die Zuordnung √
2 7→ √
24 −3 = 4− 3 = 1. So liefert jedes Polynom f ∈ K[t] eine Funktion K →K, eine polynomiale Funktion.
2.3 Vektorr¨ aume
Wir kommen nun zum Begriff des Vektorraums, der f¨ur die lineare Algebra zentral ist. Genauer gesagt werden wir f¨ur jeden gegebenen K¨orper K den Begriff einesK-Vektorraums einf¨uhren.
Der K¨orper K wird bei unseren Betrachtungen (fast) immer festgehalten werden.
Definition 2.3.1
1. SeiKein K¨orper. EinK–Vektorraum oder auch Vektorraum ¨uberKist ein Tripel(V,+,·) bestehend aus einer Menge V und Abbildungen
+ : V ×V →V ·: K×V →V , die den folgenden Axiomen gen¨ugen:
(V1) (V,+) ist eine abelsche Gruppe F¨ur alle v, w∈V und α, β ∈K gilt:
(V2a) (α+β)·v =α·v+β·v (V2b) α·(v+w) =α·v+α·w (V2c) (α·β)·v =α·(β·v) (V2d) 1·v =v
2. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Das neutrale Element 0 von (V,+) heißt Nullvektor. Im Zusammenhang mit K-Vektorr¨aumen nennt man Elemente von K auch Skalare. Die Verkn¨upfung ·heißt Skalarmultiplikation. (Sie darf nicht mit dem Ska-larprodukt aus dem einleitenden Kapitel verwechselt werden!)
Das neutrale Element der Addition im K¨orper K und die Inversen inK treten in der Definition nicht auf, spielen aber in der Theorie der Vektorr¨aume eine große Rolle.
Beispiele 2.3.2.
1. SeiK ein beliebiger K¨orper. Definiere auf dem kartesischen Produkt V :=Kn =
also den n-tupeln von K¨orperelementen, die Addition komponentenweise durch
und die skalare Multiplikation ·: K×V →V durch komponentenweise Multiplikation α·
2. Setzt man spezielln = 1, so folgt, dass jeder K¨orper K auch ein K–Vektorraum ist.
3. (C,+,·|R×C) = (R2,+,·) ist ein R–Vektorraum.
Das neutrale Element ist die konstante Abbildung mit Wert 0, 0V(m) := 0 f¨ur alle m∈M , das additive Inverse ist
(−f)(m) := −f(m). Dann ist (V,+,·) = (Abb(M, K),+,·) ein K–Vektorraum:
• In Anbetracht von Beispiel 2.2.3.3 ist klar, dass (V,+) abelsche Gruppe ist.
• Wir zeigen exemplarisch (V2a): f¨ur alle f ∈V und α, β ∈K gilt ((α+β)·f)(m) =
def(α+β)·f(m)
=
(K3b)α·f(m) +β·f(m) =
def(α·f)(m) + (β·f)(m)
=
def(α·f +β·f)(m).
6. Haben die Menge M oder der K¨orper K mehr Struktur, so gibt es oft interessante Teil-mengen von Abb(M, K), die auch Vektorr¨aume sind. Beispiele sind
• M =K,V=polynomiale Funktionen auf K.
• M topologischer Raum, K =Roder K =C: stetige Funktionen.
• M =Rn,K =R oder K =C: differenzierbare Funktionen.
7. IstV = ({0V},+,·), so heißtV der Nullvektorraum. Da jeder Vektorraum zumindest den Nullvektor enth¨alt, hat jeder Vektorraum mindestens ein Element.
Satz 2.3.3.
Sei K ein K¨orper undV ein K–Vektorraum. Dann gilt f¨ur alle v, w∈V und α∈K 1. 0K·v = 0V
2. α·0V = 0V
3. Aus α·v = 0V folgt α= 0K oderv = 0V. 4. (−1)·v =−v
Beweis.
1. 0K·v = (0K+ 0K)·v = 0K·v+ 0K·v. Hieraus folgt 0K·v = 0V. 2. α·0V =α·(0V + 0V) =α·0V +α·0V. Hieraus folgt α·0V = 0V. 3. Seiα·v = 0 undα6= 0. Wir rechnen:
v =
(V2d)1·v = (α−1·α)v =
(V2c) α−1(α·v) = α−1·0V =
1. 0V . Man beachte, dass hier die Existenz multiplikativer Inverser in K eingeht.
4. Wir berechnen
(−1)v+v =
(V2d)(−1)v+ 1·v =
(V2a)(−1 + 1)v = 0K·v =
1. 0V .
