassenanteilsprols

über der dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

für Lewis

=

100

, Bi

˜

= 1

und

Θ

ext

= −1

, gestri helte Linie St

˜

= 0, 2

und dur hgezogene LinieSt

˜

= 0, 05

. . . 106 5.14 Entwi klung des dimensionslosen

Absorbatmassenanteilsgradi-entenanderFilmoberä heüberderdimensionslosen

Strömungs-koordinate

ξ

fürLewis

= 100

,Bi

˜

= 1

und

Θ

ext

= −1

, gestri hel-teLinieSt

˜

= 0, 2

,gepunkteteLinieSt

˜

= 0, 1

unddur hgezogene LinieSt

˜

= 0, 05

. . . 107 5.15 Entwi klungdesdimensionslosenFilmtemperaturprolsüberder

dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

für St

˜

= 0, 1

, Bi

˜

= 1

und

Θ

ext

= −1

, gestri helte Linie Le

= 200

, dur hgezogene Li-nieLe

= 50

. . . 109 5.16 Entwi klung des dimensionslosen Absorbatmassenanteilsprols

überder dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

für St

˜

= 0, 1

,

˜

Bi

= 1

und

Θ

ext

= −1

, gestri helte Linie Le

= 200

dur hgezo-gene LinieLe

= 50

. . . 110

5.17 Entwi klung des dimensionslosen

Absorbatmassenanteilsgradi-entenanderFilmoberä heüberderdimensionslosen

Strömungs-koordinate

ξ

für St

˜

= 0, 1

, Bi

˜

= 1

und

Θ

ext

= −1

, gestri helte LinieLe

= 200

und dur hgezogene LinieLe

= 50

. . . .111 5.18 VerlaufdermittlerenNusselt-ZahlNusowiedesdimensionslosen

logarithmis henMittelwertesder Temperaturdierenz

∆Θ

ln

als Funktion der dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

für ver-s hiedene externe Temperaturen . . . .116

5.19 Verlauf der mittleren Sherwood-Zahl Sh als Funktion der

di-mensionslosen Strömungskoordinate

ξ

für vers hiedene externe Temperaturen . . . .118

5.20 Verlauf des dimensionslosen logarithmis hen Mittelwertes der

treibenden Absorbatmassenanteilsdierenz

∆γ

ln

als Funktion derdimensionslosenStrömungskoordinate

ξ

fürvers hiedene ex-terne Temperaturen . . . .119

6.1 Wärmeleitfähigkeitwässriger Lithiumbromidlösung . . . .124

6.2 Di hte und spezis he Wärmekapazität wässriger

Lithiumbro-midlösung . . . .125

6.3 Temperaturleitfähigkeitwässriger Lithiumbromidlösung . . . . .126

6.4 Kinematis he Viskosität wässriger Lithiumbromidlösung . . . .126

6.5 Diusionskoezient wässrigerLithiumbromidlösung . . . .127

6.6 Glei hgewi htstemperaturwässriger Lithiumbromidlösung . . .128

6.7 Verlauf der Lewis-Zahl für wässrige Lithiumbromidlösung bei

typis hen Absorberbedingungen . . . .130

6.8 VerlaufdesSteigungsparametersBfürwässrige

Lithiumbromid-lösung alsSekante dur h den Punkt

x

0

= 0, 5

inAbbildung6.6 .131 6.9 Verlauf der modizierten Stefan-Zahl für wässrige

Lithiumbro-midlösung unter Verwendung der in Abb. 6.8 gezeigten

Stei-gungsparameter B . . . .132

6.10 VerlaufderdimensionslosenKühlwassertemperatur

Θ

ext

im Ab-sorberfürwässrigeLithiumbromidlösungalsFunktionder

Salz-lösungseintrittstemperatur . . . .133

unk-6.12 VerlaufdermodiziertenBiot-Zahlfürwässrige

Lithiumbromid-lösungals Funktion der Berieselungsdi hte . . . 136

6.13 Verlaufder maximalendimensionslosen Strömungslänge

ξ

˜

(6.6) fürwässrigeLithiumbromidlösungalsFunktionder

Berieselungs-di hte füreinen Rohrauÿendur hmesser von

d = 0, 016m

. . . . 138 6.14 Verlaufder mittlerenabsorbiertenMassenstromdi htefür

wäss-rige Lithiumbromidlösung für einen sehr groÿen Berei h der

Berieselungsdi hte und eineSalzlösungseintrittstemperaturvon

T

0

= 40

◦

C

. . . 143 6.15 Verlaufder mittlerenabsorbiertenMassenstromdi htefür

wäss-rige Lithiumbromidlösung bei typis hen Absorberbedingungen

für einen sehr groÿen Berei h der Berieselungsdi hte und

T

0

=

30

◦

_C

. . . 145

6.16 Verlaufder mittlerenabsorbiertenMassenstromdi htefür

wäss-rige Lithiumbromidlösung als Funktion der Berieselungsdi hte

für vers hiedene Eintrittstemperaturen der Salzlösung . . . 147

6.17 Verlauf der mittleren an die Wand abgegebenen

Wärmestrom-di htefürwässrigeLithiumbromidlösungalsFunktionder

Berie-selungsdi hte für vers hiedene Eintrittstemperaturen der

Salz-lösung . . . 148

6.18 Verlauf der mittleren an die Wand abgegebenen

Wärmestrom-di hte für wässrige Lithiumbromidlösung bei typis hen

Absor-berbedingungen alsFunktion der Eintrittstemperaturder

Salz-lösung . . . 151

6.19 Verlauf der mittleren an die Wand abgegebenen

Wärmestrom-di hte für wässrige Lithiumbromidlösungals Funktion der

Ein-trittszusammensetzungder Salzlösung. . . 153

6.20 Verlauf der mittleren Stoübergangskoezienten für wässrige

Lithiumbromidlösung als Funktion der Berieselungsdi hte für

vers hiedene Salzlösungseintrittstemperaturen . . . 155

6.21 Verlauf der mittleren Wärmedur hgangskoezienten für

6.22 S hematis herVersu hsaufbaudes Riesellmversu hsvon

Beut-ler (1997) . . . .159

6.23 Kühlwassertemperaturen beiVariationder

Salzlösungseintritts-temperatur . . . .165

6.24 Wärmeleistungen bei Variation der

Salzlösungseintrittstempe-ratur . . . .166

6.25 KühlwassertemperaturenbeiVariationderSumpftemperaturund

somit des Absorberdru ks

p

Abs

. . . .167 A.1 Bilanzvolumenelementfür dieintegrale Absorbatmassenbilanz .177

A.2 Entwi klung des über dieFilmdi kenkoordinategemittelten

di-mensionslosen Absorbatmassenanteils

γ

x

als Funktion der di-mensionslosen Strömungskoordinate

ξ

für Le

= 100

, St

˜

= 0, 1

,

Θ

ext

= −1

undzweimodizierteBiot-ZahlenBi

˜

= 1

(gestri hel-te Linie) und Bi

˜

= 0, 1

(dur hgezogene Linie) und die thermi-s hen Grenzfälle . . . .179

A.3 Von Löwer (1960) experimentell ermittelte Dampfdru kdaten

wässriger Lithiumbromidlösung bei vers hiedenen

Salzmassen-anteilen

x = m

LiBr

/(m

LiBr

+ m

H2O

)

und -temperaturen (Mar-kierungen)unddieindieserArbeitverwendeten,andiese

Mess-datenangepassten analytis hen Dampfdru kfunktionen

(dur h-gezogene Linien) . . . .183

A.4 Anstiegsdierenzen der von Löwer (1960) experimentell

ermit-teltenDampfdru kdatenwässrigerLithiumbromidlösungbei

ver-s hiedenenSalzmassenanteilen

x = m

LiBr

/(m

LiBr

+m

H2O

)

