Verschr¨ ankung

Die M¨oglichkeit, mehrerere quantenmechanische Teilsysteme zu verschr¨anken, ist ein Ph¨anomen, welches die Quantenmechanik grundlegend von der klassischen Mechanik unterscheidet. Verschr¨ankung hat zahlreiche unintuitive Auswirkungen, welche insbe-sondere w¨ahrend den Anf¨angen der Quantenmechanik Wissenschaftler verdutzte. Aus dem mathematischen Grundger¨ust der Quantenmechanik lassen sich diese Auswirkun-gen leicht ableiten. Deshalb werde ich diesen Abschnitt mit einer mathematischen Defi-nition von Verschr¨anktheit beginnen. Dabei kommen wir nochmals auf die in Abschnitt 4.1 definierten Produktvektoren zur¨uck.

Definition: Verschr¨ankung

Existieren Dichteoperatoren {o_i}ⁿ_i=1 in L(H_A), {κ_i}ⁿ_i=1 in L(H_B) und po-sitive Zahlen {p_i}ⁿ_i=1 mit Pn

i=1p_i = 1, sodass sich ρ ∈L(H_A⊗ H_B) durch eine Konvexkombination

ρ=

n

X

i=1

pi oi⊗κi

(107)

ausdr¨ucken l¨asst, so heißt dieser Zustandseparabel. Anderenfalls nennt man ihnverschr¨ankt.

F¨ur den Fall reiner Zust¨ande kann man wiederum auf die Betrachtung von Vektoren zur¨uckgreifen. F¨ur diesen Fall l¨asst sich Verschr¨ankung durch das folgende Kriterium charakterisieren.

Definition: Verschr¨ankung (rein)

Existieren Vektoren|νi ∈ HA und |ϕi ∈ HB, sodass sich|ψi ∈ HA⊗ HB in der Form

|ψi=|νi ⊗ |ϕi (108)

schreiben l¨asst, so heißt dieser Zustand Produktzustand. Andernfalls nennt man ihnverschr¨ankt.

Produktzust¨ande sind besonders einfache separable Zust¨ande. Sie sind von der Form

ρ=o⊗κ=|νi hν| ⊗ |ϕi hϕ|. (109)

Um nun den physikalischen Unterschied zwischen separablen und verschr¨ankten Sys-teme zu analysieren, betrachten wir zwei Beispiele. Davor setzen wir uns noch kurz mit dem Formalismus von Spinsystemen auseinander.

2-Qubit-System

Bei einem Qubit handelt es sich um ein quantenmechanisches System, welches durch einen Vektor in einem zweidimensionalen HilbertraumH beschrieben werden kann. Ein 2-Qubit-System ist demnach ein System, dessen Zustandsvektor Teil eines Hilbertraums HA⊗ HB ist, welcher sich aus den beiden zweidimensionalen Hilbertr¨aumen HA und H_B zusammensetzt. Dies kann zum Beispiel ein System sein, welches aus zwei Teilchen besteht, deren Spin wir betrachten. Nat¨urlich gibt es in beiden der R¨aume unendlich viele Orthonormalbasen {|e₁i,|e₂i}, es hat sich jedoch eingeb¨urgert, die

”Spinr¨aume”

im Regelfall mittels der Eigenbasen einer der beiden Spinobservablenσx oder σz darzu-stellen. Beide dieser Observablen haben das Spektrum {−1,1}. Die Eigenvektoren der Observableσ_z zu den Eigenwerten 1 bzw. −1 werden ¨ublicherweise mit|0i bzw.|1i be-zeichnet. Die Eigenvektoren des Spins in x-Richtung zu 1 bzw. −1 werden als |+i und

|−inotiert, weil sie sich anhand der Basis {|0i,|1i}durch

|+i= ^√1

2 |0i+|1i

und |−i= ^√1

2 |0i − |1i

(110) ausdr¨ucken lassen. Eine Schreibweise, welche bei der Betrachtung von Qubit-Systemen manchmal zu sehen ist und auch im Laufe meiner Arbeit vorkommen wird, ist

|0,0i^..=|0i ⊗ |0i. (111)

Diese Notation gilt nat¨urlich auch f¨ur andere Vektoren des Qubits, insbesondere f¨ur die anderen genannten Basisvektoren |1i,|+i und|−i.