Ab sofort unterscheiden wir in der Notation nicht mehr 0K ∈K und 0V ∈V.
Definition 2.3.4
Sei (V,+,·) ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge W ⊂ V heißt Untervektorraum, falls sie den folgenden Axiomen gen¨ugt:
(UV1) W 6=∅
(UV2) F¨ur alle v, w ∈ W gilt v +w ∈ W. Wir sagen auch, W sei unter der Addition von V abgeschlossen.
(UV3) F¨ur alle α ∈ K und v ∈ W gilt α·v ∈ W. Wir sagen auch W sei unter der skalaren Multiplikation abgeschlossen.
Satz 2.3.5.
Sei (V,+,·) ein K–Vektorraum. Sei W ⊂ V ein Untervektorraum. Sei +W die Einschr¨ankung von
+ : V ×V →V auf +W : W ×W →W Sei ·W die Einschr¨ankungen von
·: K×V →V auf ·W : K×W →W
Dann ist (W,+W,·W) ein K–Vektorraum. Die 0 inW stimmt mit der 0 in V ¨uberein.
Beweis.
1. Wir beweisen zun¨achst, dass (W,+W) eine abelsche Untergruppe von (V,+) ist: Offenbar gilt impliziert (UV1) das Untergruppenaxiom (UG1), und (UV2) impliziert (UG2). Mit v ∈W ist mit α=−1 nach (UV3) auch
(−1)v =−v ∈W ,
so dass (UG3) erf¨ullt ist. Insbesondere ist (W,+W) eine abelsche Gruppe und 0W = 0V. 2. Die Axiome (V2a-d) gelten sogar f¨ur alle Elemente inV, also erst recht f¨ur alle Elemente
in der Teilmenge W.
Beispiele 2.3.6.
1. K =R und (C,+,·). Dann ist
Wr={x1+ 0·i| x1 ∈R} ein Untervektorraum, ebenso
Wi ={0 +x2·i| x2 ∈R}
2. Aber f¨urK =Csind dies keine Untervektorr¨aume: etwa f¨urα= i∈K undv = 1 + 0·i∈ Wr ist
α·v = (0 + i)·(1 + 0·i) = 1·i∈/ Wr .
3. SeiK ein beliebiger K¨orper undV =Kn wie im Beispiel 2.3.2.1. Dann ist
W = (
x1
... xk
0 ... 0
xi ∈K )
ein Untervektorraum
Die Axiome (UV1)-(UV3) sind offensichtlich.
4. Sei K ein beliebiger K¨orper, M 6=∅ eine Menge und V = Abb(M, K). Sei M0 ⊂M eine Teilmenge, dann ist
W :={f :M →K|f(m0) = 0 f¨ur alle m0 ∈M0} ein Untervektorraum, der Annihilator von M0:
(UV1) folgt, da die Abbildung 0V mit 0V(m) = 0 f¨ur alle m∈M inW liegt.
(UV2) Seien f, g∈W, rechne f¨ur m0 ∈M0 beliebig
(f +g)(m0) =f(m0) +g(m0) = 0 + 0 = 0, also f +g ∈W (UV3) Sei f ∈W,α ∈K, rechne f¨urm0 ∈M0
(αf)(m) =α·f(m) = α·0 = 0, also αf ∈W
5. Sei speziellM =K und V = Abb(K, K). Dann ist die Menge der polynomialen Funktio-nen
{f :K →K|f(x) = p(x) mit p∈K[X] Polynom}
ein Untervektorraum von V. Ebenso ist f¨urk ∈N
Kk[x] := {f : K →K|f ist Polynom vom grad ≤k}
ein Untervektorraum, aber f¨ur k≥1 ist
Kek[x] :={f : K →K|f ist Polynom vom Grad k}
kein Untervektorraum. Denn zum Beispiel sind f(X) = X3+X2+ 1∈C[X] und g(X) =
−X3 +X2 + 1 ∈ C[X] beides Polynome vom Grad genau gleich 3, aber ihre Summe f +g = 2X2+ 2 hat Grad 2. Also ist (UV3) nicht erf¨ullt.
6. In jedem Vektorraum V sind V selbst und W :={0} Untervektorr¨aume. W ={0} heißt der triviale Untervektorraum.
Bemerkungen 2.3.7.
1. Jeder Untervektorraum eines Untervektorraums von V ist selbst ein Untervektorraum von V.
2. SeiV ein Vektorraum und seienW1,W2 Untervektorr¨aume vonV. Dann ist W1∩W2 ein Untervektorraum.
Beweis.