(Mar-kierungen) und das an diese Messdaten angepasste Polynom

zweiter Ordnung (dur hgezogene Linien) . . . .185

A.5 Aus den Dampfdru kdaten ermittelte Absorptionsenthalpie als

Funktion des Salzmassenanteils . . . .187

A.6 Verlaufdermittlerendimensionslosen

Filmoberä hentempera-tur für die Lösungsmethode mit Randbedingung erster Art an

A.7 Verlaufdesmittlerendimensionslosen

Filmoberä henabsorbat-massenanteilsgradienten für die Lösungsmethode mit

Randbe-dingungenersterArtanderFilmoberä he(MeyerundZiegler,

2014) im Verglei h zur Lösung dieser Arbeit für die isotherme

Wand . . . 189

A.8 Kleiner Auss hnitt des Verlaufs des mittleren dimensionslosen

Filmoberä henabsorbatmassenanteilsgradientenfürdie

Lösungs-methodemitRandbedingungenersterArtanderFilmoberä he

(MeyerundZiegler,2014)imVerglei hzurLösungdieserArbeit

für dieisotherme Wand. . . 190

A.9 VerlaufderabsolutenundrelativenAbwei hungder

dimensions-losen Filmoberä henabsorbatmassenanteilsgradienten für die

Lösungsmethode mitRandbedingungenerster Art an der

Pha-sengrenzä he (Meyer und Ziegler, 2014) im Verglei h zu der

Tabellenverzei hnis

5.1 Exemplaris he Bedingungen für einen mit wässriger

Lithium-bromidlösungberieselten Horizontalrohrabsorber . . . 120

5.2 Stodatender wässrigenLithiumbromidlösungfürdiein5.1

ge-gebenenBedingungenbasierendaufdenexperimentell

ermittel-ten Stodaten von Löwer (1960); Diusionskoezient aus der

Bere hnungsglei hung vonKim (1992) (siehe Anhang A.5) . . . 121

5.3 DimensionsloseKennzahlenaufBasisderinTabelle5.1und5.2

gezeigten Daten . . . 121

6.1 Von Yoon et al. (2008) angegebene Berei he der experimentell

ermitteltenmittlerenStoüber-und

Wärmedur hgangskoezi-enten ohne Additive. . . 157

6.2 Systemvorgaben dervonBeutler(1997)dur hgeführten

Experi-mente aneiner horizontalenuntereinander angeordneten

Rohr-reihe . . . 161

6.3 Stodatender wässrigenLithiumbromidlösungfürdiein6.2

ge-gebenenEintrittsbedingungenderSalzlösung basierendaufden

Daten vonLöwer(1960) und Kim (1992) . . . 162

A.1 Von A. Wohlfeilmit Hilfe der Messdaten von Löwer (1960) für

dieStodaten wässrigerLithiumbromidlösungenermittelte

Ko-ezienten für die mathematis hen Funktionen (A.16), (A.17),

Nomenklatur DimensionsloseKennzahlen

˜

Bi modizierte Biot-Zahl Bi

˜

=

δ/λ

1/U

′

Le Lewis-Zahl Le

=

a

D

˜

St modizierte Stefan-Zahl St

˜

=

c

p

·(T

eq,0

−T

0

)

∆h

Abs

·(c

eq,0

−c

0

)

Grie his he Bu hstaben

∆

Dierenz

δ

Di ke

m

η

dimensionslose Filmdi kenkoordinate

η

dynamis he Viskosität

N · s · m

−2

γ

dimensionsloser Absorbatmassenanteil

˙Γ

Berieselungsdi hte

kg · m

−1

_{· s}

−1

˙Γ

V

volumenspezis he Berieselungsdi hte

m

2

_{· s}

−1

λ

Wärmeleitfähigkeit

W · m

−1

_{· K}

−1

ν

kinematis he Viskosität

m

2

_{· s}

−1

Ω

dimensionslose Filmges hwindigkeit

Φ

dimensionslose Wärmestromdi hte

Ψ

Argumentder komplementären Fehlerfunktion

ρ

Di hte

kg · m

τ

S hubspannung

N · m

Θ

dimensionsloseTemperatur

ξ

dimensionsloseFilmströmungskoordinate Römis he Bu hstaben

a

Temperaturleitfähigkeit

m

2

_{· s}

−1

A, B

Konstanten Phasenglei hgewi ht

K

B

angeströmteBreiteder Wand

m

c

MassenanteilAbsorbat

kg · kg

−1

c

∗

Konzentration

mol · m

−3

c

p

spezis he Wärmekapazität

J · kg

−1

_{· K}

−1

D

Diusionskoezient

m

2

_{· s}

−1

F

Kraft

kg · m · s

−2

g

Erdbes hleunigung

m · s

−2

I

Impuls

kg · m · s

−1

i

imaginäreEinheit

j

normaleStromdi hte einer beliebigenErhaltungsgröÿe

... · m

−2

_{· s}

−1

k

Eigenwerte

L

Rohrlänge

m

˙

M

Massenstrom

kg · s

−1

˙

m

Massenstromdi hte

kg · s

−1

_{· m}

−2

m

Masse

kg

˙n

Stomengenstromdi hte

mol · s

−1

_{· m}

−2

p

Dru k

N · m

−2

˙q

Wärmestromdi hte

J · s

· m

T

Temperatur

◦

_C

t

Zeit

s

u

Ges hwindigkeit

m · s

−1

U

′

partiellerWärmedur hgangskoezient

W · m

−2

_{· K}

−1

V

Volumen

m

3

v

spezis hes Volumen

m

3

_{· kg}

−1

x

Absorbentmassenanteil

kg · kg

−1

x

Koordinatein Strömungsri htung

m

y

Koordinatein Filmdi kenri htung

m

z

KomplexeVariable

z

Koordinatein Rohrlängenri htung

m

Abkürzungen, Super- und Subskripte

0

Eintritt der Lösung

x = 0

γ

dimensionsloser Absorbatmassenanteil

∞

asymptotis her Wert für

ξ

∞

(...)

gemittelter Wert

Θ

dimensionslose Temperatur

A

Absorbat

ab

abgeführt

adia

adiabat

B

Absorbent

dia

diabat

eq, 0

Glei hgewi htszustand bei Eintrittsbedingungen

eq, x

Glei hgewi htszustand beim Absorbentmassenanteil

x

ext

externes Medium

F ilm

Film

i

Filmoberä he

iso

isotherm

KW

Kühlwasser

L

Lösung

Lsg

Lösung

max

maximal

Nak

Modellvon Nakoryakov etal.(1997)

Su

Sumpf

UK

Unterkühlung

W

Wand/Wasser

x, y, z

Raumri htungen

Kapitel 1

Einleitung und Motivation

Seit mehreren Jahrzehnten ist dieBes hreibung des gekoppeltenWärme- und

Stotransportsbeiderni ht-isothermenDampf-undGasabsorptionin

Flüssig-keitenGegenstandingenieurwissens haftli herUntersu hungen.Dieausgiebige

Bes häftigung mitdiesem Phänomen ist dessen Komplexität ges huldet,

wel- hejena hDetailgradderphysikalis henModellierungunters hiedli h

komple-xe mathematis he Modellglei hungen erfordert.Darüber hinaus ergibt si h in

Abhängigkeitvon der Form dieser Modellglei hungendie Notwendigkeit

neu-er bzw. alternativerLösungsmethoden. Die zahlrei hen Veröentli hungen zu

diesemThemaunters heidensi h inmindestenseinemder genannten Punkte,

d.h. entweder indenModellannahmenundden si hdarausergebenden

Unter-s hieden in den Modellglei hungen oder im Lösungsverfahren der erhaltenen

Glei hungen. Häug erfordert dieErweiterung der Modelle um weitere

physi-kalis he Eekteau h neue Lösungsverfahren.