Beispiel: Separables 2-Qubit-System

Betrachten wir nun das System mit Produktzustand

|ψi=|+,0i, (112)

also den Fall, dass der Spin des ersten Teilchens in x-Richtung und der des zweiten Teil-chens in z-Richtung zeigt. Eine Messung des Spins in z-Richtung am ersten Teilchen, bei der das zweite Teilchen unbeeinflusst bleibt, wird durch die Observableσ_z⊗1 beschrie-ben. Der Zustand erf¨ahrt dabei die Zustands¨anderung aus Gleichung 37, |ψi geht also in den Zustand

¨uber. Die beiden m¨oglichen Messwerte bei der eben beschriebenen Messung sind die beiden Eigenwerte λ = ±1, welche beide mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eintreffen. Wird zum Beispiel der Eigenwert 1 realisiert, so ist der Projektor durch

P_λ=1 =P_λ=1^A ⊗1=|0i h0| ⊗1, (114) die Auftrittswahrscheinlichkeit des Eigenwerts λ= 1 durch

P|ψi(1) =

(siehe Gl. 36) und die Zustands¨anderung durch

|ψi˜ _λ=1= 1

gegeben. Bei Realisierung des Messwertsλ=−1, hat der Projektor die Form

Pλ=−1 =|1i h1| ⊗1 (117)

und der Zustand nach der Messung ist

|ψi˜ _λ=−1 =|1,0i. (118)

Man kann sehen, dass im Fall eines Produktzustandes |ν⊗ϕi ∈ H_A ⊗ H_B bei einer am ersten Teilsystem durchgef¨uhrten Messung der Zustand des zweiten Teilsystems nicht ver¨andert wird. Außerdem h¨angt der Messausgang ausschließlich vom Zustand des ersten Teilsystems ab. Die Messung ist also g¨anzlich unabh¨angig vom zweiten Teilsystem.

F¨uhrt man anschließend eine Messung am zweiten Teilsystem durch, so ist diese un-abh¨angig vom Zustand des ersten Teilsystems. Damit ist der Ausgang der zweiten Mes-sung nicht von der ersten MesMes-sung beeinflusst worden.

Dies kann man auch verallgemeinern: Eine Messung an einem der beiden Teilsysteme beeinflusst nicht den Messausgang einer beliebigen Messung am anderen Teilsystem, sofern sich das System in einem Produktzustand befindet. Dies liegt daran, dass sich ein Projektor Pλ ∈L(H_A⊗ H_B) zu einer Messung am ersten Teilsystem immer als Produkt P_λ^A⊗1schreiben l¨asst (siehe Gl. 106). Anwendung dieses Projektors auf einen Zustand der Form |ν⊗ϕi ∈ H_A⊗ H_B beeinflusst nur den ersten Teilvektor im Tensorprodukt und l¨asst den zweiten unver¨andert.

Beispiel: Verschr¨anktes 2-Qubit-System

Kommen wir zu einem zweiten Beispiel. Wir betrachten dasselbe Zweiteilchensystem wie im ersten Beispiel, jedoch ist der Gesamtzustand nun durch

|ψi= ^√1

2 |0,0i+|1,1i

(119) gegeben. Dies ist ein verschr¨ankter Zustand.⁸ Es ist bei diesem nicht mehr m¨oglich, je-dem der beiden Teilsysteme einen eigenen Zustand|νi ∈ H_A bzw.|ϕi ∈ H_B zuzuordnen.

Sehen wir uns in diesem Fall die Messung des Spins in z-Richtung am ersten Teilchen an, so sind die m¨oglichen Messwerte wiederum ±1 mit einer jeweiligen Auftrittswahr-scheinlichkeit von 50 Prozent. Der Zustand nach der Messung des Eigenwertsλhat nun allerdings die Form

Bei Messung des Wertes 1 geht|ψi also instantan in den Zustand

|ψi˜ _λ=1 =|0i h0|0i ⊗1|0i+|0i h0|1i ⊗1|1i= 1· |0i ⊗ |0i+ 0· |0i ⊗ |1i=

= 1· |0,0i+ 0· |0,1i=|0,0i (121)

¨uber. Dies ist nun aber ein Produktzustand, bei welchem dem zweiten Teilsystem ein Spin in positive z-Richtung zugeordnet werden kann. Bei einer anschließenden Messung des Spins in z-Richtung am zweiten Teilchen erh¨alt man demnach mit 100 -prozentiger Wahrscheinlichkeit den Messwert 1. Dies kann man leicht erkennen, da|0i Eigenvektor von σ_z zum Eigenwertλ= 1 ist und somit f¨ur die Auftrittswahrscheinlichkeiten gilt:

P|0,0i(1) = Erh¨alt man bei einer Messung am ersten System den Wert −1, so geht der Gesamt-zustandψ ¨uber in

|ψi˜ _λ=−1=|1i h1|0i ⊗1|0i+|1i h1|1i ⊗1|1i= 0· |1,0i+ 1· |1,1i=|1,1i. (123)

8Es handelt sich um einen der so genannten Bell-Zust¨ande [1, S.112].