(UV1) Aus 0V ∈W1 und 0V ∈W2 folgt 0V ∈W1∩W2.
(UV2) folgt, da mit v, w ∈ Wi auch v +w ∈ Wi liegt, also aus v, w ∈ W1 ∩W2 folgt
v+w∈W1 ∩W2. (UV3) folgt analog.
3. W1∪W2 ist im Allgemeinen kein Untervektorraum.
Als Gegenbeispiel betrachte C als reellen Vektorraum, K =Rund V =C, und Wr∪Wi ={x1+x2i | x1 = 0 oder x2 = 0}.
Dies ist das Achsenkreuz bestehend aus der reellen und imagin¨aren Achse. Dann ist x= 1 + 0 i ∈Wr auf der reellen Achse und y = 0 + 1·i∈Wi auf der imagin¨aren Achse.
Die Summe x+y= 1 + 1·i6∈Wr∪Wi ist aber nicht auf dem Achsenkreuz.
Definition 2.3.8
1. Sei V ein K–Vektorraum und seien endlich viele Elemente v1, . . . , vm ∈ V gegeben, die nicht unbedingt verschieden sind. Ein Element w∈V der Form
w=λ1v1+. . .+λmvm
mit λ1, . . . , λm ∈K heißt Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vm. 2. Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren v1, . . . , vm
spanK(v1, . . . , vm) :={λ1v1+. . .+λmvm|λi ∈K}
heißt der von den Vektoren v1, . . . , vm aufgespannte Raum oder das Erzeugnis dieser Vektoren.
3. Sei V ein K–Vektorraum und M ⊂ V, M 6= ∅ eine nichtleere Teilmenge von V. Dann heißt
spanK(M) := {w=λ1v1+. . .+λmvm|λi ∈K, vi ∈M, m∈N} der von der Teilmenge M aufgespannte Raum oder ihr Erzeugnis.
Satz 2.3.9.
Sei V einK–Vektorraum,v1, . . . , vm ∈V undM ⊂V eine nicht-leere Teilmenge,M 6=∅. Dann gilt:
1. spanK(v1, . . . , vm) ist ein Untervektorraum von V.
2. spanK(M) ist ein Untervektorraum von V und es gilt M ⊂spanK(M).
3. IstW ⊂V ein Untervektorraum undM ⊂W, so ist auch spanK(M)⊂W. Beweis.
1. (UV1): Folgt, da 2. Der Beweis f¨ur eine beliebige Teilmenge M ⊂V geht analog.
3. Ist M ⊂ W und W ein Untervektorraum, so liegen nach (UV2) und (UV3) auch alle Linearkombinationen von Elementen in M inW.
Es folgt nun, dass
spanK(M) = \
M⊂W,W⊂VUntervektorraum
W
Denn da spanK(M) nach Satz 2.3.9.2 selbst ein Untervektorraum von V ist, der die Teilmenge M enth¨alt, ist er einer der Unterr¨aume, ¨uber die der Schnitt genommen wird, enthalten, also gilt
∩W ⊂spanK(M). Nach Satz 2.3.9.3 ist aber spanK(M) in jedem der Untervektorr¨aume, ¨uber die der Schnitt genommen wird, enthalten, also gilt auch die umgekehrte Inklusion spanK(M)⊂
∩W. Anders gesagt: spanK(M) ist also bez¨uglich der Inklusion der kleinste Untervektorraum von V, der M enth¨alt.
Beispiele 2.3.10.
1. SeiK ein beliebiger K¨orper, den wir als Vektorraum ¨uber sich selbst betrachten, und sei v ∈K. F¨ur v = 0 ist spanK(0) ={0} der triviale Untervektorraum von K; f¨ur v 6= 0 ist
1. Seien Λ, M Mengen. Man nennt eine Abbildung φ: Λ→M
auch eine durch die IndexmengeΛ indizierte Familie von Elementen von M. Man nennt dann Λ die Indexmenge, schreibt aλ = φ(λ) f¨ur λ ∈ Λ und (aλ)λ∈Λ f¨ur die Familie. Ist Λ =n f¨urn ∈N, so heißt die Familie endlich.
2. Ist eine Familie durch N oder n = {1,2, . . . , n} indiziert, so liefert die Ordnung auf der Indexmenge eine Ordnung der Familie. Wir sprechen von einer geordneten Familie, wenn wir diese Ordnung als weitere Struktur betrachten.