Killion und Garimella (2001) fassen einen groÿenTeilder bis zu diesem

Zeit-punkt veröentli hten Arbeiten zu den Modellen und Lösungsmethoden des

gekoppelten Wärme- und Stotransportes mit dem Zielzusammen, aus ihrer

Si ht notwendige Fors hungsgebiete bei der Riesellmabsorption abzuleiten.

Na h ihren S hlussfolgerungen gehören hierzu unter anderem die

intensive-re Untersu hung der Hydrodynamik der Film-und Dampfströmung sowie die

Auswirkungen des Wärme- und Stotransportesauf die

Strömungsverhältnis-se. Neben derUntersu hung der Hydrodynamikfordern KillionundGarimella

An-zusammenfassungzuden ModellenderlaminarenFilmströmungenstellen

Kil-lionund Garimella(2001)fest, dass viele der vonihnen zusammengetragenen

Modelle na h wie vor von der thermis hen Randbedingung einer isothermen

oderadiabatenWandausgehen.Sieregendaherfürden auslegendenIngenieur

die Erstellung eines hilfrei heren Modelles an, wel hes realistis here

Wärme-dur hgangsmodellefür dieWand verwendet.Im glei hen Abs hnittbezweifeln

Killion und Garimella (2001) jedo h au h, dass si h die verfügbaren Modelle

für den laminaren Riesellm aufgrund der sehr starken vereinfa henden

An-nahmeninsbesonderebeiderHydrodynamikfürdieAuslegungvonAbsorbern

eignen.

DahermüssendiemitdenjeweiligenModellansätzenundLösungsverfahren

er-haltenen theoretis hen Ergebnisse mitverfüg- und verglei hbaren

experimen-tellen Ergebnissen kritis h hinterfragt und auf deren Gültigkeitsberei h hin

untersu htwerden.KillionundGarimella(2001)weisenaufdieexperimentelle

Untersu hung lokaler Bedingungen in der Filmströmung als ein notwendiges

Fors hungsgebiet hin, um dietheoretis hen Modelle validierenzu können.

Inder vorliegendenArbeit wirdeinanalytis hes Lösungsverfahren fürden

ge-koppeltenWärme- undStotransportimlaminarenRiesellmvorgestellt. Die

Verwendung dieseranalytis henLösungsmethodebes hränkt die

physikalis h-mathematis he Modellierung zwar deutli h in Bezug auf die

Filmströmungs-verhältnisse, ermögli ht jedo h dieAnwendung einer

Wärmedur hgangsrand-bedingung,wel he fürdiemeistente hnis hen Anwendungen dierealistis here

Randbedingung ist. Aufgrund der wesentli h kürzeren Re henzeiten im V

er-glei h zu komplexeren, numeris hen Strömungssimulationen sind analytis he

Lösungen au h für ganze Prozesssimulationen und Parameterstudien mit

mo-deraten Re henzeiten geeignet.

DiedieserArbeitzuGrundeliegendenmathematis henModellglei hungender

Transportvorgänge im laminarenRiesellmsind dem Stand der Wissens haft

vorangestellt,dadiesedieGrundlagefürsämtli he na hfolgenden

Betra htun-gen und Lösungsmethoden darstellen und dieser Aufbaueinen na hfolgenden

Verglei h zu den bisher veröentli hten Modellen erlei htert. Die Herleitung

dieser Modellglei hungen unter Anwendung der dierentiellen Bilanzen der

Erhaltungsgröÿen verans hauli ht die getroenen vereinfa henden Annahmen

Im Ans hluss an dieHerleitung der Modellglei hungen wird insbesondere auf

die Lösungsmethoden von Grigor'eva und Nakoryakov (1977) und Grossman

(1983) imDetaileingegangen, weildievonihnen präsentierten Lösungen

aus-gehend von den glei hen, bzw. ähnli hen Modellglei hungen wie indieser

Ar-beiterhaltenwurden. Zieldieserverglei hendenDarstellungderbisherigenmit

der in dieser Arbeit präsentierten analytis hen Lösung ist es, sowohl die

ma-thematis hen Unters hiede herauszuarbeiten, als au h Ähnli hkeiten dazu zu

verwenden, um Problemeund S hwierigkeiten bei den bisherigen

Lösungsver-fahren zu erkennen und zu beheben (Meyer, 2014b).

Na h dieser detaillierten Darstellung erfolgt eine zusammenfassende

Darstel-lung des Stands der Wissens haft zur Modellbildung sowie zu den weiteren

analytis henLösungendes gekoppeltenWärme-und Stotransportesim

lami-naren Riesellm. Ans hlieÿend wird das in dieser Arbeit verwendete

analyti-s heLösungsverfahrenausführli hpräsentiert.DieErgebnissederanalytis hen

Lösungwerdenanhandsi hentwi kelnderTemperatur-und

Massenanteilspro-leimFilmsowieder ausdiesenProlverläufenermitteltenWärme-und

Mas-senstromdi hten präsentiert.

Abs hlieÿend wird am Beispiel wässriger Lithiumbromidlösung, einem

typi-s hen Absorbens, die in dieser Arbeit erhaltene analytis he Lösung dazu

ver-wendet, Wärme-und Stoübergangskoezienten alsFunktion typis her

Steu-ergröÿen im Experiment zu ermitteln. Diese werden ans hlieÿend mit

experi-mentellbestimmten Werten vergli hen.