Nach dieser Messung befindet sich das zweite Teilsystem im Zustand |1i ∈ H_B. Eine Messung des Spins in z-Richtung am zweiten System wird somit zu 100 Prozent den Wert−1 ergeben.

Da sich der Bell-Zustand |ψi auch durch die Basis{|+i,|−i} in der Form

|ψi= ^√1₂ |+,+i+|−,−i

(124) schreiben l¨asst, lassen sich die ¨Uberlegungen, welche wir f¨ur σ_z angestellt haben, auf σx ¨ubertragen. Befindet sich also ein 2-Qubit-System im Zustand |ψi, so wird man bei Messung beider Observablen stets feststellen, dass die beiden Teilsysteme denselben Spin aufweisen.

Allgemein gilt, dass die Messergebnisse von Messungen an zwei verschr¨ankten Teil-systemen korreliert sind. In unserem Beispiel ist die Korrelation besonders stark – die m¨oglichen Messausg¨ange der am zweiten System durchgef¨uhrten Messung wurden durch die vorherige Messung am ersten System auf einen einzigen Wert beschr¨ankt und das auch noch f¨ur jede beliebige Messbasis. Dies ist eine Besonderheit des gew¨ahlten Zu-standes. Es handelt sich um einen sogenannten

”maximal verschr¨ankten“ Zustand. F¨ur andere Zust¨ande ist die Korrelation zwar etwas schw¨acher, es gilt jedoch allgemein: Die Messergebnisse von Messungen an zwei verschr¨ankten Teilsystemen sind korreliert.

Res¨umee

Wir k¨onnen aus den beiden Beispielen zusammenfassen, dass Teilsystemen, deren Ge-samtzustand ein Produktzustand ist, ein eigener Teilvektor |νi ∈ HA bzw. |ϕi ∈ HB

zugeschrieben werden kann. Es ist m¨oglich, die beiden Teilsysteme getrennt vonein-ander als abgeschlossene Systeme zu betrachten und Messungen an einem Teilsystem durchzuf¨uhren, ohne das andere System dabei zu beeinflussen. Messergebnisse lokaler Messungen sind also vollst¨andig unabh¨angig voneinander.

Verschr¨ankten Systemen kann nur eine gemeinsame Wellenfunktion |ψi ∈ H_A⊗ H_B zugeordnet werden. Zwei verschr¨ankte Teilsysteme durchlaufen eine gemeinsame Zeite-volution und bei einer Messung kollabiert der gemeinsame Zustand, weshalb durch eine Messung an einem Teilsystem auch das andere Teilsystem beeinflusst wird.

Befindet sich das Gesamtsystem in einem verschr¨ankten Zustand, existiert eine Kor-relation zwischen Messergebnissen lokaler Messungen in den beiden Teilsystemen. Eine Messung an einem Teilsystem beeinflusst im Allgemeinen auch das andere System, sodass im Beispiel des verschr¨ankten 2-Qubit-Systems der Gesamtzustand nach der Messung sogar ein Produktzustand war. Eine derartige Ver¨anderung (verschr¨ankt zu Produktzu-stand) ist allerdings nicht immer der Fall. Stattdessen passiert dies nur, wenn eines der Teilsysteme beim Kollaps auf einen eindimensionalen Untervektorraum projiziert wird, also der Projektor von der Form

P_λ^A=|e_λi he_λ| bzw.P_λ^B=|f_λi hf_λ| (125) f¨ur ein|e_λi ∈ HA bzw. |f_λi ∈ HB ist. Das wiederum ist der Fall, wenn bei einer lokalen Messung mit Operator M⊗1 bzw.1⊗M ein Eigenwert λ∈ σ(M⊗1) =σ(M) bzw.