Wir vereinbaren, dass wir bei einer endlichen Familie die Indexmenge nicht explizit schreiben und lassen die Schreibweise (a1, a2, . . . , an) zu. Man beachte, dass hier Elemente gleich sein k¨onnen, etwa ist a1 =a2 m¨oglich.
Definition 2.3.12 Sei V ein K–Vektorraum.
1. Eine endliche Familie(v1, . . . , vr) von Vektoren aus V heißt linear unabh¨angig, falls gilt:
sind λ1, . . . , λr ∈K und gilt
λ1v1+. . .+λrvr = 0,
so folgt darausλ1 =λ2 =. . .=λr = 0. Die Familie(v1, . . . , vr)heißt also genau dann line-ar unabh¨angig, wenn der Nullvektor sich nur trivial als Linearkombination von v1, . . . , vk darstellen l¨asst.
2. Eine beliebige Familie von Vektoren aus V heißt linear unabh¨angig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabh¨angig ist.
3. Andernfalls heißt die Familie linear abh¨angig; dann gibt es eine Darstellung des Nullvek-tors als nicht triviale Linearkombination, d.h. es gibt λi ∈K mit
0 =λ1v1+. . .+λrvr, wobei nicht alle λi ∈K verschwinden.
4. Eine Teilmenge M ⊂ V heißt linear unabh¨angig, falls f¨ur jede endliche Teilmenge {v1, . . . , vm} ⊂M die Vektoren v1, . . . , vm linear unabh¨angig sind.
Andernfalls heißt sie linear abh¨angig. Dann enth¨alt M eine endliche Teilmenge {v1, . . . , vm}f¨ur die die Familie(v1, . . . , vm)linear abh¨angig ist.
5. Wir setzen spanK(∅) ={0} und nennen die leere Familie linear unabh¨angig.
Lemma 2.3.13.
F¨ur eine Familie (v1, . . . , vr) von Vektoren eines K–Vektorraums sind die folgenden Bedingun-gen ¨aquivalent:
1. Die Familie (vi) ist linear unabh¨angig.
2. Jeder Vektor v ∈ spanK(vi) l¨asst sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von Vektoren der Familie (vi) schreiben.
Beweis.
2.⇒1.klar, denn bei einer linear abh¨angigen Familie hat der Nullvektor verschiedene Darstel-lungen.
1.⇒2.Aus
v =X
i
λivi =X
i
µivi mit λi, µi ∈K folgt
0 =X
i
(λi−µi)vi
Wegen der vorausgesetzten linearen Unabh¨angigkeit folgt λi−µi = 0, alsoλi =µi f¨ur alle i.
Bemerkungen 2.3.14.
1. InKn ist jede Teilmenge der Menge {e1, . . . , en} aus Beispiel 2.3.10.2 linear unabh¨angig.
2. Ein einziger Vektor v ∈V ist genau dann linear unabh¨angig, wenn v 6= 0 gilt.
Denn wegen 1·0 = 0 ist 0 linear abh¨angig; istv linear abh¨angig, so gibt es λ∈K\ {0}= Kn mit λv= 0, aus Satz 2.3.3.3 folgt nun v = 0.
3. Jede Untermenge einer linear unabh¨angigen Menge von Vektoren ist linear unabh¨angig.
( ¨Ubung.)
4. Enth¨alt eine Familie von Vektoren eines Vektorraums eine linear abh¨angige Unterfamilie, so ist sie linear abh¨angig. ( ¨Ubung.)
5. Insbesondere ist jede Familie, die den Nullvektor oder zwei gleiche Vektoren enth¨alt, linear abh¨angig. Denn gilt v1 = v2, so finden wir die nicht-triviale Linearkombination 1·v1+ (−1)v2 = 0.
6. Enth¨alt die Familie mehr als zwei Vektoren, so ist sie genau denn linear abh¨angig, wenn ein Vektor der Familie Linearkombination der anderen Vektoren ist.
Beweis.
Ist die Familie (v1, . . . , vr) linear abh¨angig, so finden wir eine nicht-triviale Linearkombination λ1v1+. . .+λrvr = 0
f¨ur die etwaλi 6= 0 ist. Dann ist
vi =−λ1
λiv1−. . .− λr λivr .
(Beachten Sie, dass wir hier die Division in K benutzen.) Ist umgekehrt vi eine Linearkombi-nation der anderen Vektoren der Familie
vi =µ1v1+. . .+µrvr mit µi ∈K , so ist
µ1v1+. . .+µi−1vi−1−vi+µi+1vi+1+. . .+µrvr = 0
eine nicht–triviale Linearkombination, die den Nullvektor darstellt.