Im Anhang sind sowohl kurze physikalis he als au h mathematis he

Hinter-gründe, Herleitungenund Nebenre hnungen ausgelagert,diealsnotwendig

er-a htet wurden, den Leseuss im Hauptteil der Arbeit jedo h unterbre hen

würden. Aus diesem Grund wird an entspre hender Stelle im Hauptteil auf

Kapitel 2

Modellierung

2.1 Modellvorstellung und Annahmen

Abbildung 2.1 zeigt s hematis h eine typis he te hnis he Ausführung eines

Dampfabsorptionsprozesses, z.B. in Absorptionkälteanlagen mitwässriger

Li-thiumbromidlösung als Arbeitsmedium. Ein Salzlösungstropfen mit dem

An-fangswassermassenanteil

c

0

und der Anfangstemperatur

T

0

trit auf das mit Kühlwasserdur hströmte,horizontaleRohr.DieSalzlösungumströmtdasRohr

alsdünnerFilm.WährendderUmströmungwirdanderFilmoberä heDampf

absorbiert und Absorptionswärme freigesetzt. Daher steigt, wie in Abb. 2.1

qualitativ dargestellt, der Wassermassenanteil

c

i

sowie die Temperatur

T

i

an der Oberä he des Films.SowohldieWärme- alsau h dasabsorbierte Wasser

werden in den Film transportiert, d.h. das Temperatur- und

Massenanteil-sprol breiten si h mitzunehmender Strömungslänge

x

2

> x

1

ausgehend von der Filmoberä he bei

y = 0

in den Film aus. Für den in Abb. 2.1 gezeigten Falleiner gekühltenWand, gibt esaufgrund der niedrigerenWandtemperatur

T

W

im Verglei h zur Filmeintrittstemperatur

T

0

für das Temperaturprol ei-ne weitere, si h ausgehend von der Wand mitsteigender Filmströmungslänge

in den Film ausbreitende Grenzs hi ht. Diese Transportvorgänge vonWärme

und Sto in den Film haben ents heidenden Einuss auf die weitere

Absorp-tion vonDampf ander Oberä he.

Anhandeinesvereinfa htenphysikalis h-mathematis henFilmmodellsund

Mög-Abbildung2.1:S hematis he DarstellungdesgekoppeltenWärme-und

Stotrans-portes imlaminarenRiesellm mitden qualitativenTemperatur-und

Dievereinfa hendenModellannahmenwerdenanhandderdierentiellen

Bilan-zen der ErhaltungsgröÿenimlaminarenRiesellmeingeführtund

verans hau-li ht.ZuBeginn werden dieVereinfa hungenin Bezug aufdie Hydrodynamik

anhand der dierentiellen Impulsbilanz erläutert, um imAns hluss daran die

dierentielleMassen-, Komponenten- und EnergiebilanzimFilmaufzustellen.

Die hier getroenen Annahmen sind ni ht speziell, sondern typis h für das

Fa hgebiet, wie inKapitel 3no h beri htet wird.

2.1.1 Impulsbilanz

Eine grundlegende und starke Vereinfa hung ist die Verwendung kartesis her

Koordinaten und dieBetra htung des Problems für eine ebene, vertikale, von

Salzlösung überströmte Platte. Darüber hinaus werden konstante

Stoeigen-s haften der Salzlösung vorausgesetzt.

Ganz allgemein ist der Ges hwindigkeitsvektor des über diese ebene Wand

strömenden Films abhängig von sämtli hen Raumkoordinaten und der Zeit

~u =

f

(x, y, z, t)

.DieÄnderung des ImpulsesindeminAbbildung2.2gezeigten dierentiellen, ortsfesten Bilanzvolumenelement mit der dierentiellen Masse

dm = ρ · dxdydz

ergibtsi h wie folgt:

d~

I

dt

=

d(dm · ~u)

dt

=

d(dm)

dt

· ~u + dm ·

d~u

dt

.

(2.1)

Aufgrund der alskonstant angenommenen Di hte

ρ

ändertsi h dieMasse des ortsfesten, dierentiellen Volumenelementsni ht, wodur h diezeitli he

Ablei-tungderMasse

d(dm)/dt

vers hwindet.DerBes hleunigungsvektor

d~u/dt

lässt si h wie folgtbes hreiben:

d~u(x, y, z, t)

dt

=

∂~u

∂t

+ u

x

·

∂~u

∂x

+ u

y

·

∂~u

∂y

+ u

z

·

∂~u

∂z

.

(2.2)

Es werden stationäre, d.h. zeitli h invariante Bedingungen vorausgesetzt,

so-dass die partielle Ableitung na h der Zeit vers hwindet. Des Weiteren

wer-den Konvektionsströme in z-Ri htung, d.h. der Plattenbreite verna hlässigt,

u

z

= 0

,weshalb die Ableitungna hdieser Raumri htung ebenfallsentfällt. Eine Änderung des Impulses wird dur h die Summe der am dierentiellen

=dm

z }| {

ρ · dV ·

h

u

x

·

∂~u

∂x

+ u

y

·

∂~u

∂y

i

=

X

d ~

F .

(2.3)

InAbbildung2.2sinddieandiesemBilanzvolumenelementangreifenden

Kräf-tedargestellt.Berü ksi htigtwerden dabei dieS hwerkraftund dietangential

angreifendenS hubspannungen.Jegli heDru kgradientenimFilmwerden

ver-na hlässigt. Wie gewöhnli h wird der Impuls komponentenweise in den

jewei-ligenRaumri htungenbilanziert. Diestationären Impulsbilanzenergeben si h

wie folgt: x:

ρ · dV ·

h

u

x

·

∂u

x

∂x

+ u

y

·

∂u

x

∂y

i

=



τ

x

(y + dy) − τ

x

(y)



· dxdz + ρg · dV,

(2.4) y:

ρ · dV ·

h

u

x

·

∂u

y

∂x

+ u

y

·

∂u

y

∂y

i

=



τ

y

(x + dx) − τ

y

(x)



· dydz.

(2.5)

Die Approximation der austretenden Ströme mit Hilfe der Taylorreihe unter

Verna hlässigung der Glieder höherer Ordnung ergibt die dierentiellen

Im-pulsbilanzenin x und y-Ri htung.

Abbildung 2.2: Dierentielles Impulsbilanzvolumenelement im laminaren

Riesel-lm x:

u

x

·

∂u

x

∂x

+ u

y

·

∂u

x

∂y

=

1

ρ

∂τ

x

∂y

+ g,

(2.6) y:

u

x

·

∂u

y

∂x

+ u

y

·

∂u

y

∂y

=

1

ρ

∂τ

y

∂x

.

(2.7)

Die Salzlösung wird als Newton's hes Fluid betra htet und die

be-s hrieben:

x : τ

x

= η ·

∂u

x

∂y

,

(2.8)

y : τ

y

= η ·

∂u

y

∂x

.

(2.9)

Die dierentiellen Impulsbilanzen für den Film für die in Abbildung 2.2

dar-gestellten Kräfte lauten na hdem Einsetzen des S hubspannungsansatzes:

x:

u

x

·

∂u

x

∂x

+ u

y

·

∂u

x

∂y

= ν

∂

2

_u

x

∂y

2

+ g,

(2.10) y:

u

x

·

∂u

y

∂x

+ u

y

·

∂u

y

∂y

= ν

∂

2

_u

y

∂x

2

.

(2.11)

Die in (2.10) und (2.11) dargestellten dierentiellen Impulsbilanzen in

Strö-mungsri htung

x

und quer zur Strömungsri htung

y

stellenni htlineare parti-elleDierentialglei hungenzweiter Ordnungdar.FürdieseForm von

Dieren-tialglei hungen existieren keine allgemeinen analytis hen Lösungsmethoden.

Aus diesem Grund wird diese Form der Bewegungsglei hungen derzeit fast

auss hlieÿli h mit Hilfe numeris her Methoden gelöst, wie z.B. mittels

Pro-grammen zur Strömungssimulation.

AndieserStellewerdenweitereVereinfa hungenderin(2.10)und(2.11)

gezeig-ten dierentiellen Impulsbilanzen vorgestellt, um z.B. die von Nusselt (1923)

für die Filmströmung am Berieselungskühler eingeführte analytis he Lösung

zu erläutern.