λ ∈ σ(1⊗M) = σ(M) gemessen wird, dessen zugeh¨origer Eigenraum eindimensional ist. In diesem Fall entkoppeln die beiden Systeme durch die Messung vollst¨andig, sodass diese nach der Messung unabh¨angig – also durch einen Produktzustand darstellbar – sind.

Uberlegt man sich die Folgen dieses instantanen Kollapses der gesamten Wellenfunk-¨ tion, m¨ogen einen diese verbl¨uffen. Betrachtet man zwei Teilchen, scheint n¨amlich das zweite Teilchen von der Messung am ersten instantan beeinflusst zu werden, egal wie weit die beiden Teilchen voneinander entfernt sind. Dies scheint der Lokalit¨atsannahme von Einstein zu widersprechen, welcher zufolge Information nicht schneller als mit Licht-geschwindigkeit verbreitet werden kann. Tats¨achlich geht man in der Standardquanten-mechanik davon aus, dass verschr¨ankte Syteme einander instantan beeinflussen k¨onnen.

Dies steht aber in keinem Widerspruch zur Lokalit¨atsannahme, da es Beobachtern der beiden Systeme nicht m¨oglich ist, anhand der instantanen Zustands¨anderung Informa-tionen zu ¨ubertragen. Dies kann man anhand eines kurzen Beispiels veranschaulichen.

Dazu betrachten wir wiederum das System aus Gl. 119.

Ein Beobachter des Teilsystems B (kurz

”Bob“) m¨ochte anhand einer Messung fest-stellen, ob der Beobachter des TeilsystemsA (kurz

”Alice“) an seinem Teilchen bereits eine Messung der Observable σ_z durchgef¨uhrt hat. W¨are dies m¨oglich, k¨onnte die In-formation

”Alice hat den Spin in z-Richtung gemessen“ schneller als Licht ¨ubertragen werden.

Ergibt die Messung von Alice den Wert +1, so ist das gesamte System im separablen Zu-stand|0,0i. F¨uhrt also Bob eine Messung an seinem System durch, so erh¨alt er mit 100 -prozentiger Sicherheit den Messwert +1. Dies h¨atte aber genauso der Fall sein k¨onnen, h¨atte Alice zuvor keine Messung durchgef¨uhrt; n¨amlich genau mit 50 -prozentiger Wahr-scheinlichkeit. Mit nur einer Messung kann Bob also keine Aussage dar¨uber treffen, ob die Messung am anderen System bereits stattgefunden hat. Da sich durch die Messung nur die Auftrittswahrscheinlichkeiten ver¨andert haben und diese nur frequentistisch fest-stellbar sind, br¨auchte Bob etliche Kopien des beobachteten Systems, um eine Aussage treffen und damit Information ¨ubertragen zu k¨onnen. Das Kopieren dieses eben beschrie-benen Versuchaufbaus ist laut dem

”No-Cloning-Theorem“ aber unm¨oglich. Alice erh¨alt bei jeder Messung ein zuf¨alliges Ergebnis. Es ist nicht m¨oglich, den Zustand, welcher durch einen Messvorgang pr¨apariert wurde und anhand dessen Bob die Information zu entschl¨usseln versucht, zu

”klonen“. Genau aus demselben Grund kann Bob auch mit-hilfe anderer Spin-Observablen wie σx nicht feststellen, ob Alice ihre Messung bereits durchgef¨uhrt hat.

Separable Nichtproduktzust¨ande

Werfen wir noch einen kurzen Blick auf separable Nichtproduktzust¨ande (Gl. 107 mit n >1), welche bis dato außer Acht gelassen wurden.

Es scheint bei diesen Zust¨anden im Gegensatz zu den Produktzust¨anden (Gl. 109) nicht mehr m¨oglich, jedem Teilsystem einen reinen Zustand|νi hν| ∈L(H_A) bzw.|ϕi hϕ| ∈ L(H_B) zuzuordnen. Stattdessen handelt es sich hierbei wieder um ein statistisches Ge-misch von Produktzust¨anden.

Befindet sich das Gesamtsystem in einem separablen Nichtproduktzustand, sind die beiden Teilsysteme nicht unabh¨angig voneinander, wie dies bei Systemen mit Produkt-zust¨anden der Fall ist, die Art der Korrelation zwischen den Teilsystemen unterschei-det sich aber von der bei verschr¨ankten Zust¨anden. Man differenziert hier zwischen klassischer und nicht-klassischer Korrelation. Der Unterschied zwischen diesen beiden Abh¨angigkeiten l¨asst sich am besten anhand eines kurzen Beispiels darstellen, welches ich aus [1, S. 166] entnehme und hier in eigenen Worten wiedergebe.