Ausgebildete laminare Filmströmung na h Nusselt

Nusselt (1923)betra htet dieeindimensionaleRiesellmströmunginRi htung

derS hwerkraft(Gl.(2.10)).Dabeiverna hlässigtersämtli heTrägheitskräfte

imFilm,d.h. dielinkeSeiteder Glei hung(2.10)underhältdieFilmströmung

dur hdas Glei hgewi htderdur hdieWandverursa hten Reibungskräfteund

derS hwerkraft.Folgli hergibtsi hfolgendegewöhnli heDierentialglei hung

für dieFilmges hwindigkeitinStrömungsri htung x:

0 = ν

∂

2

_u

x

∂y

2

+ g.

(2.12)

Nusselt (1923) integrierte (2.12) zweimal und erhielt eine quadratis he

Glei- hung iny-Ri htungmit zwei no h zu bestimmendenIntegrationskonstanten:

u

x

(y) = −

g

ν

·

y

2

Als Randbedingungen nimmt Nusselt (1923) vers hwindende

S hubspannun-gen an der Filmoberä he

y = 0

sowie die Haftung des Fluids an der Wand (

y = δ

)an:

∂u

x

∂y









y=0

= 0

_⇒

C

1

= 0,

(2.14)

u

x

(y = δ) = 0

⇒

C

2

=

g

ν

δ

2

2

.

(2.15)

Als Ergebnis erhält Nusselt das ausgebildete Ges hwindigkeitsprol für den

laminarenRiesellm:

u

x

(y) =

g

ν

δ

2

2



1 −

 y

δ



2



.

(2.16)

Die si h unter diesen Bedingungen einstellende Filmdi ke hängt vom auf der

Breite der Wand

B

aufgegebenen Massenstrom an Salzlösung ab. Mit die-sembestimmteNusselt(1923)übereineIntegrationüberdieno hunbekannte

(Nusselt's he) Filmdi ke

δ

ebendiese:

˙

M

x=0

= ρ · B ·

Z

δ

0

u

x

(y)dy = ρ · B ·

g

ν

·

δ

3

3

.

(2.17)

Die Filmdi ke lässt si h somit aus der auf die Breite der Wand bezogenen

Volumenstromberieselung

˙Γ

V

und derkinematis henViskositätderSalzlösung

ν

bestimmen:

δ =

3

r

3 · ν

g

· ˙Γ

V

mit

˙Γ

V

=

˙

M

x=0

ρ · B

= ¯

u · δ.

(2.18) SomitsinddiemittlereFilmges hwindigkeit

u

¯

unddiemaximale Filmges hwin-digkeit

u

max

bestimmt:

¯

u =

1

3

g

ν

δ

2

_,

(2.19)

u

max

= u(y = 0) =

1

2

g

ν

δ

2

₌

3

2

u.

¯

(2.20)

VorgreifendauffolgendeKapitelzurEntdimensionierungwirddieNusselt's he

Ges hwindigkeitsglei hung (2.16)dur h Einführungentdimensionierter

Varia-blen vereinfa ht:

η =

y

δ

,

(2.21)

Ω =

u(y)

¯

u

,

(2.22)

Ω(η) =

3

2

1 − η

2

_.

(2.23)

Abbildung 2.3 zeigt den Verlauf der dimensionslosen Filmges hwindigkeit

Ω

aufgetragen über der dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

. Die gestri hel-te Liniebei

Ω = 1

stellt diemittlere dimensionsloseFilmges hwindigkeitdar, da mit

u

¯

entdimensioniert wurde. Abbildung 2.3 ist gemäÿ dem in Abb. 2.1 eingeführten Koordinatensystem ausgeri htet. Auf der re hten Seite des

Dia-gramms bei

η = 0

(

y = 0

) bendet si h die freie Filmoberä he, wel he mit der maximalen Filmges hwindigkeit strömt

Ω(η = 0) = 3/2

. Auf der linken Seite des Diagrammsbei

η = 1

bendet si h dieWand. Der W andhaftungsbe-dingungzufolgebeträgtdieFilmges hwindigkeitandieserStelle

u(y = δ) = 0

, d.h.

Ω(η = 1) = 0

.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0

0,5

1

1,5

2

η

Ω

Abbildung 2.3: EntdimensioniertesGes hwindigkeitsprol derRiesellmströmung

na hNusselt (1923)

Annahme einer konstanten mittleren Filmges hwindigkeit

u

¯

Wie in Abbildung 2.3 gut zu erkennen, führt die Annahme einer konstanten

mittlerenFilmges hwindigkeit

u

¯

imVerglei hzumNusselt's hen Ges hwindig-keitsprolzu einer Übers hätzung der Filmges hwindigkeitinWandnähe und

zueinerUnters hätzung anderFilmoberä he.DabeiführtdieÜbers hätzung

der Filmges hwindigkeitin der Nähe der Wand zu einer Verzerrung

insbeson-dere des Wärmetransportes. Der konvektive Wärmetransport wird dur h die

Annahme einer konstanten Filmges hwindigkeit in der Nähe der Wand

matis hen Stabilität der erhaltenen Lösungen die Annahme einer konstanten

mittleren Filmges hwindigkeit getroen. Diese mittlere Filmges hwindigkeit

wird mittels der Glei hung (2.19) bestimmt und basiert daher auf Nusselt's

Ansatz.

MitdieserAnnahmeeinhergehend istdieInvarianzdes aufdieWand

aufgege-benen Massenstroms sowie der Filmdi ke

δ

während des gesamten Absorpti-onsvorganges. DievomFilm absorbierteMasse wirddur hdieAnnahmeeiner

konstanten Filmges hwindigkeit und damit au h Filmdi ke inhärent

verna h-lässigt.

2.1.2 Bilanz normal über die Systemgrenzen

transpor-tierter Erhaltungsgröÿen

Abbildung2.4 zeigt ein dierentielles Bilanzvolumenelement in der

Filmströ-mung inkartesis hen Koordinaten. DiePfeile stellenhierbeidieStromdi hten

Abbildung 2.4: Dierentielles Bilanzvolumenelement im laminaren Riesellm in

kartesis hen Koordinaten für normal über die Systemgrenzen transportierte

Erhal-tungsgröÿen

einer beliebigen Erhaltungsgröÿe dar, wel he normal über die Systemgrenzen

transportiert wird. Wie bereits bei der dierentiellen Impulsbilanz erläutert,

wird das Problem als zweidimensional betra htet und alle Ströme in

Film-breite verna hlässigt. Unter Voraussetzung stationärer Verhältnisse wird die

Erhaltungsgröÿe j, z.B. Masse oder Energie, bilanziert:

Mit Hilfe der Taylorreihenentwi klung, unter Verna hlässigung der Terme

hö-herer Ordnung, werden die jeweiligen Austrittsstromdi hten approximiert:

j(x + dx) = j(x) +

∂j

∂x

· dx,

(2.25)

j(y + dy) = j(y) +

∂j

∂y

· dy.

(2.26)

Werden dieso approximierten Austrittsstromdi hten in dieBilanz (2.24)

ein-geführt, ergibt si heine stationäre Bilanzformelfür Erhaltungsgröÿen, wel he

normal,d.h. vertikalin das Bilanzelement strömen:

0 = −

∂j

x

∂x

−

∂j

y

∂y

.

(2.27)

Eine Änderung der Stromdi hten in x-Ri htung wird dur h eine glei hgroÿe,

entgegengesetzte Stromänderung iny-Ri htung ausgegli hen, weil eine

Akku-mulation der Erhaltungsgröÿe imBilanzraum aufgrundder Stationarität

aus-ges hlossen ist.

2.1.3 Gesamtmassenbilanz

Unter Verwendung der für den Riesellm unter diesen Bedingungen im

orts-festen Bezugssystem allgemeinen stationären Bilanzformel (2.27) werden die

jeweiligenMassenstromdi htenformuliert.DerGesamtlösungsmassenstrom

er-folgt konvektiv, d.h. für die Massenstromdi hte der jeweiligen Raumri htung

ergibt si h:

j

m,x

= ρ · u

x

,

(2.28)

j

m,y

= ρ · u

y

.

(2.29)

Da dieDi hte als konstant betra htet wird, bleiben ledigli h dieAbleitungen

der Filmges hwindigkeiten alsdierentielle Gesamtmassenbilanz übrig:

0 = −

∂u

_∂x

x

−

∂u

_∂y

y

.

(2.30)

Da wie oben erläutert von einer konstanten, homogenen

Strömungsges hwin-digkeit in x-Ri htung ausgegangen wird, vers hwindet die Ableitung

∂u

x

/∂x

und somit au hdie Ableitung

∂u

y

/∂y

.

2.1.4 Komponentenbilanz

Der Massenstrom einer Komponente über die Systemgrenze kann einerseits

konvektiv, andererseits diusiv (Vgl. A.1) erfolgen. Im Folgenden wird

c

als der Massenanteil des AbsorbatsinBezug aufdieGesamtmasseder Salzlösung

verwendet:

c =

m

Absorbat

m

Lsg,ges

.

(2.31)

DieTransportgesetzefürdieMassenstromdi hteanAbsorbatüberdie

System-grenzen lauten demna h:

j

A,x

= j

A,x,konvektiv

+ j

A,x,dif f usiv

= ρ ·



u

x

· c(x, y) − D ·

∂c(x, y)

∂x



,

(2.32)

j

A,y

= j

A,y,konvektiv

+ j

A,y,dif f usiv

= ρ ·



u

y

· c(x, y) − D ·

∂c(x, y)

∂y



.

(2.33)

Wie in Abs hnitt 2.1.3 bes hrieben, wird von einer homogenen, konstanten

Filmges hwindigkeit

u

x

= ¯

u

ausgegangen und die transversale Filmges hwin-digkeitverna hlässigt

u

y

= 0

.DesWeiterenwirdderdiusiveMassentransport inStrömungsri htung

x

imVerglei h zum konvektiven verna hlässigt:

u

x

· c(x, y) >> −D

∂.c(x, y)

∂x

.

(2.34)

Werden die sovereinfa hten Transportgesetze in (2.27) eingesetzt, ergibt si h

diedierentielle Komponentenbilanz des Absorbatsim Filmzu:

¯

u

x

·

∂c

∂x

= D ·

∂

2

_c

∂y

2

.

(2.35) 2.1.5 Energiebilanz

Der Energietransport im Film erfolgt sowohl konvektiv als au h konduktiv

dur h Wärmeleitung. Somit lauten die Energiestromdi hten für die jeweilige

Raumri htung:

j

E,x

= j

E,x,konvektiv

+ j

E,x,konduktiv

= ρ ·



u

x

· h(T (x, y), c(x, y)) − λ ·

∂T

∂x



,

(2.36)

j

E,y

= j

E,y,konvektiv

+ j

E,y,konduktiv

= ρ ·



u

y

· h(T (x, y), c

p

(x, y)) − λ ·

∂T

∂y



.

(2.37)

Die Salzlösung wird als reine, ideale Flüssigkeit betra htet und deren

spe-zis he Enthalpie

h

deshalb über die Zustandsglei hung der reinen, idealen Flüssigkeitbestimmt und Mis hungseekte verna hlässigt. Unter der

Annah-me konstanten Dru ks im Film ergibt si h die Enthalpie der reinen, idealen

Flüssigkeitals Funktionder Temperaturmit

c

p

alsder spezis hen Wärmeka-pazitätder Salzlösung:

dh = c

p

· dT + v · dp

| {z }

=0

.

(2.38)

Aufgrundderni htvorhandenentransversalenGes hwindigkeit

u

y

= 0

entfällt wiederum der konvektive Energietransport in

y

-Ri htung. Die Wärmeleitung inStrömungsri htung

x

wirdgegenüberdemkonvektivenEnergietransport ver-na hlässigt:

u

x

· h(T (x, y), c(x, y)) >> −λ

∂T

∂x

.

(2.39)

Dur hEinsetzendersovereinfa hten Energiestromdi htenin(2.27)ergibtsi h

folgende dierentielle Energiebilanz:

¯

u

x

·

∂T

∂x

=

λ

ρ · c

p

| {z }

=a

·

∂

2

_T

∂y

2

.

(2.40)

Zusammenfassung der Modellannahmen

Das indieserArbeituntersu hte physikalis he Filmmodellentspri htdem von

Nakoryakov et al. (1997). Es wird eine über die transversale Koordinate

y

konstante, mittlere Filmströmungsges hwindigkeit

u

¯

angenommen. In trans-versaler Ri htung wird auss hlieÿli hmolekularerTransportin Form von

Dif-fusion und Wärmeleitung berü ksi htigt. In der Filmströmungsri htung wird

auss hlieÿli hkonvektiver Sto-und Energietransportbetra htet.

2.2 Entdimensionierung der Modellglei hungen

Die Einführung dimensionsloser Variablen wird übli herweise zur Reduktion

der Anzahl der unabhängigen Parameter des Problemsverwendet.

übernommen, weil die Entdimensionierung mit der Temperatur

T

0

und dem Absorbatmassenanteil

c

0

amEintritt der Salzlösung si h insbesondere für die Lösungim Lapla e-Berei halsvorteilhaft erweisen:

η =

y

δ

,

(2.41)

ξ =

x

δ

a

¯

uδ

=

x

δ

λ

¯

uδρc

p

=

x/ ˙

w

δ/λ

mit

w = ¯

˙

uδρc

p

= ˙Γ · c

p

,

(2.42)

Θ =

T − T

0

T

eq,0

− T

0

,

(2.43)

γ =

c − c

0

c

eq,0

− c

0

.

(2.44)

In (2.41)ist diedimensionslose Filmdi kenkoordinate

η

deniert und sie vari-iert zwis hen 0 an der Filmoberä he und 1 an der Wand. Die in (2.42)

dar-gestellte dimensionslose Koordinate

ξ

in Strömungsri htung

x

harakterisiert den Grad der Ausbildung des Temperaturprols imFilm an der

entspre hen-den Stelle

x

. Sie kann als das Verhältnis von konvektivem

x/ ˙

w

zu diusivem

δ/λ

thermis henWiderstand aufgefasst werden. DieGröÿe

w

˙

entspri htdabei einemauf dieangeströmtePlattenbreitebezogenen,spezis hen

Wärmekapa-zitätsstrom. Dabei variiert

ξ

von 0 am Beginn des Riesellms (

x = 0

) bis

∞

beiunendli herLängedesRiesellms(

x → ∞

).FürberieselteHorizontalrohre liegen die Werte für

ξ

beim Abtropfen der Salzlösung typis herweise im Be-rei h von0,1bis 10.