Wir betrachten zwei Kisten, in welchen sich jeweils ein Handschuh eines Handschuh-paares befindet. Wir wissen nicht, welcher Handschuh sich in welcher Kiste befindet.

Schauen wir nacheinander nach, so sind die

”Messergebnisse“ an den beiden Kisten streng korreliert. Finden wir in der ersten Box den linken Handschuh, so werden wir mit Sicherheit einen rechten in der anderen vorfinden. Vor dem Nachsehen lag die Wahr-scheinlichkeit, den rechten Handschuh in der zweiten Kiste zu finden, dahingegen bei f¨unfzig Prozent. Die beiden Messergebnisse scheinen also durchaus korreliert zu sein.

Die beiden Handschuhtypen lagen bereits vor dem Nachsehen vor und wurden durch die Messung nicht beeinflusst. Die Korrelation ist in diesem Beispiel auf klassisches Unwissen zur¨uckzuf¨uhren, welches durch das Nachschauen beseitigt wurde.

Separable Zust¨ande k¨onnen also wieder ignoranzinterpretiert werden. Man kann da-von ausgehen, dass sich das beschriebene System eigentlich zu jedem Zeitpunkt in einem Produktzustand befindet, wir aber nicht das vollst¨andige Wissen besitzen, um feststellen zu k¨onnen, in welchem. So ist es zum Beispiel auch bei Rauschprozessen der Fall, wo wir f¨ur die Vorhersage von Messstatistiken nur ein statistisches Gemisch der m¨oglichen Zust¨ande angeben k¨onnen. In unserem Beispiel war es uns m¨oglich, durch die Messung am ersten Teilsystem unser gesamtes klassisches Unwissen zu beseitigen und dadurch eine genaue Aussage ¨uber den Gesamtzustand des Systems – also auch ¨uber das zweite Teilsystem – zu treffen. Ganz allgemein kann man bei separablen Zust¨anden durch Mes-sungen das klassische Unwissen beseitigen und somit den tats¨achlichen Produktzustand des Systems ermitteln. Anders jedoch verh¨alt sich die Abh¨angigkeit bei verschr¨ankten Systemen. Hier ver¨andert sich durch eine Messung nicht nur unser Wissen ¨uber den durch die Messung unver¨anderten Zustand, sondern der Zustand selbst wird durch die Messung beeinflusst.

Verschr¨ankung von Zust¨anden

Wie man im vorhergehenden Beispiel sehen konnte, kann ein verschr¨ankter Zustand durch eine lokale Messung an einem der beiden Teilsysteme in einen separablen Zustand

¨ubergehen. Umgekehrt ist dies nicht m¨oglich. Durch lokale Messungen k¨onnen separierte Zust¨ande nicht verschr¨ankt werden.

Separable und verschr¨ankte Zust¨ande k¨onnen auch durch unit¨are Zeitentwicklung in-einander ¨ubergehen. Handelt es sich bei der Evolution um einen Zeitentwicklungsopera-tor, der sich nicht als Tensorprodukt zweier Zeitentwicklungsoperatoren auf den Teilhil-bertr¨aumen schreiben l¨asst, f¨ur den also nicht zu jedem Zeitpunktt≥t0

U(t, t0) =U^A(t, t0)⊗U^B(t, t0) (126)

gilt, so k¨onnen separable und verschr¨ankte Zust¨ande ineinander ¨ubergehen. Die Entwick-lung verschiedener Anfangszust¨ande gem¨aß einer solchen Evolution ist beispielsweise in Tabelle 1 dargestellt. Der betrachtete Zeitentwicklungsoperator ist dabei jener in Gl.

135.

Ist der Zeitentwicklungsoperator ein Produktoperator, so entwickelt sich dahingegen jedes Teilsystem A bzw. B unit¨ar – durch U^A(t, t₀) bzw. U^B(t, t₀). Damit bleiben se-parable Zust¨ande bei einer Zeitentwicklung dieser Form seperabel. (vgl. Abschnitt 2.2;

Unitarit¨at)

Im Dokument Zur Interpretation der Quantenphysik (Seite 41-48)