Für die Entdimensionierung der Temperatur und des Absorbatmassenanteils

werdenGlei hgewi htszustände der Salzlösungbenötigt.IndieserArbeitwird

der glei he Ansatz wie bei Nakoryakov et al. (1997) einer linearen

Approxi-mationder isobarenSiedetemperaturalsFunktion des Absorbatmassenanteils

zur Bes hreibung des Phasenglei hgewi htes verwendet:

T

eq

= A − B · c

eq

.

(2.45)

Je höher der Absorbatmassenanteil

c

eq

ist, desto geringer ist die zugehörige Siedetemperatur

T

eq

. Im Kapitel 6 dieser Arbeit wird diese Approximation diskutiert.FürmoderateSalzlösungsunterkühlungen stelltsi h diese

Approxi-mationalsgute Näherungheraus (Meyer und Ziegler,2014).

emperaturdif-peraturzur Eintrittstemperaturdar,wel he insVerhältnismiteiner

Referenz-temperaturdierenzgesetztwird. Inglei her Weisewird au hder

Wassermas-senanteil

c

in (2.44)entdimensioniert.

Die Temperaturdierenz im Nenner von (2.43) stellt die Unterkühlung bzw.

Überhitzung bei der jeweiligen Eintrittszusammensetzung dar. Dabei ist

T

eq,0

diezum Eintrittswassermassenanteil

c

0

zugehörige Glei hgewi htstemperatur. Dies gilt in glei her Weise für den Nenner des dimensionslosen

Absorbatmas-senanteils. Für diese Glei hgewi htswerte ergibtsi h entspre hend:

T

eq,0

= A − B · c

0

,

(2.46)

c

eq,0

=

A − T

0

B

,

(2.47)

mit

A

und

B

als anzupassenden Parametern.

Die im vorigen Abs hnitt 2.1 erhaltenen Dierentialglei hungen gehen dur h

EinführungdervorgestelltendimensionslosenVariableninfolgendeFormüber:

∂Θ

∂ξ

=

∂

2

Θ

∂η

2

,

(2.48)

∂γ

∂ξ

=

1

Le

·

∂

2

_γ

∂η

2

.

(2.49)

An dieser Stelle tau ht die Lewis-Zahl(2.50) in der entdimensionierten

Die-rentialglei hungdesAbsorbatmassenanteilsalsVerhältnisder

Temperaturleit-fähigkeit

a

und dem Diusionskoezienten

D

auf: Le

=

a

D

.

(2.50)

Mitder analytis hen Lösungdieser dimensionslosenpartiellen

Dierentialglei- hungen für den Wärme- und Stotransport imlaminarenRiesellm

bes häf-tigtensi herstmalsGrigor'evaundNakoryakov (1977).DieserLösungsansatz,

in der neueren Fassung von Nakoryakov et al. (1997), wird im folgenden

Ab-s hnittvorderZusammenfassungdes Standes derWissens haftimDetail

Kapitel 3

Stand der Wissens haft

IndiesemKapitelwirdeineAuswahlderbisherinderLiteraturveröentli hten

ModelleundMethodenfürdieLösungdesgekoppeltenWärme-und

Stotrans-portes imabsorbierenden,laminarenFalllmvorgestellt. Grundsätzli hlassen

si hanalytis he undnumeris heLösungsmethoden unters heiden.Die

numeri-s hen Methoden erlauben dabei wesentli h komplexere physikalis he Modelle

als die analytis hen Methoden und haben si h daher und aufgrund der

ver-glei hsweisegünstigen Verfügbarkeit vonRe henkapazitätinden vergangenen

Jahren dur hgesetzt. Ni htsdestotrotz haben au h analytis he Ansätze ihre

Bere htigung, z.B. in der Lehre und, wegen der sehr kurzen Re henzeiten,

zur Validierung neuer numeris her Lösungsverfahren oder als Referenzfall für

numeris he Parameterstudien. Die Mögli hkeit der Verwendung einer den

ge-samten Filmströmungsberei h umfassenden analytis hen Lösung als Baustein

in einer Prozesssimulation wurde bereits in der Einleitungals Vorteil

analyti-s her Lösungen erwähnt.

Es ist demna h ni ht überras hend, dass si h je na h Zielstellung,

Modellie-rungstiefesowieabhängigvondemgewähltenLösungsverfahrenzahlrei he

Ver-öentli hungenzudiesemThemanden.IndiesemKapitelwirdzuBeginnauf

andere analytis he Lösungsmethoden sehr detailliert eingegangen, da sowohl

(Nako-3.1 Lösungsmethoden von Grigor'eva und

Na-koryakov

3.1.1 Fourier-Methode

Grigor'eva und Nakoryakov (1977) veröentli hten das erste analytis he

Mo-dell für den gekoppelten Wärme- und Stotransport im laminaren Falllm

unter Verwendung der Fourier-Methode. Die folgenden Ausführungen

stel-len eine Zusammenfassung dieser Arbeit sowie der neueren

Veröentli hun-genvonNakoryakov et al.(1997)und Nakoryakov und Grigor'eva(2010) dar.

Sämtli he Gröÿenaus diesenQuellenwerdenandieindieserArbeit

verwende-tendimensionslosenGröÿenangepasst.Des Weiterenwerdenaus Gründender

Na hvollziehbarkeitfürden LeserweitereZwis hen-und Umre hnungss hritte

eingefügt,wel he inden Veröentli hungen womögli h aus Platzgründen

feh-len.Dasgrundsätzli heVorgehenbeiderhierangewandtenFourier-Methode

sowieeinigeEigens haftender mitdieserMethode erhaltenenLösungennden

si him mathematis hen Anhang B.1.

Die dem Problem zu Grunde liegenden Annahmen und die si h daraus

er-gebenden dimensionslosen, partiellen Dierentialglei hungen wurden im

vor-angegangen Abs hnitt aus den dierentiellen Bilanzen für Impuls, Sto und

Energiehergeleitet.

MitHilfedes Separationsansatzes werdendiese partiellen

Dierentialglei hun-gen ineinSystem gewöhnli her Dierentialglei hungenüberführt.

Separationsansatz

DieEinführungeinesProduktansatzesfür diedimensionsloseTemperaturund

den dimensionslosen Massenanteilermögli htdieTrennung der Variablen:

Θ(ξ, η) = F (ξ) · G(η),

(3.1)

γ(ξ, η) = K(ξ) · L(η).

(3.2)

Diese Produktansätze (3.1) und (3.2) werden jeweils in die partiellen

ge-genannten Eigenwerte

k

Θ

und

k

γ

, miteinanderverknüpft sind:

1

F (ξ)

dF (ξ)

dξ

= −k

2

Θ

=

1

G(η)

d

2

_G(η)

dη

2

,

(3.3)

1

K(ξ)

dK(ξ)

dξ

= −k

2

γ

=

1

Le

· L(η)

d

2

_L(η)

dη

2

.

(3.4)

Auf der linken Seite von (3.3) und (3.4) benden si h dienur vonder

dimen-sionslosen Strömungskoordinate

ξ

abhängigen Funktionen und Ableitungen dieser Funktionen. Die von der dimensionslosen Filmdi kenkoordinate

η

ab-hängigen Funktionenundderen Ableitungenbenden si hdemzufolgeaufder

re hten Seite von (3.3) und (3.4).

Die formalen Lösungen der von der dimensionslosen Strömungskoordinate

ξ

abhängigen Dierentialglei hungenlauten:

F (ξ) = C

1

· e

−k

2

Θ

·ξ

,

(3.5)

K(ξ) = C

2

· e

−k

2

γ

·ξ

.

(3.6)

EinSonderfallergibtsi hfür

k

Θ

= k

γ

= 0

,fürdensi hdie Exponentialfunktio-nenin(3.5)und(3.6)unabhängigvon

ξ

zu

1

ergeben.DieserFallrepräsentiert den asymptotis hen Endzustand des Problems.

Es istau h ersi htli haus wel hem Grund dienegativen Quadrate der

Eigen-werte

−k

2

Θ

und

−k

2

γ

für den Separationsansatz verwendet werden. Damit ist si hergestellt, dass für jeden reellwertigen Eigenwert die

Exponentialfunktio-nen abklingen, wasaus physikalis her Si ht zu fordern ist.

Dies führt auf der anderen Seite der Glei hungen (3.3) und (3.4) zu

konju-giert-komplexenNullstellen bei der Lösung der von der Filmdi kenkoordinate

η

abhängigen Dierentialglei hungenmitHilfe des Euler-Ansatzes:

G(η) = C

3

· e

i

k

Θ

·η

+ C

4

· e

−

i

k

Θ

·η

,

(3.7)

L(η) = C

5

· e

i

k

γ

·

√

Le

·η

+ C

6

· e

−

i

k

γ

·

√

Le

·η

.

(3.8)

Unter Verwendung der Euler-Glei hung werden die Exponentialfunktionen

mitkomplexen Argumenten ineine trigonometris he Form überführt:

G(η) =

=C

∗

3

z

}|

{

C

3

+ C

4

· cos(k

Θ

η) +

=C

∗

4

z

}|

{

i

· (C

3

− C

4

) · sin(k

Θ

η),

(3.9)

L(η) = C

5

+ C

6

|

{z

}

=C

∗

5

· cos(k

γ

√

Le

η) +

i

· (C

5

− C

6

)

|

{z

}

=C

∗

6

· sin(k

γ

√

Le

η).

(3.10)

Mit Hilfe der zwei Eintrittsbedingungen und vier Randbedingungen können

dieIntegrationskonstanten

C

1

bis

C

∗

6

bestimmtwerden.Aufgrundderebenfalls unbekanntenEigenwerte

k

Θ

und

k

γ

bedarfeszusätzli herHilfsbeziehungen.An dieser Stelle werden die von Nakoryakov et al. (1997) verwendeten

Eintritts-und Randbedingungen für den Fallder isothermen Wand eingeführt.

Rand- und Eintrittsbedingungen

FürdenFallderisothermenWandistesbeiderFourier-Methodenotwendig,

diedimensionsloseTemperaturmitder Dierenz zur konstanten W

andtempe-raturzu denierenimGegensatzzuder indieserArbeitverwendetenDierenz

zur Eintrittstemperatur(2.43):

Θ

N ak

=

T − T

W

T

eq,0

− T

0

= Θ − Θ

W

.

(3.11)

Dies ist notwendig, damit die dimensionslose Wandtemperatur für alle W

er-te von

ξ

vers hwindet, was zum einen vorteilhaft bei der Vereinfa hung der formalen Lösung des Temperaturfeldes ist, zum anderen jedo h zwingend

er-forderli h ist für dieAnwendung der am Ende dieses Abs hnitts eingeführten

Orthogonalitätsbeziehung.

Des Weiteren denieren Nakoryakov et al. (1997) anders als in dieser Arbeit

dietransversaleKoordinate

η

N ak

ausgehendvonder Wand

η

N ak

= 0

zurfreien Filmoberä he

η

N ak

= 1

zeigend, d.h.

η

N ak

= 1 − η

. Die Randbedingung der isothermenWand vereinfa ht si h demna h zu:

Θ

N ak,W

(ξ, η

N ak

= 0) =

T

W

− T

W

T

eq,0

− T

0

= 0.

(3.12)

DieWandwird alsimpermeabelbetra htet undsomit vers hwinden sämtli he

Stogradienten an der Wand:

∂γ

∂η

(ξ, η

N ak

= 0) = 0.

(3.13) Wiein Kap. 2.1 vorgestellt, führen Grigor'evaund Nakoryakov (1977) ander

Filmoberä he eine lineare Approximation der isobaren

Siedetemperaturver-minderung

T

i

in Abhängigkeit von dem Absorbatmassenanteil

c

i

in der Salz-lösungzur Bes hreibung des thermodynamis hen Glei hgewi hts ein:

Für die Entdimensionierung werden mit

T

eq,0

und

c

eq,0

ebenfalls Glei hge-wi htswerte verwendet:

T

eq,0

= A − B · c

0

,

(3.15)

c

eq,0

=

A − T

0

B

.

(3.16)

DieEntdimensionierung von(3.14)unter Berü ksi htigungdes linear

approxi-miertenPhasenglei hgewi hts ergibt somit folgendenZusammenhang:

Θ

i

=

T

i

− T

0

A − B · c

0

− T

0

=

A − B · c

i

− T

0

A − B · c

0

− T

0

=

A−T

0

B

− c

i

A−T

0

B

− c

0

=

c

eq,0

− c

i

c

eq,0

− c

0

=

c

eq,0

− c

i

+ c

0

− c

0

c

eq,0

− c

0

= 1 −

c

i

− c

0

c

eq,0

− c

0

= 1 − γ

i

.

(3.17)

Mit der von Nakoryakov et al. (1997) verwendeten Denition für die

dimen-sionslose Temperatur

Θ

N ak

= Θ − Θ

W

geht (3.17) in folgende dimensionslose Form für das linearisierte Phasenglei hgewi ht ander Stelle

η

N ak

= 1

über:

Θ

N ak,i

+ Θ

W

= 1 − γ

i

.

(3.18)

Aus Gründen der Übersi htli hkeit wird

Θ

W

im Folgenden mit der negativen dimensionslosen Eintrittstemperatur

−Θ

N ak,0

bezei hnet, d.h. dies entspri ht der Eintrittsbedingung für dieTemperaturbei

ξ = 0

imModell von Nakorya-kov et al.(1997):

Θ

N ak,0

= Θ

N ak

(ξ = 0, η

N ak

) =

T

0

− T

W

T

eq,0

− T

0

= −Θ

W

.

(3.19)

DerdimensionsloseAbsorbatmassenanteilwirddagegenmitder Dierenzzum

Eintrittsmassenanteil gebildet.Aus diesemGrund ergibt si h der

dimensions-lose Massenanteil amEintritt zu Null:

γ

0

= γ(ξ = 0, η

N ak

) =

c

0

− c

0

c

eq,0

− c

0

= 0.

(3.20)

Dur h eine Energiebilanz verknüpfen Grigor'eva und Nakoryakov (1977) den

Temperatur- und Stogradienten an der Oberä he des Films:

− ˙m

abs

· ∆h

abs

= λ ·

∂T

∂y









y=δ

,

(3.21)

˙

m

abs

= −ρ · D ·

∂c

∂y









y=δ

.

(3.22)